浙江省杭州七縣2023年高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考試題含解析

浙江省杭州七縣2023年高二數(shù)學第一學期期末聯(lián)考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某學校高二級選擇“史政地”“史政生”和“史地生”組合的同學人數(shù)分別為240，120和60．現(xiàn)采用分層抽樣的方法選出14位同學進行一項調(diào)查研究，則“史政生”組合中選出的人數(shù)為（）A.8 B.6C.4 D.32．某校為了解學生學習的情況，采用分層抽樣的方法從高一人、高二人、高三人中，抽取人進行問卷調(diào)查.已知高二被抽取的人數(shù)為人，那么高三被抽取的人數(shù)為（）A. B.C. D.3．如圖是等軸雙曲線形拱橋，現(xiàn)拱頂距離水面6米，水面寬米，若水面下降6米，則水面寬()A.米 B.米C.米 D.米4．雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.5．有下列三個命題:①“若，則互為相反數(shù)”的逆命題;②“若，則”的逆否命題;③“若，則”的否命題.其中真命題的個數(shù)是A.0 B.1C.2 D.36．一部影片在4個單位輪流放映，每個單位放映一場，不同的放映次序有（）A.種 B.4種C.種 D.種7．已知拋物線過點，點為平面直角坐標系平面內(nèi)一點，若線段的垂直平分線過拋物線的焦點，則點與原點間的距離的最小值為（）A. B.C. D.8．已知雙曲線的離心率為，左焦點為F，實軸右端點為A，虛軸上端點為B，則為（）A.直角三角形 B.鈍角三角形C.等腰三角形 D.銳角三角形9．已知圓：，是直線的一點，過點作圓的切線，切點為，，則的最小值為（）A. B.C. D.10．數(shù)列滿足，對任意，都有，則（）A. B.C. D.11．若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為，則不用現(xiàn)金支付的概率為（）A. B.C. D.12．已知平面法向量為，，則直線與平面的位置關(guān)系為A. B.C.與相交但不垂直 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，前項和為，若，則_______________.14．已知拋物線的焦點為，過焦點的直線交拋物線與兩點，且，則拋物線的準線方程為________.15．雙曲線的焦距為____________16．若直線與直線相互平行，則實數(shù)___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左焦點為F，右頂點為，M是橢圓上一點．軸且（1）求橢圓C的標準方程；（2）直線與橢圓C交于E，H兩點，點G在橢圓C上，且四邊形平行四邊形（其中O為坐標原點），求18．（12分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，公差，前項和為，，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列的通項公式（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和19．（12分）已知點，直線：，直線m過點N且與垂直，直線m交圓于兩點A，B.（1）求直線m的方程；（2）求弦AB的長.20．（12分）若數(shù)列的前n項和滿足，（1）求的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和21．（12分）在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：的焦距為4，且過點.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)橢圓C的上頂點為B，右焦點為F，直線l與橢圓交于M，N兩點，問是否存在直線l，使得F為的垂心（高的交點），若存在，求出直線l的方程：若不存在，請說明理由.22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面為的中點（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面的夾角大小

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)題意求得抽樣比，再求“史政生”組合中抽取的人數(shù)即可.【詳解】根據(jù)題意，分層抽樣的抽樣比為，故從“史政生”組合120中，抽取的人數(shù)時人.故選：.2、C【解析】利用分層抽樣求出的值，進而可求得高三被抽取的人數(shù).【詳解】由分層抽樣可得，可得，設(shè)高三所抽取的人數(shù)為，則，解得.故選：C.3、B【解析】以雙曲線的對稱中心為原點，焦點所在對稱軸為y軸建立直角坐標系，求出雙曲線方程，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】如圖所示，以雙曲線的對稱中心為原點，焦點所在對稱軸為y軸建立直角坐標系，設(shè)雙曲線標準方程為：(a＞0)，則頂點，，將A點代入雙曲線方程得，，當水面下降6米后，，代入雙曲線方程得，，∴水面寬：米.故選：B.4、A【解析】直接求出，，進而求出漸近線方程.【詳解】中，，，所以漸近線方程為，故.故選：A5、B【解析】①寫出命題的逆命題，可以進行判斷為真命題；②原命題和逆否命題真假性相同，而通過舉例得到原命題為假，故逆否命題也為假；③寫出命題的否命題，通過舉出反例得到否命題為假【詳解】①“若,則互為相反數(shù)”的逆命題是，若互為相反數(shù),則；是真命題；②“若,則”，當a=-1,b=-2,時不滿足，故原命題為假命題，而原命題和逆否命題真假性相同，故得到命題為假；③“若,則”的否命題是若,則，舉例當x=5時，不滿足不等式，故得到否命題是假命題；故答案為B.【點睛】這個題目考查了命題真假的判斷，涉及命題的否定，命題的否命題，逆否命題，逆命題的相關(guān)概念，注意原命題和逆否命題的真假性相同，故需要判斷逆否命題的真假時，只需要判斷原命題的真假6、C【解析】根據(jù)題意得到一部影片在4個單位輪流放映，相當于四個單位進行全排列，即可得到答案.【詳解】一部影片在4個單位輪流放映，相當于四個單位進行全排列，所以不同的放映次序有種，故選：C7、B【解析】將點的坐標代入拋物線的方程，求出的值，可求得拋物線的方程，求出的坐標，分析可知點的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓，利用圓的幾何性質(zhì)可求得點與原點間的距離的最小值.【詳解】將點的坐標代入拋物線的方程得，可得，故拋物線的方程為，易知點，由中垂線的性質(zhì)可得，則點的軌跡是以點為圓心，半徑為的圓，故點的軌跡方程為，如下圖所示：由圖可知，當點、、三點共線且在線段上時，取最小值，且.故選：B.8、A【解析】根據(jù)三邊的關(guān)系即可求出【詳解】因，所以，而，，，所以，即，所以為直角三角形故選：A9、A【解析】根據(jù)題意，為四邊形的面積的2倍，即，然后利用切線長定理，將問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離求解.【詳解】圓：的圓心為，半徑，設(shè)四邊形的面積為，由題設(shè)及圓的切線性質(zhì)得，，∵，∴，圓心到直線的距離為，∴的最小值為，則的最小值為，故選：A10、C【解析】首先根據(jù)題設(shè)條件可得，然后利用累加法可得，所以，最后利用裂項相消法求和即可.【詳解】由，得，則，所以，.故選：C.【點睛】本題考查累加法求數(shù)列通項，考查利用錯位相減法求數(shù)列的前n項和，考查邏輯思維能力和計算能力，屬于?？碱}.11、A【解析】利用對立事件概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由對立事件的概率公式可知，該群體中的成員不用現(xiàn)金支付的概率為.故選：A.12、A【解析】.本題選擇A選項.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由可知公比，所以直接利用等比數(shù)列前項和公式化簡，即可求出【詳解】解：因為，所以，所以，所以，化簡得，因為等比數(shù)列的各項為正數(shù)，所以，所以，故答案為：【點睛】此題考查等比數(shù)列前項和公式的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題14、【解析】根據(jù)題意作出圖形，設(shè)直線與軸的夾角為，不妨設(shè)，設(shè)拋物線的準線與軸的交點為，過點作準線與軸的垂線，垂足分別為，過點分別作準線和軸的垂線，垂足分別為，進一步可以得到，進而求出，同理求出，最后解得答案.【詳解】設(shè)直線與軸的夾角為，根據(jù)拋物線的對稱性，不妨設(shè)，如圖所示.設(shè)拋物線的準線與軸的交點為，過點作準線與軸的垂線，垂足分別為，過點分別作準線和軸的垂線，垂足分別為.由拋物線的定義可知，，同理：,于是，，則拋物線的準線方程為：.故答案為：.15、【解析】根據(jù)雙曲線的方程求出，再求焦距的值.【詳解】因為雙曲線方程為，所以，.雙曲線的焦距為.故答案為：.16、##【解析】由題意可得，從而可求出的值【詳解】因為直線與直線相互平行，所以，解得，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的簡單幾何性質(zhì)即可求出；（2）設(shè)，聯(lián)立與橢圓方程，求出，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出點的坐標，然后由點G在橢圓C上，可求出，從而可得【小問1詳解】∵橢圓C的右頂點為，∴，∵軸，且，∴，∴，所以橢圓C的標準方程為【小問2詳解】設(shè)，將直線代入，消去y并整理得，由，得．（*）由根與系數(shù)的關(guān)系可得，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，得，將G點坐標代人橢圓C的方程得，滿足（*）式∴18、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)成等比數(shù)列，有，即求解.（2）由（1）可得，，∴，再利用裂項相消法求和.【詳解】（1）由成等比數(shù)列，得，即，整理得，∵，∴，∴，即（2）由（1）可得，，∴，故【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本運算和裂項相消法求和，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.19、（1）（2）【解析】（1）求出斜率，用點斜式求直線方程；（2）利用垂徑定理求弦長.【小問1詳解】因為直線：，所以直線的斜率為.因為直線m過點N且與垂直，所以直線的斜率為，又過點，所以直線：，即【小問2詳解】直線與圓相交，則圓心到直線的距離為：，圓的半徑為，所以弦長20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系結(jié)合等比數(shù)列的定義可求解；（2）根據(jù)（1）化簡，利用裂項相消法求出數(shù)列的前n項和.小問1詳解】當時，，所以，即，當時，，得，則所以數(shù)列是首項為﹣1，公比為3的等比數(shù)列所以【小問2詳解】由（1）得：所以，所以21、（1）（2）存在：【解析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于a，b，c的關(guān)系，計算求值，即可得答案.（2）由（1）可得B、F點坐標，可得直線BF的斜率，根據(jù)F為垂心，可得，可得直線l的斜率，設(shè)出直線l的方程，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達定理，結(jié)合垂心的性質(zhì)，列式求解，即可得答案.【小問1詳解】因為焦距為4，所以，即，又過點，所以，又，聯(lián)立求得，所以橢圓C的方程為【小問2詳解】由（1）可得，所以，因為F為垂心，直線BF與直線l垂直，所以，則，即直線l的斜率為1，設(shè)直線l的方程為，，與橢圓聯(lián)立得，，所以，因為F為垂心，所以直線BN與直線MF垂直，所以，即，又，所以，即，所以，解得或，由，解得，又時，直線l過點B，不符合題意，所以，所以存在直線l