云南省楚雄彝族自治州大姚第一中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測試題含解析

云南省楚雄彝族自治州大姚第一中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．一動圓與圓外切，而與圓內(nèi)切，那么動圓的圓心的軌跡是（）A.橢圓 B.雙曲線C.拋物線 D.雙曲線的一支2．已知數(shù)列中，，當(dāng)時，，設(shè)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）A. B.C. D.3．是首項(xiàng)和公差均為3的等差數(shù)列，如果，則n等于（）A.671 B.672C.673 D.6744．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，則焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C.1 D.5．某公司有1000名員工，其中：高層管理人員為50名，屬于高收入者；中層管理人員為150名，屬于中等收入者；一般員工為800名，屬于低收入者．要對這個公司員工的收入情況進(jìn)行調(diào)查，欲抽取100名員工，應(yīng)當(dāng)抽取的一般員工人數(shù)為（）A.100 B.15C.80 D.506．用斜二測畫法畫出邊長為2的正方形的直觀圖，則直觀圖的面積為（）A. B.C.4 D.7．在一次體檢中，發(fā)現(xiàn)甲、乙兩個單位的職工中體重超過的人員的體重如下（單位：）.若規(guī)定超過為顯著超重，從甲、乙兩個單位中體重超過的職工中各抽取1人，則這2人中，恰好有1人顯著超重的概率為（）A. B.C. D.8．給出下列判斷，其中正確的是（）A.三點(diǎn)唯一確定一個平面B.一條直線和一個點(diǎn)唯一確定一個平面C.兩條平行直線與同一條直線相交，三條直線在同一平面內(nèi)D.空間兩兩相交的三條直線在同一平面內(nèi)9．橢圓的長軸長為（）A. B.C. D.10．已知等比數(shù)列中，，則這個數(shù)列的公比是（）A.2 B.4C.8 D.1611．某救援隊有5名隊員，其中有1名隊長，1名副隊長，在一次救援中需隨機(jī)分成兩個行動小組，其中一組2名隊員，另一組3名隊員，則正、副隊長不在同一組的概率為（）A. B.C. D.12．已知數(shù)列滿足，，則（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．兩條平行直線與的距離是__________14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，過作x軸垂線交橢圓于點(diǎn)P，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是___________.15．已知空間向量，則向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是__________16．在公差不為的等差數(shù)列中，，，成等比數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個數(shù)，使得包括與在內(nèi)的這個數(shù)成等差數(shù)列，其公差為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和18．（12分）2021年7月25日，在東京奧運(yùn)會自行車公路賽中，奧地利數(shù)學(xué)女博士安娜·基秣崔天以3小時52分45秒的成績獲得冠軍，震驚了世界！廣大網(wǎng)友驚呼“學(xué)好數(shù)理化，走遍天下都不怕”．某市對中學(xué)生的體能測試成績與數(shù)學(xué)測試成績進(jìn)行分析，并從中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行抽樣分析，得到下表（單位：人）：體能一般體能優(yōu)秀合計數(shù)學(xué)一般5050100數(shù)學(xué)優(yōu)秀4060100合計90110200（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“體能優(yōu)秀”還是“體能一般”與數(shù)學(xué)成績有關(guān)？（結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）（2）①現(xiàn)從抽取的數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人中，按“體能優(yōu)秀”與“體能一般”這兩類進(jìn)行分層抽樣抽取10人，然后，再從這10人中隨機(jī)選出4人，求其中至少有2人是“體能優(yōu)秀”的概率；②將頻率視為概率，以樣本估計總體，從該市中學(xué)生中隨機(jī)抽取10人參加座談會，記其中“體能優(yōu)秀”的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望和方差參考公式：，其中參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.250.0102.0722.7063.8415.0246.63519．（12分）已知：在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱平面，點(diǎn)為中點(diǎn)，.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角大?。唬?）求點(diǎn)到平面的距離.20．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn).（?。┣蟮娜≈捣秶?；（ⅱ）證明：.21．（12分）（1）求過點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程；（2）甲，乙，丙等7名同學(xué)站成一排，若甲和乙相鄰，但甲乙二人都不和丙相鄰，則共有多少種不同排法？22．（10分）已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】依據(jù)定義法去求動圓的圓心的軌跡即可解決.【詳解】設(shè)動圓的半徑為r,又圓半徑為1，圓半徑為8，則，，可得，又則動圓的圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)長軸長為9的橢圓.故選：A2、A【解析】根據(jù)遞推關(guān)系式得到，進(jìn)而利用累加法可求得結(jié)果【詳解】數(shù)列中，，當(dāng)時，，，，，且，，故選：A3、D【解析】根據(jù)題意，求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，令，解得.故選：D4、D【解析】根據(jù)給定條件求出拋物線C的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線，再利用拋物線的定義求出a值計算作答.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線，依題意，由拋物線定義得，解得，所以拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為.故選：D5、C【解析】按照比例關(guān)系，分層抽取.【詳解】由題意可知，所以應(yīng)當(dāng)抽取的一般員工人數(shù)為.故選：C6、A【解析】畫出直觀圖，求出底和高，進(jìn)而求出面積.【詳解】如圖，，，，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，則,所以直觀圖是底為2、高為的平行四邊形，所以面積為.故選：A.7、B【解析】列舉出所有選取的情況，再找出滿足題意的情況，根據(jù)古典概型的概率計算公式即可求解.【詳解】不妨用表示每種抽取情況，其中是指甲單位抽取1人的體重，代表從乙單位抽取人的體重.則所有的可能有16種，如下所示：，，，，，，，，，，，，，，，其中滿足題意的有6種：，，，，，故抽取的這2人中，恰好有1人顯著超重的概率為：.故選：.8、C【解析】根據(jù)確定平面的條件可對每一個選項(xiàng)進(jìn)行判斷.【詳解】對A，如果三點(diǎn)在同一條直線上，則不能確定一個平面，故A錯誤；對B，如果這個點(diǎn)在這條直線上，就不能確定一個平面，故B錯誤；對C，兩條平行直線確定一個平面，一條直線與這兩條平行直線都相交，則這條直線就在這兩條平行直線確定的一個平面內(nèi)，故這三條直線在同一平面內(nèi)，C正確；對D，空間兩兩相交的三條直線可確定一個平面，也可確定三個平面，故D錯誤.故選：C9、D【解析】由橢圓方程可直接求得.【詳解】由橢圓方程知：，長軸長為.故選：D.10、A【解析】直接利用公式計算即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知，，所以，解得.故選：A11、C【解析】求出基本事件總數(shù)與正、副隊長不在同一組的基本事件個數(shù)，即可求出答案.【詳解】基本事件總數(shù)為正、副隊長不在同一組的基本事件個數(shù)為故正、副隊長不在同一組的概率為.故選：C.12、A【解析】根據(jù)遞推關(guān)系依次求出即可.【詳解】，，，，，.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】根據(jù)兩平行直線，可求得a值，根據(jù)兩平行線間距離公式，即可得答案.【詳解】因?yàn)閮善叫兄本€與，所以，解得，所以兩平行線的距離.故答案為：514、##【解析】以為等腰直角三角形列方程組可得之間的關(guān)系式，進(jìn)而求得橢圓的離心率.【詳解】橢圓的左、右焦點(diǎn)為，點(diǎn)P由為等腰直角三角形可知，，即可化為，故或（舍）故答案為：15、【解析】根據(jù)投影向量的知識求得正確答案.【詳解】空間向量在坐標(biāo)平面上的投影向量是.故答案為：16、（1）（2）【解析】（1）由解出，再由前項(xiàng)和為55求得，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解；（2）先求出，再由裂項(xiàng)相消求和即可.【小問1詳解】設(shè)公差為，由，，成等比數(shù)列，可得，即有，整理得，數(shù)列的前項(xiàng)和為55，可得，解得1，1，則；【小問2詳解】，則三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，（2）【解析】（1）根據(jù)公式得到，得到，再根據(jù)等比數(shù)列公式得到答案.（2）根據(jù)等差數(shù)列定義得到，再利用錯位相減法計算得到答案.【小問1詳解】，當(dāng)時，，得到；當(dāng)時，，兩式相減得到，整理得到，即，故，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，即，驗(yàn)證時滿足條件，故.【小問2詳解】，故，，，兩式相減得到：，整理得到：，故.18、（1）不能，理由見解析；（2）①，②，【解析】（1）運(yùn)用公式求出，比較得出結(jié)論.（2）①先用分層抽樣得到“體能優(yōu)秀”與“體能一般”的人數(shù)，再利用公式計算至少有2人是“體能優(yōu)秀”的概率.②根據(jù)已知條件知此分布列為二項(xiàng)分布，故利用數(shù)學(xué)期望和方差的公式即可求出答案【小問1詳解】由表格的數(shù)據(jù)可得，，故不能在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為“體能優(yōu)秀”還是“體能一般”與數(shù)學(xué)成績有關(guān).【小問2詳解】①在數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人群中，“體能優(yōu)秀”與“體能一般”的比例為“體能一般”的人數(shù)為，“體能優(yōu)秀”的人數(shù)為故再從這10人中隨機(jī)選出4人，其中至少有2人是“體能優(yōu)秀”的概率為.②由題意可得，隨機(jī)抽取一人“體能優(yōu)秀”的概率為，且故，19、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】（1）以AB所在的直線為x軸，以AD所在的直線為y軸，以AP所在的直線為z軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求出平面PCD的法向量為，平面的法向量為，即得證；（2）設(shè)直線與平面所成角為，利用向量法求解；（3）利用向量法求點(diǎn)到平面的距離.【小問1詳解】證明：PA平面ABCD，ABCD為正方形，以AB所在的直線為x軸，以AD所在的直線為y軸，以AP所在的直線為z軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.由已知可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1）M為PD的中點(diǎn)，，所以，，，所以，又PDAM，，平面PCDAM平面PCD.平面PCD的法向量為.設(shè)平面的法向量為,，令，則，..平面MAC平面PCD.【小問2詳解】解：設(shè)直線與平面所成角為，由(1)可得：平面PCD的法向量為，，，即直線與平面所成角大小.【小問3詳解】解：，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，.點(diǎn)到平面的距離為.20、（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）證明見解析.【解析】（1）求出，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得切線方程；（2）（ⅰ）根據(jù)題意對參數(shù)分類討論，當(dāng)時，等價轉(zhuǎn)化，且構(gòu)造函數(shù)，利用零點(diǎn)存在定理，即可求得參數(shù)的取值范圍；（ⅱ）根據(jù)（ⅰ）中所求得到與的等量關(guān)系，求得并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性和最值，則問題得證.【小問1詳解】當(dāng)時，，則，故，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為.【小問2詳解】（ⅰ）因?yàn)?，故可得，因?yàn)?，則當(dāng)時，，則，無零點(diǎn)，不滿足題意；當(dāng)時，若在有一個零點(diǎn)，即在有一個零點(diǎn)，也即在有一個零點(diǎn)，又，則單調(diào)遞增，則只需，解得.綜上所述，若在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)，則；（ⅱ）由（ⅰ）可知，若在區(qū)間上有唯一的零點(diǎn)，則，也即，則，令，則，又在都是單調(diào)增函數(shù)，故是單調(diào)增函數(shù)，又，故，則在單調(diào)遞增，則，故，即證.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)以及最值；處理問題的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化函數(shù)零點(diǎn)問題，以及充分利用零點(diǎn)存在定理，熟練掌握構(gòu)造函數(shù)法，屬綜合困難題.21、（1）；（2）960【解析】（1）根據(jù)題意，設(shè)要求直線為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，求出的值，即可得答案；（2）根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先將除甲乙丙之外的4人全排列，再將甲乙看成一個整體，與丙一起安排在4人的空位中，由分步計數(shù)原理計算可得答案【詳解】解