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文檔簡介
2022-2023學(xué)年四川省巴中市高三TOP20十二月聯(lián)考(全國Ⅰ卷)數(shù)學(xué)試題試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知是虛數(shù)單位,若,則()A. B.2 C. D.32.如果直線與圓相交,則點與圓C的位置關(guān)系是()A.點M在圓C上 B.點M在圓C外C.點M在圓C內(nèi) D.上述三種情況都有可能3.已知命題:,,則為()A., B.,C., D.,4.某高中高三(1)班為了沖刺高考,營造良好的學(xué)習(xí)氛圍,向班內(nèi)同學(xué)征集書法作品貼在班內(nèi)墻壁上,小王,小董,小李各寫了一幅書法作品,分別是:“入班即靜”,“天道酬勤”,“細(xì)節(jié)決定成敗”,為了弄清“天道酬勤”這一作品是誰寫的,班主任對三人進(jìn)行了問話,得到回復(fù)如下:小王說:“入班即靜”是我寫的;小董說:“天道酬勤”不是小王寫的,就是我寫的;小李說:“細(xì)節(jié)決定成敗”不是我寫的.若三人的說法有且僅有一人是正確的,則“入班即靜”的書寫者是()A.小王或小李 B.小王 C.小董 D.小李5.函數(shù)的定義域為,集合,則()A. B. C. D.6.一個超級斐波那契數(shù)列是一列具有以下性質(zhì)的正整數(shù):從第三項起,每一項都等于前面所有項之和(例如:1,3,4,8,16…).則首項為2,某一項為2020的超級斐波那契數(shù)列的個數(shù)為()A.3 B.4 C.5 D.67.已知,,由程序框圖輸出的為()A.1 B.0 C. D.8.設(shè)全集為R,集合,,則A. B. C. D.9.等差數(shù)列中,已知,且,則數(shù)列的前項和中最小的是()A.或 B. C. D.10.設(shè)為非零向量,則“”是“與共線”的()A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11.過拋物線的焦點且與的對稱軸垂直的直線與交于,兩點,,為的準(zhǔn)線上的一點,則的面積為()A.1 B.2 C.4 D.812.已知向量,,,若,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列的前項和為,且滿足,則______14.在平面直角坐標(biāo)系中,雙曲線(,)的左頂點為A,右焦點為F,過F作x軸的垂線交雙曲線于點P,Q.若為直角三角形,則該雙曲線的離心率是______.15.在中,內(nèi)角所對的邊分別為,若,的面積為,則_______,_______.16.(5分)在平面直角坐標(biāo)系中,過點作傾斜角為的直線,已知直線與圓相交于兩點,則弦的長等于____________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,,函數(shù)的最小值為.(1)求證:;(2)若恒成立,求實數(shù)的最大值.18.(12分)已知是圓:的直徑,動圓過,兩點,且與直線相切.(1)若直線的方程為,求的方程;(2)在軸上是否存在一個定點,使得以為直徑的圓恰好與軸相切?若存在,求出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.19.(12分)設(shè)橢圓的左右焦點分別為,離心率,右準(zhǔn)線為,是上的兩個動點,.(Ⅰ)若,求的值;(Ⅱ)證明:當(dāng)取最小值時,與共線.20.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),將曲線上每一點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標(biāo)不變,得到曲線,以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,射線與曲線交于點,將射線繞極點逆時針方向旋轉(zhuǎn)交曲線于點.(1)求曲線的參數(shù)方程;(2)求面積的最大值.21.(12分)橢圓:的左、右焦點分別是,,離心率為,左、右頂點分別為,.過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)經(jīng)過點的直線與橢圓相交于不同的兩點、(不與點、重合),直線與直線相交于點,求證:、、三點共線.22.(10分)在直角坐標(biāo)系中,圓的參數(shù)方程為:(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,以軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,且長度單位相同.(1)求圓的極坐標(biāo)方程;(2)若直線:(為參數(shù))被圓截得的弦長為,求直線的傾斜角.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
直接將兩邊同時乘以求出復(fù)數(shù),再求其模即可.【詳解】解:將兩邊同時乘以,得故選:A【點睛】考查復(fù)數(shù)的運算及其模的求法,是基礎(chǔ)題.2、B【解析】
根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑可得滿足的條件,利用與圓心的距離判斷即可.【詳解】直線與圓相交,圓心到直線的距離,即.也就是點到圓的圓心的距離大于半徑.即點與圓的位置關(guān)系是點在圓外.故選:【點睛】本題主要考查直線與圓相交的性質(zhì),考查點到直線距離公式的應(yīng)用,屬于中檔題.3、C【解析】
根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,即得答案.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,且命題:,,.故選:.【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】
根據(jù)題意,分別假設(shè)一個正確,推理出與假設(shè)不矛盾,即可得出結(jié)論.【詳解】解:由題意知,若只有小王的說法正確,則小王對應(yīng)“入班即靜”,而否定小董說法后得出:小王對應(yīng)“天道酬勤”,則矛盾;若只有小董的說法正確,則小董對應(yīng)“天道酬勤”,否定小李的說法后得出:小李對應(yīng)“細(xì)節(jié)決定成敗”,所以剩下小王對應(yīng)“入班即靜”,但與小王的錯誤的說法矛盾;若小李的說法正確,則“細(xì)節(jié)決定成敗”不是小李的,則否定小董的說法得出:小王對應(yīng)“天道酬勤”,所以得出“細(xì)節(jié)決定成敗”是小董的,剩下“入班即靜”是小李的,符合題意.所以“入班即靜”的書寫者是:小李.故選:D.【點睛】本題考查推理證明的實際應(yīng)用.5、A【解析】
根據(jù)函數(shù)定義域得集合,解對數(shù)不等式得到集合,然后直接利用交集運算求解.【詳解】解:由函數(shù)得,解得,即;又,解得,即,則.故選:A.【點睛】本題考查了交集及其運算,考查了函數(shù)定義域的求法,是基礎(chǔ)題.6、A【解析】
根據(jù)定義,表示出數(shù)列的通項并等于2020.結(jié)合的正整數(shù)性質(zhì)即可確定解的個數(shù).【詳解】由題意可知首項為2,設(shè)第二項為,則第三項為,第四項為,第五項為第n項為且,則,因為,當(dāng)?shù)闹悼梢詾?;即?個這種超級斐波那契數(shù)列,故選:A.【點睛】本題考查了數(shù)列新定義的應(yīng)用,注意自變量的取值范圍,對題意理解要準(zhǔn)確,屬于中檔題.7、D【解析】試題分析:,,所以,所以由程序框圖輸出的為.故選D.考點:1、程序框圖;2、定積分.8、B【解析】分析:由題意首先求得,然后進(jìn)行交集運算即可求得最終結(jié)果.詳解:由題意可得:,結(jié)合交集的定義可得:.本題選擇B選項.點睛:本題主要考查交集的運算法則,補(bǔ)集的運算法則等知識,意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.9、C【解析】
設(shè)公差為,則由題意可得,解得,可得.令
,可得
當(dāng)時,,當(dāng)時,,由此可得數(shù)列前項和中最小的.【詳解】解:等差數(shù)列中,已知,且,設(shè)公差為,
則,解得
,.
令
,可得,故當(dāng)時,,當(dāng)時,,
故數(shù)列前項和中最小的是.故選:C.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì),等差數(shù)列的通項公式的應(yīng)用,屬于中檔題.10、A【解析】
根據(jù)向量共線的性質(zhì)依次判斷充分性和必要性得到答案.【詳解】若,則與共線,且方向相同,充分性;當(dāng)與共線,方向相反時,,故不必要.故選:.【點睛】本題考查了向量共線,充分不必要條件,意在考查學(xué)生的推斷能力.11、C【解析】
設(shè)拋物線的解析式,得焦點為,對稱軸為軸,準(zhǔn)線為,這樣可設(shè)點坐標(biāo)為,代入拋物線方程可求得,而到直線的距離為,從而可求得三角形面積.【詳解】設(shè)拋物線的解析式,則焦點為,對稱軸為軸,準(zhǔn)線為,∵直線經(jīng)過拋物線的焦點,,是與的交點,又軸,∴可設(shè)點坐標(biāo)為,代入,解得,又∵點在準(zhǔn)線上,設(shè)過點的的垂線與交于點,,∴.故應(yīng)選C.【點睛】本題考查拋物線的性質(zhì),解題時只要設(shè)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,就能得出點坐標(biāo),從而求得參數(shù)的值.本題難度一般.12、A【解析】
根據(jù)向量坐標(biāo)運算求得,由平行關(guān)系構(gòu)造方程可求得結(jié)果.【詳解】,,解得:故選:【點睛】本題考查根據(jù)向量平行關(guān)系求解參數(shù)值的問題,涉及到平面向量的坐標(biāo)運算;關(guān)鍵是明確若兩向量平行,則.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
對題目所給等式進(jìn)行賦值,由此求得的表達(dá)式,判斷出數(shù)列是等比數(shù)列,由此求得的值.【詳解】解:,可得時,,時,,又,兩式相減可得,即,上式對也成立,可得數(shù)列是首項為1,公比為的等比數(shù)列,可得.【點睛】本小題主要考查已知求,考查等比數(shù)列前項和公式,屬于中檔題.14、2【解析】
根據(jù)是等腰直角三角形,且為中點可得,再由雙曲線的性質(zhì)可得,解出即得.【詳解】由題,設(shè)點,由,解得,即線段,為直角三角形,,且,又為雙曲線右焦點,過點,且軸,,可得,,整理得:,即,又,.故答案為:【點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì),是??碱}型.15、【解析】
由已知及正弦定理,三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可得,從而求得,結(jié)合范圍,即可得到答案運用余弦定理和三角形面積公式,結(jié)合完全平方公式,即可得到答案【詳解】由已知及正弦定理可得,可得:解得,即,由面積公式可得:,即由余弦定理可得:即有解得【點睛】本題主要考查了運用正弦定理、余弦定理和面積公式解三角形,題目較為基礎(chǔ),只要按照題意運用公式即可求出答案16、【解析】
方法一:依題意,知直線的方程為,代入圓的方程化簡得,解得或,從而得或,則.方法二:依題意,知直線的方程為,代入圓的方程化簡得,設(shè),則,故.方法三:將圓的方程配方得,其半徑,圓心到直線的距離,則.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)最大值為.【解析】
(1)將函數(shù)表示為分段函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性求出該函數(shù)的最小值,進(jìn)而可證得結(jié)論成立;(2)由可得出,并將代數(shù)式與相乘,展開后利用基本不等式可求得的最小值,進(jìn)而可得出實數(shù)的最大值.【詳解】(1).當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞減,則;當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增,則;當(dāng)時,函數(shù)單調(diào)遞增,則.綜上所述,,所以;(2)因為恒成立,且,,所以恒成立,即.因為,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,所以,實數(shù)的最大值為.【點睛】本題考查含絕對值函數(shù)最值的求解,同時也考查了利用基本不等式恒成立求參數(shù),考查推理能力與計算能力,屬于中等題.18、(1)或.(2)存在,;【解析】
(1)根據(jù)動圓過,兩點,可得圓心在的垂直平分線上,由直線的方程為,可知在直線上;設(shè),由動圓與直線相切可得動圓的半徑為;又由,及垂徑定理即可確定的值,進(jìn)而確定圓的方程.(2)方法一:設(shè),可得圓的半徑為,根據(jù),可得方程為并化簡可得的軌跡方程為.設(shè),,可得的中點,進(jìn)而由兩點間距離公式表示出半徑,表示出到軸的距離,代入化簡即可求得的值,進(jìn)而確定所過定點的坐標(biāo);方法二:同上可得的軌跡方程為,由拋物線定義可求得,表示出線段的中點的坐標(biāo),根據(jù)到軸的距離可得等量關(guān)系,進(jìn)而確定所過定點的坐標(biāo).【詳解】(1)因為過點,,所以圓心在的垂直平分線上.由已知的方程為,且,關(guān)于于坐標(biāo)原點對稱,所以在直線上,故可設(shè).因為與直線相切,所以的半徑為.由已知得,,又,故可得,解得或.故的半徑或,所以的方程為或.(2)法一:設(shè),由已知得的半徑為,.由于,故可得,化簡得的軌跡方程為.設(shè),,則得,的中點,則以為直徑的圓的半徑為:,到軸的距離為,令,①化簡得,即,故當(dāng)時,①式恒成立.所以存在定點,使得以為直徑的圓與軸相切.法二:設(shè),由已知得的半徑為,.由于,故可得,化簡得的軌跡方程為.設(shè),因為拋物線的焦點坐標(biāo)為,點在拋物線上,所以,線段的中點的坐標(biāo)為,則到軸的距離為,而,故以為徑的圓與軸切,所以當(dāng)點與重合時,符合題意,所以存在定點,使得以為直徑的圓與軸相切.【點睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求法,動點軌跡方程的求法,拋物線定義及定點問題的解法綜合應(yīng)用,屬于難題.19、(Ⅰ)(Ⅱ)證明見解析.【解析】由與,得,,的方程為.設(shè),則,由得.①(Ⅰ)由,得,②,③由①、②、③三式,消去,并求得,故.(Ⅱ),當(dāng)且僅當(dāng)或時,取最小值,此時,,故與共線.20、(1)(為參數(shù));(2).【解析】
(1)根據(jù)伸縮變換結(jié)合曲線的參數(shù)方程可得出曲線的參數(shù)方程;(2)將曲線的方程化為普通方程,然后化為極坐標(biāo)方程,設(shè)點的極坐標(biāo)為,點的極坐標(biāo)為,將這兩點的極坐標(biāo)代入橢圓的極坐標(biāo)方程,得出和關(guān)于的表達(dá)式,然后利用三角恒等變換思想即可求出面積的最大值.【詳解】(1)由于曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),將曲線上每一點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?,縱坐標(biāo)不變,得到曲線,則曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù));(2)將曲線的參數(shù)方程化為普通方程得,化為極坐標(biāo)方程得,即,設(shè)點的極坐標(biāo)為,點的極坐標(biāo)為,將這兩點的極坐標(biāo)代入橢圓的極坐標(biāo)方程得,,的面積為,當(dāng)時,的面積取到最大值.【點睛】本題考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的互化,考查了伸縮變換,同時也考查了利用極坐標(biāo)方程求解三角形面積的最值問題,要熟悉極坐標(biāo)方程所適用的基本類型,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.21、(1);(2)見解析【解析】
(1)根據(jù)已知可得,結(jié)合離心率和關(guān)系,即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)斜
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