函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例3

3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例常見的數(shù)學(xué)函數(shù)模型:一次函數(shù)模型：注意：建立相應(yīng)函數(shù)模型后，求函數(shù)解析式多采用用待定系數(shù)法.y=kx+b(k≠0)二次函數(shù)模型：y=ax2+bx+c(a≠0)指數(shù)函數(shù)模型：對數(shù)函數(shù)模型：冪函數(shù)模型：分段函數(shù)模型：y=max+n(m≠0,a>0且a≠1)y=mlogax+n(m≠0,a>0且a≠1)y=bxa+c(b≠0,a≠1)2.用已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的基本步驟：第一步，

，；第二步，根據(jù)所給模型，列出函數(shù)關(guān)系式；第三步，

；第四步，再將所得結(jié)論轉(zhuǎn)譯成具體問題的解答.1.我們目前已學(xué)習(xí)了以下幾種函數(shù)：一次函數(shù)

，二次函數(shù)

，指數(shù)函數(shù)

，對數(shù)函數(shù)

，冪函數(shù)

.（試在橫線上依次填出其解析式.）y=kx+b（k≠0）y=ax2+bx+c(a≠0)y=ax(a>0,且a≠1)y=logax(a>0,且a≠1)y=xα(α為常數(shù))審清題意設(shè)立變量利用函數(shù)關(guān)系求解3.在處理曲線擬合與預(yù)測的問題時，通常需要以下幾個步驟：（1）能夠根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格、繪出散點(diǎn)圖；（2）通過考查散點(diǎn)圖，畫出“最貼近”的曲線，即

;（3）根據(jù)所學(xué)函數(shù)知識，求出擬合曲線的

;（4）利用函數(shù)關(guān)系，根據(jù)條件對所給問題進(jìn)行預(yù)測和控制，以便為決策和管理提供依據(jù).擬合曲線函數(shù)解析式考點(diǎn)突破一已知函數(shù)模型的應(yīng)用題若題目中給出了模型函數(shù)的解析式或者是圖象，則利用函數(shù)性質(zhì)解決實(shí)際問題．學(xué)點(diǎn)一函數(shù)圖象的應(yīng)用向高為H的水瓶中注水，注滿為止，如果注水量V與水深h的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示，那么水瓶的形狀是（

）【分析】由函數(shù)圖象可知函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性等.考查圖象常用特殊點(diǎn)驗(yàn)證.

B【解析】解法一：由圖知注水量V隨著高度的增加，增加的越來越少，∴瓶子應(yīng)越來越細(xì).故應(yīng)選B.解法二：（中點(diǎn)判斷法）取h=，如圖所示三點(diǎn)A，B，C，顯VB>VC=，即水高度達(dá)到瓶子一半時，水的體積超過瓶子的一半，顯然應(yīng)下粗上細(xì).故應(yīng)選B.【評析】抓住函數(shù)圖象的變化趨勢，定性地研究兩個變量之間的關(guān)系，是近年來常見應(yīng)用題的一種題型，其出發(fā)點(diǎn)是函數(shù)的圖象，處理問題的基本方法就是數(shù)形結(jié)合.設(shè)計四個杯子的形狀,使得在向杯中勻速注水時,杯中水面的體積V隨高度h變化的圖象分別與下列圖象相符合.0hHvh0Hv0Hv0Hv一天，亮亮發(fā)燒了，早晨他燒得很厲害，吃過藥后感覺好多了，中午時亮亮的體溫基本正常，但是下午他的體溫又開始上升，直到半夜亮亮才感覺身上不那么發(fā)燙了.圖中能基本上反映出亮亮這一天（0時~24時）體溫的變化情況的是（）（設(shè)T=f(x)，顯然在t∈［0,6］,［6,12］,［12,18］,［18,24］時，f(t)依次為增、減、增、減函數(shù).故應(yīng)選C.）C思考某學(xué)生早上起床太晚，為避免遲到，不得不跑步去學(xué)校，但由于平時不注意鍛煉身體，結(jié)果跑了一段路后就累了，于是就走完余下的路程。如果用縱軸表示該同學(xué)去學(xué)校時離開家的距離，橫軸表示出發(fā)后的時間，則下列四個圖象比較符合此學(xué)生走法的是()0(A)0(B)0(D)0(C)C試一試：近幾年來，由于經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展迅速，用電矛盾越來越突出。為緩解用電緊張，某電力公司特制定了新的用電收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，每月用電量x（度）與應(yīng)付電費(fèi)y（元）的關(guān)系如圖所示。⑴請你根據(jù)圖像所描述的信息，分別求出當(dāng)0≤x≤50和x>50時，y與x的函數(shù)關(guān)系式。⑵根據(jù)你的分析：當(dāng)每月用電量不超過50度時，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是_______；當(dāng)每月用電量超過50度時，收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是:不超過50度部分按0.5元/度計算，超過部分按0.9元/度計算。0.5元/度；（1）小明全家在旅游景點(diǎn)游玩了多少小時？“十一黃金周”的某一天，小明全家上午8時自駕小汽車從家里出發(fā)，到距離180千米的某著名旅游景點(diǎn)游玩。該小汽車離家的距離s(千米)與時間t(時)的關(guān)系可以用圖中的曲線表示。根據(jù)圖象提供的有關(guān)信息，解答下列問題：（2）求出返程途中，s(千米)與時間t(時)的函數(shù)關(guān)系，并回答小明全家到家是什么時間？（3）若出發(fā)時汽車油箱中存油15升，油箱總?cè)萘繛?5升，汽車每行駛1千米耗油1/9升。請問小明家在旅游期間何時給汽車加滿油4小時17:009:30前必須滿油；（4）求s=f(t)的表達(dá)式某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，據(jù)監(jiān)測，如果成人按規(guī)定的劑量服用，服藥后每毫升血液中的含藥量y(微克)與服藥后的時間t(小時)之間近似滿足如圖所示的曲線，其中OA是線段，曲線ABC是函數(shù)y=k·at(t≥1,a>0，且k,a是常數(shù))的圖象.（1）寫出服藥后y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；（2）據(jù)測定：每毫升血液中含藥量不少于2微克時治療疾病有效.假若某病人第一次服藥為早上6：00，為了保持療效，第二次服藥最遲應(yīng)該在當(dāng)天幾點(diǎn)鐘？（3）若按（2）中的最遲時間第二次服藥，則服藥后再過3小時，該病人每毫升血液中含藥量為多少微克？（精確到0.1微克）【分析】待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是一種求函數(shù)解析式的基本題型.（1）當(dāng)0≤t<1時，y=8t,當(dāng)t≥1時，把A，B的坐標(biāo)分別代入y=k·at,得ka=8a=ka7=1.k=.因此，y與t的函數(shù)關(guān)系式為8t,0≤t<1,t≥1.【解析】（2）設(shè)第一次服藥后t小時服第二次藥，依題意得

解得t=5,因此，第二次服藥最遲應(yīng)在第一次服藥5小時后，即上午11時服藥.（3）第二次服藥后3小時，每毫升血液中含第一次所服的藥的藥量為y1==微克，含第二次所服的藥的藥量為y2==4微克，y1+y2=+4=4.7微克.答：該病人每毫升血液中含藥約為4.7微克.例:一輛汽車在某段路程中的行駛速度與時間的關(guān)系如圖所示：(1)求圖中陰影部分的面積，并說明所求面積的實(shí)際含義；(2)假設(shè)這輛汽車的里程表在汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km，試建立汽車行駛這段路程時汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)skm與時間th的函數(shù)解析式，并作出圖象.解:(1)陰影部分的面積為陰影部分的面積表示汽車在這5小時內(nèi)行駛的路程為360km(2)根據(jù)圖形可得：1020304050607080901001012345t/hv/(km·h－1)Ox13452y20002100220023002400

例4：人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題，認(rèn)識人口數(shù)量的變化規(guī)律，可以為有效控制人口增長提供依據(jù).早在1798年，英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型：，其中t表示經(jīng)過的時間，y0表示t=0時的人口數(shù)，r表示人口的年平均增長率.下表是我國1950～1959年的人口數(shù)據(jù)資料：

67207659946456362828614566026658796574825630055196人數(shù)1959195819571956195519541953195219511950年份1):如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率(精確到0.0001)那么1951～1959年期間我國人口的年平均增長率是多少？2):如果按表中的增長趨勢，大約在哪一年我國的人口將達(dá)到13億？問：函數(shù)模型是確定的,確定這種函數(shù)模型需要幾個因素?兩個,即:和r先求1951~1959年各年的人口增長率,再求年平均增長率r,確定的值,從而確定人口增長模型.問：對所確定的函數(shù)模型怎樣進(jìn)行檢驗(yàn)?根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果對函數(shù)模型又應(yīng)作出如何評價?答:作出人口增長函數(shù)的圖象,再在同一直角坐標(biāo)系上根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖,觀察散點(diǎn)是否在圖象上.問：如何根據(jù)所確定的函數(shù)模型具體預(yù)測我國某個時期的人口數(shù),實(shí)質(zhì)是何種計算方法?答:已知函數(shù)值,求自變量的值.請閱讀教材P103頁的解答過程通過對題意的理解，將實(shí)際問題的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，用數(shù)學(xué)式子表示出文字關(guān)系，從而解決問題．考點(diǎn)二自建函數(shù)模型解應(yīng)用題例3:某桶裝水銷售部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進(jìn)價是5元，銷售單價與日均銷售量的關(guān)系如表所示：請根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析，這個經(jīng)營部怎樣定價才能獲得最大利潤？銷售單價(元)6789101112日均銷量(桶)480440400360320280240解1:設(shè)在進(jìn)價基礎(chǔ)上增加x元后，日均利潤為y元,則日均銷售量為桶而有最大值只需將銷售單價定為11.5元，就可獲得最大的利潤二次函數(shù)模型有最大值只需將銷售單價定為11.5元，就可獲得最大的利潤而解2:設(shè)每桶水定價x元時，日均利潤為y元,則日均銷售量為桶某商店如果將進(jìn)貨為8元的商品按每件10元售出，每天可銷售200件，現(xiàn)在采用提高售價，減少進(jìn)貨量的方法增加利潤，已知這種商品每漲價0.5元，其銷售量就減少10件，問應(yīng)該將售價定為多少時，才能使所賺利潤最大，并求出最大利潤．【解析】設(shè)每件售價提高x元，則每件得利潤(10－8＋x)元，即(2＋x)元．每天銷售量變?yōu)?200－x/0.5×10)件，即(200－20x)件，所獲利潤y＝(2＋x)·(200－20x)＝－20(x－4)2＋720(0≤x<10)．故當(dāng)x＝4，即售價定為14元時，每天可獲得最大利潤720元．[略解：]設(shè)客房日租金每間提高2x元，則每天客房出租數(shù)為300－10x，由x＞0，且300－10x＞0得：0＜x＜30設(shè)客房租金總上收入y元，則有：y=（20+2x）(300－10x)=－20(x－10)2＋8000（0＜x＜30）由二次函數(shù)性質(zhì)可知當(dāng)x=10時，=8000.所以當(dāng)每間客房日租金提高到20＋10×2=40元時，客戶租金總收入最高，為每天8000元.

某農(nóng)家旅游公司有客房300間，每間日房租為20元，每天都客滿.公司欲提高檔次，并提高租金，如果每間客房日增加2元，客房出租數(shù)就會減少10間.若不考慮其他因素，旅社將房間租金提高到多少時，每天客房的租金總收入最高？例2:一家報刊推銷員從報社買進(jìn)報紙的價格是每份0.20元，賣出的價格是每份0.30元，賣不完的還可以以每份0.08元的價格退回報社．在一個月(以30天計算)有20天每天可賣出400份，其余10天只能賣250份，但每天從報社買進(jìn)報紙的份數(shù)都相同，問應(yīng)該從報社買多少份才能使每月所獲得的利潤最大？并計算每月最多能賺多少錢？

數(shù)量(份)價格(元)金額(元)買進(jìn)30x0.206x賣出20x+10*2500.306x+750退回10(x-250)0.080.8x-200解:每月獲利潤:(250≤x≤400)∴x＝400份時，y取得最大值870元答：每天從報社買進(jìn)400份時每月獲的利潤最大，最大利潤為870元．一次函數(shù)模型例某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品,每年投入固定成本0.5萬元,此外每生產(chǎn)100件這種產(chǎn)品還需要增加投資0.25萬元,經(jīng)預(yù)測可知,市場對這種產(chǎn)品的年需求量為500件,當(dāng)出售的這種產(chǎn)品的數(shù)量為t(單位:百件)時,銷售所得的收入約為5t-t2(萬元).(1)若該公司的年產(chǎn)量為x(單位:百件),試把該公司銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤表示為年產(chǎn)量x的函數(shù);(2)當(dāng)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時,當(dāng)年所得利潤最大?【分析】利潤=銷售民入-總的成本,由于本題的銷量只能為500件,但生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量卻不一定,所以確定為分段函數(shù)模型.【解析】(1)當(dāng)0<x≤5時,產(chǎn)品全部售出,當(dāng)x>5時,產(chǎn)品只能售出500件.(2)當(dāng)0<x≤5時，f(x)=-x2+4.75x-0.5,∴當(dāng)x=4.75（百件）時,f(x)有最大值,f(x)max=10.78125(萬元).當(dāng)x>5時,f(x)<12-0.25×5=10.75(萬元),∴當(dāng)年產(chǎn)量為475件時,利潤最大.【評析】分段函數(shù)的最值的求法:先求出每一段,即在不同的定義域范圍之內(nèi)函數(shù)的最值情況,然后比較哪一個最大取哪一個.(2)當(dāng)0<x≤5時，f(x)=-x2+4.75x-0.5,∴當(dāng)x=4.75（百件）時,f(x)有最大值,f(x)max=10.78125(萬元).當(dāng)x>5時,f(x)<12-0.25×5=10.75(萬元),∴當(dāng)年產(chǎn)量為475件時,利潤最大.【評析】分段函數(shù)的最值的求法:先求出每一段,即在不同的定義域范圍之內(nèi)函數(shù)的最值情況,然后比較哪一個最大取哪一個.【評析】分段函數(shù)的最值的求法:先求出每一段,即在不同的定義域范圍之內(nèi)函數(shù)的最值情況,然后比較哪一個最大取哪一個.某工廠1998年生產(chǎn)某種產(chǎn)品2萬件,計劃從1999年開始,每年的產(chǎn)量比上一年增長20%,求:從哪一年開始,這家工廠生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年產(chǎn)量超過12萬件?(已知lg2≈0.3010,lg3≈0.4771)設(shè)過x年后，產(chǎn)量超過12萬件，依題意得年產(chǎn)量y=2(1+20%)x,則有2(1+20%)x>12，解得x>9.84.答：從2008年開始年產(chǎn)量可超過12萬件.

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f(x)的邊際函數(shù)Mf(x)定義為Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)，某公司每月最多生產(chǎn)100件產(chǎn)品，生產(chǎn)x(x∈N＋)件產(chǎn)品的收入函數(shù)為R(x)＝3000x－20x2(單位：元)，其成本函數(shù)C(x)＝500x＋4000(單位：元)，利潤為收入與成本之差．(1)求利潤函數(shù)P(x)及其邊際利潤函數(shù)MP(x)；(2)利潤函數(shù)P(x)與邊際利潤函數(shù)MP(x)是否具有相等的最大值？【解析】由題意知，x∈[1,100]，且x∈N＋.(1)P(x)＝R(x)－C(x)＝(3000x－20x2)－(500x＋4000)＝－20x2＋2500x－4000，x∈[1,100]，x∈N＋，MP(x)＝P(x＋1)－P(x)＝－20(x＋1)2＋2500(x＋1)－4000－(－20x2＋2500x－4000)＝2480－40x，x∈[1,100]，x∈N＋.某工廠有一段舊墻長14m，現(xiàn)準(zhǔn)備利用這段舊墻為一面建造平面圖形為矩形，面積為126m2的廠房，工程條件是：(1)建1m新墻的費(fèi)用為a元；(2)修1m舊墻的費(fèi)用為元；(3)拆去1m的舊墻，用可得的建材建1m的新墻的費(fèi)用為元經(jīng)討論有兩種方案：

①利用舊墻一段xm（0＜x＜14）為矩形一邊；②矩形廠房利用舊墻的一面邊長x≥14.問如何利用舊墻建墻費(fèi)用最?。吭嚤容^①②兩種方案哪個更好。(1)方案：修舊墻費(fèi)用為x·元，拆舊墻造新墻費(fèi)用為(14－x)·，其余新墻費(fèi)用：∴總費(fèi)用（0＜x＜14）∴≥35a，當(dāng)x＝12時，ymin＝35a(2)方案，利用舊墻費(fèi)用為14·＝（元）建新墻費(fèi)用為（元）總費(fèi)用為：（x≥14）∵函數(shù)在[14,＋∞)上為增函數(shù)，∴當(dāng)x＝14，ymin＝35.5a∴采用①方案更好些。［練一練］某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的出廠價為50元，其成本價為25元，因?yàn)樵谏a(chǎn)過程中，平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有0.5立方米污水排出，所以為了凈化環(huán)境，工廠設(shè)計兩種對污水進(jìn)行處理的方案，并準(zhǔn)備實(shí)施。方案1:工廠將污水先并凈化處理后排出,每處理1立方米污水，所用的原料費(fèi)為2元,并且每月排污設(shè)備損耗費(fèi)為30000元。方案2:工廠將污水排放到污水廠統(tǒng)一處理，每處理1立方米污水需付14元的處理費(fèi)。⑴設(shè)工廠每月生產(chǎn)x件產(chǎn)品，每月利潤為y元，分別求出施行方案1和方案2時，y與x的函數(shù)關(guān)系式;(利潤＝總收入－總支出)⑵月生產(chǎn)量為6000件產(chǎn)品時，在不污染環(huán)境雙節(jié)約資金的前提下應(yīng)選哪種處理污水的方案？請通過計算加以說明。Y1=24x

-30000=24×6000-30000=114000元Y2=18x=18×6000=108000元

據(jù)調(diào)查，某貧困地區(qū)約有100萬從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民，人均年收入僅有3000元，為了增加農(nóng)民的收入，當(dāng)?shù)卣e極引進(jìn)資金，建立各種加工企業(yè)，對當(dāng)?shù)氐霓r(nóng)產(chǎn)品進(jìn)行深加工，同時吸收當(dāng)?shù)夭糠洲r(nóng)民進(jìn)入加工企業(yè)工作，據(jù)估計，如果有x(x＞0)萬人進(jìn)企業(yè)工作，那么剩下從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民的人均年收入有望提高2x%，而進(jìn)入企業(yè)工作的農(nóng)民的人均年收入為3000a元(a＞0)．例1(1)在建立加工企業(yè)后，要使從事傳統(tǒng)農(nóng)業(yè)的農(nóng)民的年總收入不低于加工企業(yè)建立前的農(nóng)民的年總收入，試求x的取值范圍；(2)在(1)的條件下，當(dāng)?shù)卣畱?yīng)該如何引導(dǎo)農(nóng)民(即x多大時)，能使這100萬農(nóng)民的人均年收入達(dá)到最大？【思路點(diǎn)撥】

①中是兩類人收入的不等式關(guān)系，求x.②是100萬人的均收入，求其最大值．當(dāng)0＜25(a＋1)≤50且a＞0，即0＜a≤1時，x＝25(a＋1)時，y取最大值．當(dāng)25(a＋1)＞50即a＞1時，y在(0,50]單調(diào)遞增，∴當(dāng)x＝50時，y取最大值．∴在0＜a≤1時，安排25(a＋1)萬人進(jìn)入企業(yè)工作，在a＞1時安排50萬人進(jìn)入企業(yè)工作，才能使這100萬人的人均年收入最大．自我挑戰(zhàn)某市原來民用電價為0.52元/kw·h.換裝分時電表后，峰時段(早上八點(diǎn)到晚上九點(diǎn))的電價為0.55元/kw·h，谷時段(晚上九點(diǎn)到次日早上八點(diǎn))的電價為0.35元/kw·h.對于一個平均每月用電量為200kw·h的家庭，要使節(jié)省的電費(fèi)不少于原來電費(fèi)的10%，則這個家庭每月在峰時段的平均用電量至多為多少kw·h?解：①原來電費(fèi)y1＝0.52×200＝104(元)．②設(shè)峰時段用電量為xkw·h，電費(fèi)為y.則y＝x×0.55＋(200－x)×0.35≤(1－10%)y1，即0.55x＋70－0.35x≤93.6，解得x≤118.即這個家庭每月在峰時段的平均用電量至多為118kw·h.【名師點(diǎn)撥】

本題是一個關(guān)注民生的實(shí)際問題，應(yīng)認(rèn)真閱讀，理解題意，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，尋找變量之間的聯(lián)系．然后對此二次函數(shù)進(jìn)行研究得出相關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)論，并依此解決實(shí)際問題．【評析】這類題目主要有兩類：一是已知函數(shù)解析式形式，只需求待定系數(shù)，較容易；二是根據(jù)題目所給條件，能夠列出兩個變量x,y之間的關(guān)系式，從而得出函數(shù)解析式，這類題目的關(guān)鍵是審清題意，弄清常量、變量等諸元素之間的關(guān)系，在前幾年的高考題目中，占有較大比例.物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述，設(shè)物體的初始溫度是T0，經(jīng)過一定時間t后的溫度是T，則T-Ta=(T0-Ta)×.其中Ta表示環(huán)境溫度，h稱為半衰期，現(xiàn)有一杯用88℃熱水沖的速溶咖啡，放在24℃的房間中，如果咖啡降溫到40℃需要20min，那么降溫到35℃時，需要多長時間？設(shè)半衰期為h，由題意知40-24=(88-24)×,即,解之得h=10,故原式可化簡為T-24=(88-24)×,當(dāng)T=35時，代入上式，得35-24=（88-24）×,即=,兩邊取對數(shù)，用計算器求得t≈25.因此，約需要25min可降溫到35℃.【分析】本題是通過數(shù)據(jù)驗(yàn)證，確定系數(shù)，然后分析確定后的函數(shù)變化情況，最終找出與實(shí)際最接近的函數(shù)模型.學(xué)點(diǎn)三產(chǎn)量產(chǎn)值問題某皮鞋廠從今年1月份開始投產(chǎn)，并且前4個月的產(chǎn)量分別為1萬雙、1.2萬雙、1.3萬雙、1.37萬雙，由于產(chǎn)品質(zhì)量好，款式新穎，前幾個月的銷售情況良好.為了推銷員在推銷產(chǎn)品時，接受訂單不至于過多或過少，需要估計以后幾個月的產(chǎn)量.廠里分析，產(chǎn)量的增加是由于工人生產(chǎn)熟練和理順了生產(chǎn)流程.廠里也暫時不準(zhǔn)備增加設(shè)備和工人，假如你是廠長，就月份x，產(chǎn)量y給出四種函數(shù)模型：y=ax+b,y=ax2+bx+c,y=a+b,y=abx+c,你將利用哪一種模型去估算以后幾個月的產(chǎn)量？【解析】由題知A(1,1),B(2,1.2),C(3,1.3),D(4,1.37).（1）設(shè)模擬函數(shù)為y=ax+b，將B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)式，有3a+b=1.3a=0.12a+b=1.2,b=1,此法的結(jié)論是在不增加工人和設(shè)備的條件下，產(chǎn)量會每月上升1000雙，這是不太可能的.（2）設(shè)y=ax2+bx+c,將A，B，C三點(diǎn)代入，有

a+b+c=1a=-0.054a+2b+c=1.2b=0.359a+3b+c=1.3c=0.7.解得所以y=-0.05x2+0.35x+0.7.由此法計算4月的產(chǎn)量為1.3萬雙，比實(shí)際產(chǎn)量少700雙，而且，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，產(chǎn)量自4月份開始將每月下降（圖象開口向下，對稱軸x=3.5）,不合實(shí)際.（3）設(shè)y=a+b.將A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，有

a+b=1a=0.482a+b=1.2，b=0.52.∴y=0.48+0.52.以x=3和4代入，分別得到y(tǒng)=1.35和1.48，與實(shí)際產(chǎn)量差距較大.（4）設(shè)y=abx+c,將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入，有

ab+c=1a=-0.8ab2+c=1.2b=0.5ab3+c=1.3,c=1.4,∴y=-0.8×(0.5)x+1.4.以x=4代入得y=-0.8×0.54+1.4=1.35.比較上述四個模擬函數(shù)的優(yōu)劣，既要考慮到誤差最小，又要考慮生產(chǎn)的實(shí)際，比如增產(chǎn)的趨勢和可能性.經(jīng)過篩選，以指數(shù)函數(shù)模擬為最佳.一是誤差小，二是由于新建廠，開始隨工人技術(shù)、管理效益逐漸提高，一段時間內(nèi)產(chǎn)量會明顯上升，但過一段時間之后，如果不更新設(shè)備，產(chǎn)量必然趨于穩(wěn)定，而指數(shù)函數(shù)模擬恰好反映了這種趨勢.因此，選用y=-0.8·0.5x+1.4模擬比較接近客觀實(shí)際.【評析】本大題是對數(shù)據(jù)進(jìn)行函數(shù)模擬，選擇最符合的模擬函數(shù).一般思路要畫出散點(diǎn)圖，然后作出模擬函數(shù)的圖象，選擇適合的幾種函數(shù)類型后，再加以驗(yàn)證.函數(shù)模型的建立是最大的難點(diǎn)，另外運(yùn)算量較大，必須借助計算機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，函數(shù)模型的可靠性與合理性既需要數(shù)據(jù)檢驗(yàn)，又必須與具體實(shí)際結(jié)合起來.學(xué)點(diǎn)三擬合函數(shù)某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件，為了估計以后每個月的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)，用一個函數(shù)模擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x的關(guān)系，模擬函數(shù)可以選用二次函數(shù)或函數(shù)y=a·bx+c(其中a,b,c為常數(shù)).已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為1.37萬件，問：用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好，并說明理由.【分析】此題想判斷哪個函數(shù)最好，可以先通過前三個月給出的條件，確定兩種模擬函數(shù)中參數(shù)的值，再由4月份的產(chǎn)量，比較哪個函數(shù)值更接近1.37萬.【思路點(diǎn)撥】首先根據(jù)月份和產(chǎn)量作出圖象，然后根據(jù)圖象的形狀，選擇合適的函數(shù)模型進(jìn)行模擬．【名師點(diǎn)撥】

比較上述四個模擬函數(shù)的優(yōu)劣，既要考慮到誤差最小，又要考慮生產(chǎn)的實(shí)際，比如增產(chǎn)的趨勢和可能性．【解析】設(shè)y1=f(x)=px2+qx+r(p≠0)，則

f(1)=p+q+r=1f(2)=4p+2q+r=1.2f(3)=9p+3q+r=1.3,解得p=-0.05,q=0.35,r=0.7.∴f(4)=-0.05×42+0.35×4+0.7=1.3,

再設(shè)y2=g(x)=abx+c(a≠0,b>0,b≠1)，則

g(1)=ab+c=1g(2)=ab2+c=1.2g(3)=ab3+c=1.3.解得a=-0.8,b=0.5,c=1.4.∴g(4)=-0.8×0.54+1.4=1.35.經(jīng)比較可知用y=-0.8×(0.5)x+1.4作為模擬函數(shù)較好.【評析】問題中給出函數(shù)關(guān)系式,且關(guān)系式中帶有需確定的參數(shù),這些參數(shù)需要根據(jù)問題的內(nèi)容或性質(zhì)來確定,然后再通過運(yùn)用函數(shù)使問題本身獲解.

某個體經(jīng)營者把開始六個月試銷A，B兩種商品的逐月投資與所獲純利潤列成下表：例1投資A種商品金額(萬元)123456獲純利潤(萬元)0.651.391.8521.841.40投資B種商品金額(萬元)123456獲純利潤(萬元)0.250.490.7611.261.51該經(jīng)營者準(zhǔn)備下月投入12萬元經(jīng)營這兩種產(chǎn)品，但不知投入A，B兩種商品各多少萬元才合算．請你幫助制定一個資金投入方案，使得該經(jīng)營者能獲得最大利潤，并按你的方案求出該經(jīng)營者下月可獲得的最大純利潤(結(jié)果保留兩位有效數(shù)字)．【解】以投資額為橫坐標(biāo)，純利潤為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中畫出散點(diǎn)圖，如圖所示．觀察散點(diǎn)圖可以看出，A種商品所獲純利潤y與投資額x之間的變化規(guī)律可以用二次函數(shù)模型進(jìn)行模擬，如圖(1)所示．取(4,2)為最高點(diǎn)，則y＝a(x－4)2＋2，再把點(diǎn)(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，所以y＝－0.15(x－4)2＋2.【名師點(diǎn)撥】

根據(jù)題中給出的數(shù)值，畫出散點(diǎn)圖，然后觀察散點(diǎn)圖，選擇合適的函數(shù)模型，并求解新的問題，這是本節(jié)新的解題思路．請同學(xué)們在用待定系數(shù)法求解析式時，選擇其他數(shù)據(jù)點(diǎn)，觀察結(jié)果的差異．時間/t50110250種植成本/Q1501081503.某地西紅柿從2月1日起開始上市．通過市場調(diào)查，得到西紅柿種植成本Q(單位為：元/102kg)與上市時間t(單位：天)的數(shù)據(jù)如下表：(1)根據(jù)上表中數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個函數(shù)描述西紅柿種植成本Q與上市時間t的變化關(guān)系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt；(2)利用你選取的函數(shù)，求西紅柿種植成本最低時的上市天數(shù)及最低種植成本．例6、某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：(1)根據(jù)表提供的數(shù)據(jù)，能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，使它能比較近似地反映這個地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)系？試寫出這個函數(shù)模型的解析式。(2)若體重超過相同身高男性體重平均值的1.2倍為偏胖，低于0.8倍為偏瘦，那么這個地區(qū)一名身高為175cm，體重為78kg的在校男生的體重是否正常？身高cm60708090100110120130140150160170體重kg6.137.909.9912.1515.0217.5020.9226.8631.1138.8547.2555.05我來說要解決這個實(shí)際問題,我們先得來完成以下幾項工作:1).借助計算機(jī),根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù),畫法它們相應(yīng)的散點(diǎn)圖.2).觀察所作散點(diǎn)圖,你認(rèn)為它與以前所學(xué)過的何種函數(shù)的圖象較為接近?答:它與函數(shù)的圖象較為接近.3).怎樣確定擬合函數(shù)中參數(shù)a，b的值？

答:任取其中的兩組數(shù)據(jù)代入函數(shù)中,就可求出參數(shù)a,b的值.解:(1)以身高為橫坐標(biāo),體重為縱坐標(biāo),畫出散點(diǎn)圖.根據(jù)點(diǎn)的分布特征可考慮用這一函數(shù)模型來近似刻畫這個地區(qū)未成年男性體重與身高的函數(shù)模型.

這樣我們就得到一個函數(shù)模型:將已知數(shù)據(jù)代入上述函數(shù)解析式,或作出上述函數(shù)的圖象,可發(fā)現(xiàn)這個函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好,這說明它能較好地反映這個地區(qū)未成年男性體重與身高的關(guān)系.請寫出問(1)的解答過程我要問請同學(xué)們再看看第2問,想一想第(2)問應(yīng)該怎樣處理?將x=175代入所得函數(shù)解析式中,求出y的值,再算出78與所得y值的商,根據(jù)條件作出判斷.我來說請同學(xué)們自已完成第(2)問的解答所以,這個男生偏胖.解:你能總結(jié)一下用擬合函數(shù)解決應(yīng)用性問題的基本過程嗎？

收集數(shù)據(jù)畫散點(diǎn)圖選擇函數(shù)模型求函數(shù)模型檢驗(yàn)用函數(shù)模型解釋實(shí)際問題YesNo我要問18世紀(jì)70年代,德國科學(xué)家提丟斯發(fā)現(xiàn)金星、地球、火星、木星、土星離太陽的平均（天文單位）如下表：他研究行星排列規(guī)律后預(yù)測在火星與木星之間應(yīng)該有一顆大的行星，后來果然發(fā)現(xiàn)了谷神星，但不算大行星，它可能是一顆大行星爆炸后的產(chǎn)物，請你推測谷神星的位置，在土星外面是什么星？它與太陽的距離大約是多少？行星1(金星)2(地球)3(火星)

4（）5(木星)6(土星)7（）距離0.71.01.65.210.0由數(shù)值對應(yīng)表作散點(diǎn)圖如圖.由圖采用指數(shù)型函數(shù)作模型,設(shè)f(x)=a·bx+c.代入(1,0.7),(2,1.0),(3,1.6)得

ab+c=0.7①ab2+c=1.0②ab3+c=1.6③,(③-②)÷(②-①)得b=2,代入①②,2a+c=0.7a=4a+c=1.0,c=解得得∴f(x)=·2x+.∵f(5)==5.2,f(6)=10,∴符合對應(yīng)表值,∴f(4)=2.8,f(7)=19.6,所以谷神星大約在離太陽2.8天文單位處.在土星外面是天王星,它與太陽的距離大約是19.6天文單位.方法感悟方法技巧1．已給出函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用題，關(guān)鍵是考慮該題考查的是何種函數(shù)，并要注意定義域，然后結(jié)合所給模型，列出函數(shù)關(guān)系式，最后結(jié)合其實(shí)際意義作出解答．(如例1，例2)2．判斷所得到的數(shù)學(xué)模型是否擬合，必須使所有數(shù)據(jù)基本接近該數(shù)學(xué)模型．對于一般的應(yīng)用問題，不會讓數(shù)學(xué)模型完全符合，只是基本符合，對此，無最優(yōu)解，只有滿意解．(如例3)失誤防范在選擇函數(shù)模型時，要讓函數(shù)的性質(zhì)與所要解決的問題的變化基本吻合，通常用待定系數(shù)法求模擬函數(shù)的解析式，由于函數(shù)模型的局限性，所求數(shù)據(jù)往往只是在一定的范圍內(nèi)與實(shí)際問題基本相符．1.怎樣理解“數(shù)學(xué)建?！焙蛯?shí)際問題的關(guān)系？一般來說，對問題進(jìn)行修改和簡化，形成一種比較精確和簡潔的表述，這時可稱之為“實(shí)際模型”，它和“實(shí)際原形”不同，因?yàn)樗缓喕耍皇菍?shí)際問題所有方面都得到了體現(xiàn).而是在得到一個“實(shí)際模型”之后，再用數(shù)學(xué)符號和表達(dá)式來代替實(shí)際問題中的變量和關(guān)系，得到的結(jié)果是一個“數(shù)學(xué)模型”.在“數(shù)學(xué)建?！敝幸盐蘸孟铝袔讉€問題：（1）理解問題：閱讀理解，讀懂文字?jǐn)⑹觯J(rèn)真審題，理解實(shí)際背景.弄清楚問題的實(shí)際背景和意義，設(shè)法用數(shù)學(xué)語言來描述問題.（2）數(shù)學(xué)建模：把握新信息，勇于探索，善于聯(lián)想，靈活化歸，根據(jù)題意建立變量或參數(shù)間的數(shù)學(xué)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，常用的數(shù)學(xué)模型有方程、不等式、函數(shù).2.怎樣才能搞好“數(shù)學(xué)建?！保浚?）求解模型：以所學(xué)的數(shù)學(xué)性質(zhì)為工具對建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解.（4）檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停簩⑺蟮慕Y(jié)果代回模型中檢驗(yàn)，對模擬的結(jié)果與實(shí)際情形比較，以確定模型的有效性，如果不滿意，要考慮重新建模.（5）評價與應(yīng)用：如果模型與實(shí)際情形比較吻合，要對計算的結(jié)果作出解釋并給出其實(shí)際意義，最后對所建立的模型給出運(yùn)用范圍.如果模型與實(shí)際問題有較大出入，則要對模型改進(jìn)，并重復(fù)上述步驟.3.“數(shù)學(xué)建?！敝幸⒁馐裁磫栴}？（1）有的應(yīng)用題文字?jǐn)⑹鋈唛L，或者選擇的知識背景較為陌生，處理時，要注意認(rèn)真、耐心地閱讀和理解題意.（2）解決函數(shù)應(yīng)用題時要注意用變化的觀點(diǎn)分析和探求具體問題中的數(shù)量關(guān)系，尋找已知量與未知量之間的內(nèi)在聯(lián)系，然后將這些內(nèi)在聯(lián)系與數(shù)學(xué)知識聯(lián)想，建立函數(shù)關(guān)系式或列出方程，利用函數(shù)性質(zhì)或方程觀點(diǎn)來求解，則可使應(yīng)用題化生為熟，盡