專題05導(dǎo)數(shù)與不等式（講）【原卷版】

第一篇熱點、難點突破篇專題05導(dǎo)數(shù)與不等式（講）真題體驗感悟高考1．（2022·全國·高考真題）設(shè)，則（

）A． B． C． D．2．（2019·天津·高考真題（理））已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為A． B． C． D．3．（2022·全國·高考真題（理））已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個零點，則．總結(jié)規(guī)律預(yù)測考向（一）規(guī)律與預(yù)測1.高考對本部分的要求一般有三個層次：第一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，如研究函數(shù)零點、證明不等式、恒成立問題、求參數(shù)等，包括解決應(yīng)用問題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式、數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機(jī)結(jié)合，設(shè)計綜合題.2.涉及導(dǎo)數(shù)與不等式問題，主要有：單變量不等式的證明、雙變量不等式的證明、不等式恒成立時求參數(shù)的取值范圍、含導(dǎo)數(shù)不等式的求解問題、比較函數(shù)值大小問題等（二）本專題考向展示考點突破典例分析考向一導(dǎo)數(shù)與解不等式問題【核心知識】1.利用導(dǎo)數(shù)解決解不等式或取值范圍問題的兩個基本思路(1)將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍，然后檢驗參數(shù)取“＝”時是否滿足題意．(2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出參數(shù)的取值范圍后，再驗證參數(shù)取“＝”時f(x)是否滿足題意．2.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，構(gòu)造，，想到構(gòu)造等.一般：（1）條件含有，就構(gòu)造,（2）若，就構(gòu)造，（3），就構(gòu)造，（4）就構(gòu)造，等便于給出導(dǎo)數(shù)時聯(lián)想構(gòu)造函數(shù).【典例分析】典例1.（2022·寧夏六盤山高級高三階段練習(xí)（理））若，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．典例2.（2021·河南·溫縣第一高級高三月考（理））函數(shù)的定義域是，，對任意，，則不等式的解集為（）A． B．C．或 D．或典例3.（2022·上海市奉賢高三期中）定義在R上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對任意的實數(shù)x，都有，且，則不等式的解集是_________【總結(jié)提升】(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)計算公式和已知的不等式構(gòu)造函數(shù)，利用不等關(guān)系得出函數(shù)的單調(diào)性，即可確定函數(shù)值的大小關(guān)系，關(guān)鍵是觀察已知條件構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)．(2)含有兩個變元的不等式，可以把兩個變元看作兩個不同的自變量，構(gòu)造函數(shù)后利用單調(diào)性確定其不等關(guān)系．考向二利用導(dǎo)數(shù)比較大小【核心知識】利用函數(shù)的單調(diào)性、構(gòu)造函數(shù)法（常見構(gòu)造函數(shù)法見考向一）等，是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)比較大小的常見方法.【典例分析】典例4.（2021·全國·高考真題（理））設(shè)，，．則（

）A． B． C． D．典例5.（2022·廣東·深圳實驗光明部高三期中）定義在上的偶函數(shù)滿足,當(dāng)時,,則（

）A． B．C． D．典例6.（2022·湖北·荊門市龍泉高三階段練習(xí)）已知，，且，則（

）A． B．C． D．【總結(jié)提升】從上述典型例題發(fā)現(xiàn)，無論是比較函數(shù)值的大小，還是比較某些自變量值的大小，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)，是常見方法，也是基本方法．考向三不等式恒成立問題中求參數(shù)值（范圍）【核心知識】1.不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)恒成立(即可)或恒成立（即可）；②數(shù)形結(jié)合(圖象在上方即可)；③討論最值或恒成立；④討論參數(shù)，排除不合題意的參數(shù)范圍，篩選出符合題意的參數(shù)范圍.2.含參數(shù)的不等式恒成立的處理方法：①的圖象永遠(yuǎn)落在圖象的上方；②構(gòu)造函數(shù)法，一般構(gòu)造，；③參變分離法，將不等式等價變形為，或，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.3.利用參變量分離法求解函數(shù)不等式恒（能）成立，可根據(jù)以下原則進(jìn)行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.【典例分析】典例7.（2022·河南駐馬店·高三期中（理））已知函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)任取兩個實數(shù)，且，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．典例8.（2022·湖北·高三期中）若不等式對任意恒成立，則a的取值范圍是_______________.典例9.（生標(biāo)準(zhǔn)學(xué)術(shù)能力診斷性測試2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期11月測試）已知，，若對于任意，都有，則實數(shù)的取值范圍為______.【規(guī)律方法】1.不等式的恒成立問題，往往可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值的符號來討論，也可以參變分離后轉(zhuǎn)化不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題，轉(zhuǎn)化中注意等價轉(zhuǎn)化.2.在解題過程中，必要時可作出函數(shù)圖象，借助幾何圖形直觀分析轉(zhuǎn)化.通過圍繞參數(shù)分類討論不等式是否成立，不失為一種好的方法【如例9】.考向四單變量不等式的證明【核心知識】1.利用單調(diào)性證明單變量不等式一般地，要證f(x)>g(x)在區(qū)間(a，b)上成立，需構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)＝f(x)－g(x)，通過分析F(x)在端點處的函數(shù)值來證明不等式．若F(a)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調(diào)遞增即可；若F(b)＝0，只需證明F(x)在(a，b)上單調(diào)遞減即可．2.利用最值證明單變量不等式利用最值證明單變量的不等式的常見形式是f(x)>g(x)．證明技巧：先將不等式f(x)>g(x)移項，即構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)，轉(zhuǎn)化為證不等式h(x)>0，再次轉(zhuǎn)化為證明h(x)min>0，因此，只需在所給的區(qū)間內(nèi)，判斷h′(x)的符號，從而判斷其單調(diào)性，并求出函數(shù)h(x)的最小值，即可得證.3.通過題目中已有的或常用的不等式進(jìn)行證明．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論，如和是兩個典型的不等式，可變形得，.4.利用賦值法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式.5.利用分析法，通過不等式的等價轉(zhuǎn)換，改證新的不等式成立.【典例分析】典例10.（2023·四川資陽·模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，過點作曲線的切線l，求l的方程；(2)當(dāng)時，對于任意，證明：．典例11.（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．典例12.（2022·河南駐馬店·高三期中（理））已知函數(shù)(1)求的最大值；(2)求證：【總結(jié)提升】1.常見的放縮公式如下：(1)ex≥1＋x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時取等號；(2)ex≥ex，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號；(3)當(dāng)x≥0時，ex≥1＋x＋eq\f(1,2)x2,當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時取等號；(4)當(dāng)x≥0時，ex≥eq\f(e,2)x2＋1,當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時取等號；(5)eq\f(x－1,x)≤lnx≤x－1≤x2－x，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號；(6)當(dāng)x≥1時，eq\f(2x－1,x＋1)≤lnx≤eq\f(x－1,\r(x))，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號．2.數(shù)列不等式的證明，常利用以下方法：（1）數(shù)學(xué)歸納法；（2）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式；（3）利用遞推關(guān)系證明．考向五雙變量不等式的證明【核心知識】破解含雙變量（參）不等式的證明的關(guān)鍵一是分析轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參所滿足的關(guān)系式，并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化為含單參的不等式；二是巧構(gòu)造函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值；三是回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果．【典例分析】典例13.（2021·全國·高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.典例14.（2020·天津·高考真題）已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，（i）求曲線在點處的切線方程；（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）當(dāng)時，求證：對任意的，且，有．典例15.（2022·江蘇南通·高三期中）已知函數(shù)的極值為．(1)求p的值，并求的