近世代數(shù)課件從群談起

從“群”談起11/9/20231一、“群”的起源1、法國(guó)數(shù)學(xué)家，近代代數(shù)學(xué)的創(chuàng)始人----伽羅瓦(E.Galois，1811-1832)方程的根式求解一元一次方程:一元二次方程：一元三次方程：11/9/20232一元三次方程經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q后化為如下方程：三個(gè)根是:(意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾《大術(shù)》1545年)其中是3次單位根，11/9/20233一元四次方程：移項(xiàng)：兩邊加上：得：

令右邊的判別式為零，求得y的一個(gè)三次方程，求其根，代入上式，求得根x.(卡爾達(dá)諾學(xué)生----費(fèi)拉里發(fā)現(xiàn)，記載于《大術(shù)》中)11/9/20234一般一元n次方程是否有類(lèi)似的根式解？高斯(GaussC.F.德國(guó)數(shù)學(xué)家，1777-1855)于1799年哥丁根大學(xué)完成的博士論文證明了代數(shù)基本定理：每一個(gè)次數(shù)大于等于1的n次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式恰有n個(gè)根法國(guó)數(shù)學(xué)家：拉格朗日(1736-1813)(預(yù)解式)，德國(guó)數(shù)學(xué)家：高斯(分圓方程)挪威數(shù)學(xué)家：阿貝爾(1802-1829)11/9/20235伽羅瓦的最主要功績(jī)：首先提出根的置換概念，每一個(gè)方程都可以與一個(gè)置換群聯(lián)系，從而用群論方法徹底解決的方程根式解問(wèn)題，更重要的是，群論的引入，為現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。方程與群的聯(lián)系：給定多項(xiàng)式f(x),伽羅瓦群,其元素是的所有置換。稱(chēng)為f的分裂域，11/9/202362、抽象群：來(lái)源較多，難以準(zhǔn)確說(shuō)明，有克萊因抽象群說(shuō)，也有凱萊抽象群說(shuō)等。11/9/20237二、群的其它應(yīng)用1、化學(xué)分子對(duì)稱(chēng)群（分子對(duì)稱(chēng)群僅有32種）研究分子的對(duì)稱(chēng)性加深人們對(duì)物質(zhì)性質(zhì)的認(rèn)識(shí)氨分子：(1個(gè)氮原子N和3個(gè)氫原子H)AabcNHHH11/9/20238試比較分子結(jié)構(gòu)圖與正四面體圖的對(duì)稱(chēng)變換區(qū)別：1)、A為不動(dòng)點(diǎn)

2)、a,b,c在一個(gè)平面上為正三角形，作它們的對(duì)稱(chēng)變換

3)、習(xí)慣上記氨的分子對(duì)稱(chēng)群記為，由6個(gè)元素組成。11/9/20239水分子對(duì)稱(chēng)群：水分子OHH水分子對(duì)稱(chēng)群習(xí)慣記為,由4個(gè)元素組成：1)、恒等變換2)、過(guò)O的軸的旋轉(zhuǎn)180o

3)、分子所在平面HOH的反射4)、過(guò)O且垂直于H聯(lián)線(xiàn)的平面的反射。11/9/2023102、晶體分類(lèi)

各種晶體中原子排列模型表明，這是一個(gè)有一定規(guī)則的多面體，可以利用空間格點(diǎn)加以表述。例:氯化納(NaCl)晶體原子排列模型：白：鈉原子氯：氯原子11/9/20231119世紀(jì)后半葉，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)：1、晶體外形的全部對(duì)稱(chēng)形式，稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)群，共32種。2、晶體內(nèi)部構(gòu)造一切可能的對(duì)稱(chēng)形式，稱(chēng)為空間群，230種。晶體分類(lèi)的數(shù)學(xué)理論是由俄國(guó)數(shù)學(xué)家E.C.費(fèi)多羅夫應(yīng)用群的結(jié)構(gòu)理論于1891年創(chuàng)立。1912年德國(guó)物理學(xué)家馮.勞厄利用X射線(xiàn)的衍射實(shí)驗(yàn)證實(shí)了晶體對(duì)稱(chēng)群的存在性，為此，他獲得1914年度的諾貝爾物理獎(jiǎng)。

隨后英國(guó)科學(xué)家布拉格父子利用勞厄方法和空間群的計(jì)算，給出了晶體中原子的固有排列形狀，為此獲得1915年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)。11/9/2023123、科學(xué)計(jì)算的重要方法例設(shè)有一塊正六邊形的瓷磚，在六個(gè)頂點(diǎn)上分別染成三個(gè)白色和三個(gè)黑色，問(wèn)有幾種瓷磚圖案？圖示如下：計(jì)算結(jié)果：4種11/9/202313它們是：11/9/202314如何計(jì)算？Burnside定理：設(shè)有限群G作用于有限集合M上，對(duì)G中每一個(gè)元素g，記g的不動(dòng)元的集合為Fg,則M在G作用下的軌道數(shù)是11/9/2023154、編碼理論編碼在數(shù)字通訊、計(jì)算機(jī)和數(shù)據(jù)處理等科學(xué)技術(shù)中有廣泛應(yīng)用。信源編碼器信道譯碼器信宿干擾源11/9/202316將信源的信息轉(zhuǎn)化為數(shù)字信息傳送給收信者稱(chēng)為數(shù)字通信.工程上最易實(shí)現(xiàn)的是二元數(shù)字信息的傳送，二元數(shù)字信息就是有限長(zhǎng)的二元n元數(shù)組(c1,…,cn),其中每一個(gè)ciZ2.二元n元數(shù)組可以表達(dá)2n種不同的符號(hào)，因此英文字母、數(shù)字及有關(guān)號(hào)碼可用適當(dāng)?shù)亩猲元數(shù)組表示之。為解決數(shù)字傳輸過(guò)程中可能出現(xiàn)的干擾，除采用各種技術(shù)處理外，常采用抗干擾編碼的方法。11/9/202317設(shè)Z2n是信息源的原始數(shù)字信息集合。取自然數(shù)m>n,作單射E:Z2nZ2m.ImE稱(chēng)為碼，ImE中元素稱(chēng)為碼字，m稱(chēng)為碼長(zhǎng)，碼字的分量稱(chēng)為碼元。顯然Z2m是域Z2上的向量空間，如果ImE是Z2m的子空間,稱(chēng)ImE是二元線(xiàn)性碼，由于(Z2m,+)的子群與子空間一致，因此二元線(xiàn)性碼也稱(chēng)為群碼。特別地，當(dāng)對(duì)某些特殊的編碼函數(shù)E:Z2nZ2m,可以使E成為群同態(tài)。比如，E:Z2nZ2m使E(X)=XG,其中G是一個(gè)nm矩陣。數(shù)字通信群的問(wèn)題11/9/202318三、高中數(shù)學(xué)新課程“對(duì)稱(chēng)與群”選修課雜談

1、起點(diǎn)：初中畢業(yè)

2、開(kāi)課學(xué)期：高中階段的任意一個(gè)學(xué)期3、共計(jì)18學(xué)時(shí)

4、教學(xué)目的：(1)學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)思想觀察世界，落實(shí)到這一專(zhuān)題，應(yīng)使學(xué)生了解群是研究和觀察對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)方法。并能夠應(yīng)用群的方法對(duì)平面上基本圖形的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行觀察。11/9/202319(2)掌握軸對(duì)稱(chēng)，中心對(duì)稱(chēng)的變換形式以及正確的表達(dá)方法(反射與旋轉(zhuǎn))(3)掌握置換群的運(yùn)算，特別是為什么這些運(yùn)算有別于數(shù)的運(yùn)算。(4)了解一些數(shù)學(xué)史，特別是近代代數(shù)學(xué)是如何發(fā)展起來(lái)的。11/9/202320

5、難點(diǎn)：置換表達(dá)(2)置換運(yùn)算(合成)11/9/202321(1)觀察各種對(duì)稱(chēng)現(xiàn)象，引導(dǎo)對(duì)稱(chēng)性的正確表述，如軸對(duì)稱(chēng)，中心對(duì)稱(chēng)等。利用距離進(jìn)行一些必要的計(jì)算以加深對(duì)稱(chēng)的理解。6、18學(xué)時(shí)安排參考：(2)熟悉平面基本圖形：等邊三角形，正方形，正五邊形等的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)中心。并學(xué)會(huì)如何用符號(hào)標(biāo)記它們，特別是對(duì)稱(chēng)軸過(guò)頂點(diǎn)時(shí)，應(yīng)如何標(biāo)記才是正確。如：abcdl對(duì)稱(chēng)軸l用ab表示有什么問(wèn)題？11/9/202322(3)平面剛體運(yùn)動(dòng)，利用平面剛體運(yùn)動(dòng)重新認(rèn)識(shí)軸對(duì)稱(chēng)與中心對(duì)稱(chēng)。(4)平面剛體運(yùn)動(dòng)的基本性質(zhì)：直線(xiàn)變直線(xiàn)，線(xiàn)段變線(xiàn)段，射線(xiàn)變射線(xiàn)。如何理解平面剛體運(yùn)動(dòng)將平面上任意正n邊形仍然變?yōu)樾螤詈痛笮”３植蛔兊恼齨邊形。(5)有不動(dòng)點(diǎn)的平面剛體運(yùn)動(dòng)----僅一點(diǎn)不動(dòng)的為旋轉(zhuǎn)，僅一直線(xiàn)不動(dòng)的為反射。(6)平面圖形K的對(duì)稱(chēng)變換，找出等邊三角形，正方形，正五邊形等基本圖形的對(duì)稱(chēng)變換。11/9/202323(7)對(duì)稱(chēng)變換的運(yùn)算----合成(8)進(jìn)一步熟悉變換合成：變換表示，恒等變換，逆變換。

(9)合成的結(jié)合律，但一般情況下，沒(méi)有交換律，用集合形式表達(dá)圖形K上的所有對(duì)稱(chēng)變換，并引入乘法表。(10)寫(xiě)出平面上常見(jiàn)圖形的對(duì)稱(chēng)群，以及乘法表。寫(xiě)出某些化學(xué)分子對(duì)稱(chēng)群。(11)n個(gè)文字上的一一對(duì)應(yīng)表達(dá)方式，結(jié)合前面平面圖形進(jìn)行教學(xué)。11/9/202324(12)置換合成運(yùn)算，寫(xiě)出用置換表達(dá)的平面圖形K上對(duì)稱(chēng)群的乘法表。(13)n