10 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析Nyquist穩(wěn)定判據(jù)

代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性，要求必須知道閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程，而實際系統(tǒng)的特征方程是難以寫出來的，另外它很難判別系統(tǒng)穩(wěn)定或不穩(wěn)定的程度，也很難知道系統(tǒng)中的各個參數(shù)對系統(tǒng)性能的影響。兩種常用的頻域穩(wěn)定判據(jù)：Nyquist穩(wěn)定判據(jù)（簡稱乃氏判據(jù)）和對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)。

Nyquist判據(jù)根據(jù)開環(huán)幅相曲線判別閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性；對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)（Bode判據(jù)）根據(jù)開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性；兩種頻率穩(wěn)定判據(jù)沒有本質(zhì)區(qū)別。頻域穩(wěn)定判據(jù)的特點：根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)頻率特性曲線判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并能確定系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。

閉環(huán)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，特征方程的全部根，都必須位于左半s平面。的極點和零點可能位于右半s平面，但如果閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點均位于左半s平面，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

雖然開環(huán)傳遞函數(shù)7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)正是將開環(huán)頻率響應(yīng)與在右半s平面內(nèi)的零點數(shù)和極點數(shù)聯(lián)系起來的判據(jù)。這種方法無須求出閉環(huán)極點，得到廣泛應(yīng)用。由解析的方法和實驗的方法得到的開環(huán)頻率特性曲線，均可用來進(jìn)行穩(wěn)定性分析。特點：它是根據(jù)開環(huán)系統(tǒng)的頻率特性來判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的優(yōu)點圖解法、幾何判據(jù)，簡單、直觀、計算量?。▌谒?赫爾維茨判據(jù)是代數(shù)判據(jù)）?？梢圆槐刂老到y(tǒng)的微分方程和傳遞函數(shù)，而只依靠解析法或?qū)嶒灧ǐ@得的開環(huán)頻率特性便可應(yīng)用。有助于建立相對穩(wěn)定性的概念。Nyquist判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：復(fù)變函數(shù)論中的映射定理，又稱幅角定理、米哈伊洛夫定理。7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)

一階系統(tǒng)特征方程：D(s)=s+p＝

0特征根：s=-p<0，系統(tǒng)穩(wěn)定。D(s)可視為復(fù)平面上的向量。當(dāng)

變化時，

D(j

)的端點沿虛軸滑動，其相角相應(yīng)發(fā)生變化。s-ps-ps+pReIm0在頻域該向量為：D(j

)=p+j

7.4.1米哈伊洛夫定理7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)由圖易知，當(dāng)

由0變化到

時，

D(j

)逆時針旋轉(zhuǎn)90°，即相角變化了

/2。Im若特征根為正實根，則當(dāng)

由0變化到

時：j

ReIm0

D(j

)-p-p

'

二階系統(tǒng)-p1-p2ReIm0

1

2j

+p1j

+p2-p1-p2ReIm0

1

2j

+p1j

+p2當(dāng)

由0變化到

時：當(dāng)

由0變化到

時：

實根情形(

1)7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)

共軛復(fù)根情形(0<

<1)ReIm-p1-p20

1

2j

+p1j

+p2

0

0當(dāng)

由0變化到

時，

j

+p1的相角變化范圍：j

+p2的相角變化范圍：

0~

/2變化量：

/2–

0。

-

0~

/2變化量：

/2+

0。設(shè)根位于左半s平面。7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)ReIm0-p1-p2

1

2j

+p1j

+p2

0

0根位于右半s平面。當(dāng)

由0變化到

時，

j

+p1的相角變化量：j

+p2的相角變化量：

-

/2+

0

-

/2-

07.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)

n階系統(tǒng)若有p個特征根在右半s平面，q個根在原點，則當(dāng)

由0變化到

時，其角增量為：此即為米哈伊洛夫定理。7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)

推論若n次多項式D(s)的所有根都位于復(fù)平面的左半平面，則當(dāng)以s=

j

代入D(s)并命

由0變化到

時，其角增量為：7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)G(s)H(s)Xi(s)Xo(s)7.4.2乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)：即分子為系統(tǒng)閉環(huán)特征多項式，分母為系統(tǒng)開環(huán)特征多項式。一般G(s)和H(s)的分母多項式的階次均大于其分子多項式的階次，故閉環(huán)特征方程的階次等于開環(huán)特征方程的階次，均為n階。7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)令輔助函數(shù)：其中，DB(s)為閉環(huán)特征多項式。

由0變化到

時，向量F(j

)的相角變化量7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)

開環(huán)穩(wěn)定時若閉環(huán)也穩(wěn)定，當(dāng)

由0變化到

時：從而：上式表明，若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，則當(dāng)

由0變化到

時，F(xiàn)(j

)的相角變化量等于0時，系統(tǒng)閉環(huán)也穩(wěn)定。根據(jù)米哈伊洛夫定理推論：7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)

=0

=

ReIm0

F(j

)

=0

=

ReIm0

F(j

)F(j

)的相角變化量等于0時，意味著復(fù)平面內(nèi)

F(j

)的軌跡不包圍坐標(biāo)原點。7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)注意到：即：

=0

=

F(j

)G(j

)H(j

)ReIm0-11上式表明，在復(fù)平面上將F(j

)的軌跡向左移動一個單位，便得到G(j

)H(j

)的軌跡。7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)比較F(j

)和G(j

)H(j

)在復(fù)平面上的軌跡可見，F(xiàn)(j

)的軌跡是否包圍坐標(biāo)原點的問題轉(zhuǎn)變?yōu)镚(j

)H(j

)的軌跡是否包圍(-1，j0)點的問題。因此，若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，則當(dāng)

由0變化到

時，開環(huán)Nyquist曲線G(j

)H(j

)不包圍復(fù)平面上(-1，j0)點時，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。否則，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。7.4

乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)

開環(huán)不穩(wěn)定時設(shè)系統(tǒng)開環(huán)特征多項式有p個根在s右半平面，q個根在原點，其余(n-p-q)個根在s左半平面，則根據(jù)米哈伊洛夫定理推論，當(dāng)

由0變化到

時：從而：若閉環(huán)穩(wěn)定，7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)F(j

)的相角變化量不等于0時，意味著復(fù)平面內(nèi)F(j

)的軌跡包圍坐標(biāo)原點，即G(j

)H(j

)的軌跡包圍(-1，j0)點。即：若系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定，有p個根在s右半平面，q個根在原點，其余(n-p-q)個根在s左半平面，則當(dāng)

由0變化到

時，開環(huán)Nyquist曲線相對于(-1，j0)點的角變化量為(pπ＋qπ/2)時，系統(tǒng)閉環(huán)后穩(wěn)定。否則，閉環(huán)不穩(wěn)定。7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)

示例

例1：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)應(yīng)用Nyquist判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：開環(huán)極點均在s左半平面，故開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)由：解得：由：解得Nyquist曲線與負(fù)實軸交點為：7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)20-1.587-10ReIm

=0

=

由圖可見，開環(huán)Nyquist曲線包圍(-1，j0)點，故閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)

例2：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)應(yīng)用Nyquist判據(jù)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：開環(huán)系統(tǒng)有一個極點在s右半平面，故開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)ReIm0

=

=0-1K

當(dāng)K<-1時，開環(huán)乃氏圖相對于(-1，j0)點的角變化量為π，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。當(dāng)0>K≥1時，角變化量為0，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)

開環(huán)含有積分環(huán)節(jié)時Nyquist判據(jù)的處理例3：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定此時需對開環(huán)幅相曲線作修正：從ω=0+處，逆時針補畫ν×90°、半徑為無窮大的圓弧，將零點劃到s左半平面。7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)例4：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)例5：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試判定閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)總結(jié)：對于n階系統(tǒng)，開環(huán)特征式有p個右根，（如有零根，則從ω=0+處，逆時針補畫ν×90°、半徑為無窮大的圓弧，將零點劃到s左半平面），則當(dāng)

由0變化到

時，對應(yīng)的乃氏曲線逆時針包圍(-1，j0)點p/2圈，則系統(tǒng)閉環(huán)后穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)在有些情況下，開環(huán)頻率特性的乃奎斯特曲線比較復(fù)雜，確定特征方程角度的變化或開環(huán)頻率特性包圍（－1，j0）點的圈數(shù)比較困難，因此，引出了正、負(fù)“穿越”的概念。7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)

Nyquist判據(jù)中“穿越”的概念

穿越：指開環(huán)Nyquist曲線穿過(-1,j0)點左

邊實軸時的情況。

正穿越：

增大時，Nyquist曲線由上而下穿

過-1~-

段實軸。

負(fù)穿越：

增大時，Nyquist曲線由下而上穿

過-1~-

段實軸。負(fù)穿越相當(dāng)于Nyquist曲線反向包圍(-1,j0)點一圈。正穿越時，相角增加，相當(dāng)于Nyquist曲線正向包圍(-1,j0)點一圈。在乃奎斯特圖上，若開環(huán)頻率響應(yīng)按逆時針方向包圍（－1，j0）一圈，則必然從上而下穿越負(fù)實軸的－1～－∞線段一次，即正穿越；相反，若開環(huán)頻率響應(yīng)按順時針方向包圍（－1，j0）一圈，則必然從下而上穿越負(fù)實軸的－1～－∞線段一次，即負(fù)穿越。-1++–

0ReIm

=

=0

p=27.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)-1++–

0ReIm

=

=0

p=2Nyquist穩(wěn)定判據(jù)：當(dāng)

由0變化到

時，Nyquist曲線在(-1,j0)點左邊實軸上的正負(fù)穿越次數(shù)之差等于p/2時（p為系統(tǒng)開環(huán)右極點數(shù)），閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。易知，上圖所示系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)從=0+開始，逆時針補畫

90°、半徑為無窮大的圓弧。7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)綜上所述，乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)在應(yīng)用時要注意以下幾點：乃奎斯特判據(jù)為由系統(tǒng)開環(huán)頻率特性判斷系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定情況，在具體應(yīng)用時，由于系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定與否，判據(jù)應(yīng)用情況不同，故在判別系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定性時，應(yīng)首先判斷系統(tǒng)開環(huán)是否穩(wěn)定；對于一階系統(tǒng)、二階系統(tǒng)（不包含積分環(huán)節(jié)），如果開環(huán)傳遞函數(shù)的各項系數(shù)均為正，開環(huán)頻率特性曲線不會包圍（－1，j0）點，故系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；系統(tǒng)階數(shù)大于2時，穩(wěn)定性不確定，與系統(tǒng)增益和積分環(huán)節(jié)個數(shù)有關(guān)。7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)

滯后系統(tǒng)的Nyquist穩(wěn)定性分析考慮開環(huán)附加延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)可見延遲環(huán)節(jié)不改變原系統(tǒng)的幅頻特性，僅對相頻特性有影響。例：單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)利用Nyquist判據(jù)確定系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定時K的范圍。解：7.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)令Q(

)=0，即：解得滿足上式的最小正

值為：

j=3.431rad/s從而，Nyquist曲線與負(fù)實軸的交點為：7.4