多邊形及其內(nèi)角和教案人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)

【教學(xué)目標(biāo)】1．了解多邊形、凹凸多邊形、正多邊形、多邊形的內(nèi)角、外角、對(duì)角線等基本概念．2．經(jīng)歷探索多邊形內(nèi)角和與外角和公式的過程，體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系．【教學(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：掌握多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)，并能運(yùn)用公式解決一些實(shí)際問題．難點(diǎn)：掌握多邊形內(nèi)角和等公式，并能運(yùn)用多邊形內(nèi)角和公式和外角和結(jié)論解決問題．【教學(xué)方法】探究推理法、情境再現(xiàn)法.【教學(xué)過程】新課導(dǎo)入：創(chuàng)設(shè)情境，提出問題：在實(shí)際生活當(dāng)中，除了三角形，還有許多由線段圍成的圖形.觀察圖片，你能找到由一些線段圍成的圖形嗎？提出問題：?jiǎn)栴}1：什么是三角形？由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形.問題2：觀察畫某多邊形的過程，類比三角形的概念，你能說出什么是多邊形嗎？在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.思考：比較多邊形的定義與三角形的定義，為什么要強(qiáng)調(diào)“在平面內(nèi)”呢？這是因?yàn)槿切沃械娜齻€(gè)頂點(diǎn)肯定都在同一個(gè)平面內(nèi)，而四點(diǎn)，五點(diǎn)，甚至更多的點(diǎn)就有可能不在同一個(gè)平面內(nèi).新課講授：（一）多邊形的基本概念類比三角形的有關(guān)概念，說明什么是多邊形的邊、頂點(diǎn)、內(nèi)角、外角．內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角.歸納結(jié)論：n邊形有n個(gè)頂點(diǎn)，n條邊，n個(gè)內(nèi)角，2n個(gè)外角．多邊形的分類：多邊形按它的邊數(shù)可分為：三角形，四邊形，五邊形等等.其中三角形是最簡(jiǎn)單的多邊形.多邊形按各邊所在直線的位置關(guān)系分為凸多邊形和凹多邊形.多邊形的任何一條邊所在的直線，整個(gè)多邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個(gè)多邊形就是凸多邊形.本節(jié)我們只討論凸多邊形.多邊形被一條邊所在的直線分成了兩部分，不在這條直線同側(cè)是凹多邊形.按多邊形各邊和各角之間的數(shù)量關(guān)系分有各邊或各角之間不相等的多邊形和正多邊形.像正方形這樣，各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫正多邊形.例1：凸六邊形紙片剪去一個(gè)角后，得到的多邊形的邊數(shù)可能是多少？畫出圖形說明．解：∵六邊形截去一個(gè)角的邊數(shù)有增加1、減少1、不變?nèi)N情況，∴新多邊形的邊數(shù)為7、5、6三種情況，如圖所示：歸納結(jié)論：一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一條.多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.注意：線段AC是五邊形ABCDE的一條對(duì)角線，多邊形的對(duì)角線通常用虛線表示.小組合作：請(qǐng)畫出下列圖形從某一頂點(diǎn)出發(fā)的對(duì)角線的條數(shù)：多邊形三角形四邊形五邊形六邊形七邊形n邊形從同一頂點(diǎn)引出的對(duì)角線的條數(shù)01235n3分割出的三角形個(gè)數(shù)12346n2歸納結(jié)論：從(n≥3)邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作出(n3)條對(duì)角線.將多邊形分成(n2)個(gè)三角形.n邊形的共有對(duì)角線n(n?3)2條(n≥3)課堂練習(xí)：若從一個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，最多可以引10條對(duì)角線，則這是邊形.（二）多邊形的內(nèi)角和小組合作：計(jì)算矩形的內(nèi)角和并根據(jù)已有知識(shí)利用三角形內(nèi)角和定理探究四邊形的內(nèi)角和.證明：連接AC，∠BAD+∠B+∠BCD+∠D=（∠BAC+∠BCA+∠B）+（∠DAC+∠DCA+∠D）=180°+180°=360°．實(shí)踐探究：類比前面的過程，你能探索五邊形的內(nèi)角和嗎？六邊形呢？如圖，從五邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作2條對(duì)角線，它們將五邊形分為3個(gè)三角形，五邊形的內(nèi)角和等于180°×3=540°．同樣的六邊形的內(nèi)角和的內(nèi)角和為720°.思考：通過上述過程，你能說說多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)的關(guān)系嗎？結(jié)論：從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以作（n3）條對(duì)角線，它們將n邊形分為（n2）個(gè)三角形，這（n2）個(gè)三角形的內(nèi)角和就是n邊形的內(nèi)角和，所以，n邊形的內(nèi)角和等于（n2）×180°．例2:如果一個(gè)四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，那么另一組對(duì)角有什么關(guān)系？解:如圖，在四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°.∵∠A+∠B+∠C+∠D=（42）×180°=360°∵∠B+∠D=360°（∠A+∠C）=360°180°=180°結(jié)論：四邊形的一組對(duì)角互補(bǔ)，另一組對(duì)角也互補(bǔ).例3：一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比四邊形的內(nèi)角和多720°，并且這個(gè)多邊形的各內(nèi)角都相等，這個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角是多少度？解：設(shè)這個(gè)多邊形邊數(shù)為n，則（n2）?180=360+720，解得n=8，∵這個(gè)多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，∴它每一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為（360°+720°）÷8=135°．例4：一個(gè)同學(xué)在進(jìn)行多邊形的內(nèi)角和計(jì)算時(shí)，求得內(nèi)角和為1125°，當(dāng)他發(fā)現(xiàn)錯(cuò)了以后，重新檢查，發(fā)現(xiàn)少算了一個(gè)內(nèi)角，問這個(gè)內(nèi)角是多少度？他求的是幾邊形的內(nèi)角和？解：設(shè)此多邊形的內(nèi)角和為x，則有1125°＜x＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°，因?yàn)閤為多邊形的內(nèi)角和，所以它是180°的倍數(shù)，所以x＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的這個(gè)內(nèi)角是135°，這個(gè)多邊形是九邊形．（三）多邊形的外角和類比三角形的外角和的計(jì)算方法求四邊形的外角和.解：由∠BAD+∠1=180°，∠ABC+∠2=180°，∠BCD+∠3=180°，∠ADC+∠4=180°，得∠BAD+∠1+∠ABC+∠2+∠BCD+∠3+∠ADC+∠4=180°×4．由∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠ADC=180°×2，得∠1+∠2+∠3+∠4=180°×4180°×2=360°．我們也可以這樣理解多邊形外角和等于360°．AA如圖，從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A出發(fā)，沿多邊形的各邊走過各頂點(diǎn)，再回到點(diǎn)A，然后轉(zhuǎn)向出發(fā)的方向．由于走了一周，所轉(zhuǎn)過的各個(gè)角的和等于一個(gè)周角，所以多邊形外角和等于360°．歸納結(jié)論：任意多邊形的外角和等于360°．與多邊形的邊數(shù)無關(guān).探究：回想正多邊形的性質(zhì)，你知道正多邊形的每個(gè)內(nèi)角是多少度嗎？每個(gè)外角呢？為什么？結(jié)論：正n邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)(n?2)?180°n，每個(gè)外角的度數(shù)360°例5：已知一個(gè)多邊形，它的內(nèi)角和等于外角和的4倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n.(n－2)?180°=4×360°.解得n=10.∴這個(gè)多邊形的邊數(shù)為10.課堂練習(xí)：1.六邊形的對(duì)角線共有（）2.下列屬于正多邊形的是（）3.若多邊形的邊數(shù)由5增加到7，則其外角和的度數(shù)（）4.已知，在四邊形ABCD中，∠A:∠B＝5:7，∠B與∠A的差等于∠C，∠D與∠C的差是80度，求四邊形ABCD四個(gè)內(nèi)角的度數(shù).課堂小結(jié)： 本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了：1.多邊形的頂點(diǎn)、邊、內(nèi)角、外角、對(duì)角線等概念；2.多邊形的分類；3.多邊形的對(duì)角線計(jì)算方法；4.多邊形的內(nèi)角和公式；5.多邊形的外角和公式；6.正多邊形的一個(gè)外角和一個(gè)內(nèi)角的計(jì)算公式.作業(yè)布置：1.小組合作繪制本節(jié)課所有知識(shí)點(diǎn)的思維導(dǎo)圖.2.如圖，小亮從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)10米，后左轉(zhuǎn)30度，再沿直線前進(jìn)10米.又向左轉(zhuǎn)30度，…，照這樣走下去