數(shù)學(xué)高中人教A版必修3學(xué)案第三章本章小結(jié)Word版含解析

第三章概率本章小結(jié)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.利用概率知識(shí)正確理解現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題.2.正確理解并事件與交事件,以及互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系.3.掌握古典概型的概率計(jì)算公式及幾何概型的概率公式.合作學(xué)習(xí)一、知識(shí)分析(一)本章知識(shí)結(jié)構(gòu)(二)要點(diǎn)概述1.頻率與概率的意義、區(qū)別與聯(lián)系(1)頻率本身是隨機(jī)的,在試驗(yàn)前不能確定.做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)得到事件的頻率會(huì)不同.(2)概率是一個(gè)確定的數(shù),與每次試驗(yàn)無關(guān).是用來度量事件發(fā)生可能性大小的量.(3)

2.概率的基本性質(zhì)(1)必然事件概率為1,不可能事件概率為0,因此0≤P(A)≤1;(2)當(dāng)事件A與事件B互斥時(shí),滿足加法公式:;

(3)若事件A與事件B互為對(duì)立事件,則A∪B為必然事件,所以P(A∪B)==1,于是有P(A)=;(巧妙地運(yùn)用這一性質(zhì)可以簡(jiǎn)化運(yùn)算)

(4)互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系:我們可以說如果兩個(gè)事件為對(duì)立事件則它們一定互斥,而互斥事件不一定是對(duì)立事件.3.古典概型(1)正確理解古典概型的兩大特點(diǎn):①;

②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性.

(2)掌握古典概型的概率計(jì)算公式:P(A)=.

4.幾何概型(1)幾何概率模型:如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為模型.

(2)幾何概型的概率計(jì)算公式:P(A)=.

(3)幾何概型的特點(diǎn):①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有個(gè);

②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性.

5.古典概型和幾何概型的區(qū)別相同:兩者基本事件的發(fā)生都是的;

不同:古典概型要求基本事件有個(gè),幾何概型要求基本事件有個(gè).

二、典型題歸納(一)概率與頻率根據(jù)概率的定義,我們可以由頻率來估計(jì)概率,因此應(yīng)理清頻率與概率的關(guān)系,頻率是概率的近似值,是隨機(jī)的,隨著試驗(yàn)的不同而變化,而概率是多次重復(fù)試驗(yàn)中頻率的穩(wěn)定值,是一個(gè)常數(shù),不要用一次或少數(shù)次試驗(yàn)中的頻率來估計(jì)概率.【例1】下表是某種油菜子在相同條件下的發(fā)芽試驗(yàn)結(jié)果表,請(qǐng)完成表格并回答以下問題.每批粒數(shù)251070130300150020003000發(fā)芽的粒數(shù)24960116269134717942688發(fā)芽的頻率(1)完成上面表格;(2)估計(jì)該油菜子發(fā)芽的概率約是多少?(二)古典概型古典概型是一種最基本的概率模型,也是學(xué)習(xí)其他概率模型的基礎(chǔ),在高考題中,經(jīng)常出現(xiàn)此種概率模型的題目.解題時(shí)要緊緊抓住古典概型的兩個(gè)基本特征,即有限性和等可能性.在應(yīng)用公式P(A)=nAn時(shí),關(guān)鍵是正確理解基本事件與事件A的關(guān)系,求出nA【例2】某人一次同時(shí)拋出兩枚均勻骰子(它們的六個(gè)面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6).(1)求兩枚骰子點(diǎn)數(shù)相同的概率;(2)求兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為5的倍數(shù)的概率.【例3】有編號(hào)為A1,A2,…,A10的10個(gè)零件,測(cè)量其直徑(單位:cm),得到下面數(shù)據(jù):編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10直徑1.511.491.491.511.491.511.471.461.531.47其中直徑在區(qū)間[1.48,1.52]內(nèi)的零件為一等品.(1)從上述10個(gè)零件中,隨機(jī)抽取1個(gè),求這個(gè)零件為一等品的概率.(2)從一等品零件中,隨機(jī)抽取2個(gè):①用零件的編號(hào)列出所有可能的抽取結(jié)果;②求這2個(gè)零件直徑相等的概率.(三)概率的加法公式互斥事件的概率加法公式是解決概率問題的重要公式,它能把復(fù)雜事件的概率問題轉(zhuǎn)化成較簡(jiǎn)單的基本事件的概率問題或轉(zhuǎn)化成求對(duì)立事件的概率問題.應(yīng)用公式時(shí)一定要注意,首先確定各個(gè)事件是否彼此互斥,然后求出各事件分別發(fā)生的概率.【例4】現(xiàn)有8名亞運(yùn)會(huì)志愿者,其中志愿者A1,A2,A3通曉日語,B1,B2,B3通曉俄語,C1,C2通曉韓語,從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名,組成一個(gè)小組.(1)求A1被選中的概率;(2)求B1和C1不全被選中的概率.(四)幾何概型幾何概型同古典概型一樣,是概率中最具有代表性的試驗(yàn)概型之一,在高考命題中占有非常重要的位置.我們要理解并掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特征,即:每次試驗(yàn)中基本事件的無限性和每個(gè)事件發(fā)生的等可能性,并能求簡(jiǎn)單的幾何概型試驗(yàn)的概率.【例5】在以3為半徑的圓內(nèi)任取一點(diǎn)P為中點(diǎn)作圓的弦,求弦長(zhǎng)超過圓內(nèi)接等邊三角形邊長(zhǎng)的概率.(五)數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想在本章的應(yīng)用很廣泛,如用集合的關(guān)系與運(yùn)算表示事件的關(guān)系與運(yùn)算,用圖表的形式表示一次試驗(yàn)的基本事件以及幾何概型中畫圖表示問題中涉及的量,從而求出事件的概率.【例6】設(shè)M={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},任取x,y∈M,x≠y.求x+y是3的倍數(shù)的概率.三、總結(jié)提升1.求某事件的概率可用間接法:求它的事件的概率.

2.會(huì)根據(jù)古典概型與幾何概型的區(qū)別與聯(lián)系來判別某種概型是古典概型還是幾何概型.3.在古典概型中,求某個(gè)隨機(jī)事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù)的常用方法是(畫樹狀圖和列表),應(yīng)做到.

4.在幾何概型問題的分析中,會(huì)利用法確定試驗(yàn)構(gòu)成的區(qū)域.

四、章末鞏固(一)選擇題1.給出下列四個(gè)命題:①“三個(gè)球全部放入兩個(gè)盒子中,其中必有一個(gè)盒子有一個(gè)以上的球”是必然事件②“當(dāng)x為某一實(shí)數(shù)時(shí)可使x2<0”是不可能事件③“明天廣州要下雨”是必然事件④“從100個(gè)燈泡中取出5個(gè),5個(gè)都是次品”是隨機(jī)事件其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A.0 B.1 C.2 D.32.某人在比賽(沒有“和”局)中贏的概率為0.6,那么他輸?shù)母怕适?)A.0.4 B.0.6 C.0.36 D.0.163.下列說法正確的是()A.一名籃球運(yùn)動(dòng)員,號(hào)稱“百發(fā)百中”,若罰球三次,不會(huì)出現(xiàn)三投都不中的情況B.一枚硬幣擲一次得到正面的概率是12,C.如買彩票中獎(jiǎng)的概率是萬分之一,則買一萬元的彩票一定會(huì)中獎(jiǎng)一元D.隨機(jī)事件發(fā)生的概率與試驗(yàn)次數(shù)無關(guān)4.某個(gè)班級(jí)內(nèi)有40名學(xué)生,抽10名學(xué)生去參加某項(xiàng)活動(dòng),每個(gè)學(xué)生被抽到的概率是14,其中解釋正確的是(A.4個(gè)人中必有一個(gè)被抽到 B.每個(gè)人被抽到的可能性是1C.由于被抽到與不被抽到有兩種情況,不被抽到的概率為14D.以上說法都不正確5.投擲兩粒均勻的骰子,出現(xiàn)兩個(gè)5點(diǎn)的概率為()A.136 B.118 C.166.從{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一個(gè),這個(gè)集合恰是集合{a,b,c}的子集的概率是()A.35 B.25 C.147.若A與B是互斥事件,其發(fā)生的概率分別為p1,p2,則A,B同時(shí)發(fā)生的概率為()A.p1+p2 B.p1·p2 C.1-p1·p2 D.0(二)填空題8.同時(shí)拋擲3枚硬幣,恰好有2枚正面朝上的概率為.

9.10件產(chǎn)品中有2件次品,從中任取2件檢驗(yàn),則至少有1件次品的概率為.

10.已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},集合B={(x,y)|x+y+a=0},若A∩B≠?的概率為1,則a的取值范圍是.

(三)解答題11.由1,2,3組成可重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),試求三位數(shù)中至少出現(xiàn)兩個(gè)不同數(shù)字的概率.12.從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件產(chǎn)品,設(shè)事件A=“抽到的是一等品”,事件B=“抽到的是二等品”,事件C=“抽到的是三等品”,且已知P(A)=0.7,P(B)=0.1,P(C)=0.05,求下列事件的概率:(1)事件D=“抽到的是一等品或二等品”;(2)事件E=“抽到的是二等品或三等品”.13.從含有兩件正品a,b和一件次品c的三件產(chǎn)品中每次任取一件,連續(xù)取兩次,求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件是次品的概率.(1)每次取出不放回;(2)每次取出后放回.14.在某次數(shù)學(xué)考試中,甲、乙、丙三人及格(互不影響)的概率分別為0.4,0.2,0.5,考試結(jié)束后,最容易出現(xiàn)幾個(gè)人及格?15.設(shè)甲袋裝有m個(gè)白球,n個(gè)黑球,乙袋裝有m個(gè)黑球,n個(gè)白球,從甲、乙袋中各摸1個(gè)球,設(shè)事件A:“兩球同色”,事件B:“兩球異色”,試比較P(A)與P(B)的大小.參考答案一、知識(shí)分析(二)要點(diǎn)概述1.(3)頻率是概率的近似值,隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,頻率會(huì)越來越接近概率.2.(2)P(A∪B)=P(A)+P(B)(3)P(A)+P(B)1-P(B)3.(1)①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)②相等(2)A4.(1)幾何概率(2)構(gòu)成事件(3)①無限多②相等5.等可能有限無限多二、典型題歸納【例1】解:(1)由發(fā)芽的頻率fn(A)=nAn22=1;45=0.8;910=0.9;6070=116130=0.892;269300=0.897;1347117942000=0.897;2所以從左到右依次填入:1,0.8,0.9,0.857,0.892,0.897,0.898,0.897,0.896.(2)由于每批種子的發(fā)芽的頻率穩(wěn)定在0.897附近,所以估計(jì)該油菜子發(fā)芽的概率約為0.897.【例2】解:用(x,y)表示同時(shí)拋出的兩枚均勻骰子中一枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)是x,另一枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)是y,則全部結(jié)果有:(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6).即同時(shí)拋出兩枚均勻骰子共有36種結(jié)果.則同時(shí)拋出兩枚均勻骰子的結(jié)果是有限個(gè),屬于古典概型.(1)設(shè)“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)相同”為事件A,事件A有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6種,則P(A)=636即兩枚骰子點(diǎn)數(shù)相同的概率是16(2)設(shè)“兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為5的倍數(shù)”為事件B,事件B有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(4,6),(5,5),(6,4),共7種,則P(B)=736即兩枚骰子點(diǎn)數(shù)之和為5的倍數(shù)的概率是736【例3】解:(1)由所給數(shù)據(jù)可知,一等品零件共有6個(gè).設(shè)“從10個(gè)零件中,隨機(jī)抽取1個(gè)為一等品”為事件A,則P(A)=610(2)①一等品零件的編號(hào)為A1,A2,A3,A4,A5,A6.從這6個(gè)一等品零件中隨機(jī)抽取2個(gè),所有可能的結(jié)果有:{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15種.②“從一等品零件中,隨機(jī)抽取的2個(gè)零件直徑相等”(記為事件B)的所有可能結(jié)果有:{A1,A4},{A1,A6},{A4,A6},{A2,A3},{A2,A5},{A3,A5},共6種,所以P(B)=615【例4】解:(1)從8人中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名,其一切可能的結(jié)果組成的基本事件空間Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A2,B3,C1),(A2,B3,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2),(A3,B3,C1),(A3,B3,C2)},即由18個(gè)基本事件組成.由于每一個(gè)基本事件被抽取的機(jī)會(huì)均等,因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的.用M表示“A1被選中”這一事件,則M={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A1,B3,C1),(A1,B3,C2)},即事件M由6個(gè)基本事件組成.故P(M)=618(2)用N表示“B1和C1不全被選中”這一事件,則N={(A1,B1,C2),(A2,B1,C2),(A3,B1,C2),(A1,B2,C1),(A2,B2,C1),(A3,B2,C1),(A1,B3,C1),(A2,B3,C1),(A3,B3,C1)},即事件N由9個(gè)基本事件組成,故P(N)=918【例5】解:設(shè)“弦長(zhǎng)超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)”為事件A.在半徑為3的圓內(nèi)任取一點(diǎn)P的結(jié)果有無限個(gè),屬于幾何概型.如圖所示,△BCD是圓內(nèi)接等邊三角形,再作△BCD的內(nèi)切圓.則滿足“弦長(zhǎng)超過圓內(nèi)接等邊三角形邊長(zhǎng)”的點(diǎn)P在等邊三角形△BCD的內(nèi)切圓內(nèi).可以計(jì)算得:等邊三角形△BCD的邊長(zhǎng)為3,等邊三角形△BCD的內(nèi)切圓的半徑為32所以事件A構(gòu)成的區(qū)域面積是等邊三角形△BCD的內(nèi)切圓的面積π×322全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域面積是π×(3)2=3π,所以P(A)=34即弦長(zhǎng)超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率是14【例6】解:利用平面直角坐標(biāo)系列舉,如圖所示.由此可知,基本事件總數(shù)n=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45.而x+y是3的倍數(shù)的情況,有m=15(種),故所求事件的概率mn三、總結(jié)提升1.對(duì)立3.列舉法不重不漏4.數(shù)形結(jié)合四、章末鞏固1.D2.A3.D4.B5.A6.C7.D8.389.174510.a∈[-11.解:“三位數(shù)中至少出現(xiàn)兩個(gè)不同數(shù)字”事件包含“三位數(shù)中恰好出現(xiàn)兩個(gè)不同的數(shù)字”與“三個(gè)數(shù)全不相同”兩個(gè)互斥事件,故所求概率為2×3×32712.解:由題知A,B,C彼此互斥,且D=A+B,E=B+C.(1)P(D)=P(A+B)=P(