§6-3 狀態(tài)方程的求解

§6-3狀態(tài)方程的求解一、矢量的微積分與拉氏變換設(shè)有時間矢量λ(t)，是一個列矢量。則??二、狀態(tài)方程的拉氏變換解法1、狀態(tài)方程與輸出方程的解方程兩邊同求拉氏變換其中狀態(tài)變量的拉氏變換其中輸出變量的拉氏變換于是?-1?-1?-1?-1?-1?-1?-1?-1---系統(tǒng)的特征矩陣---系統(tǒng)的特征行列式零輸入分量零狀態(tài)分量零輸入響應零狀態(tài)響應例如：已知系統(tǒng)方程的系數(shù)矩陣、起始條件和輸入，試求狀態(tài)變量。解：首先求系統(tǒng)的特征矩陣狀態(tài)變量的零輸入分量狀態(tài)變量的零狀態(tài)分量于是2、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(Statetransitionmatrix)由前面的分析知道，系統(tǒng)的狀態(tài)變量?-1?-1?-1?-1狀態(tài)轉(zhuǎn)移（過渡）矩陣等于系統(tǒng)特征矩陣的拉氏反變換。它把系統(tǒng)的起始狀態(tài)和激勵的作用，轉(zhuǎn)換成系統(tǒng)在t>0后的任意時刻的狀態(tài)。例如：設(shè)系統(tǒng)的輸入輸出方程為試列出其狀態(tài)方程，并求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。解：根據(jù)相變量法，可列出一種狀態(tài)方程。方程中的系數(shù)矩陣為?-1比較以上系統(tǒng)方程與求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣對應的特征行列式這正好是系統(tǒng)方程對應的特征多項式，一般情況下也是系統(tǒng)函數(shù)的分母多項式，它的根是系統(tǒng)的特征根。3、系統(tǒng)（轉(zhuǎn)移）函數(shù)矩陣由前面分析知道，系統(tǒng)的輸出矢量的拉氏變換為其中零狀態(tài)分量是對于有m個輸入，l個輸出的系統(tǒng)，是一個l×m的矩陣。例如：設(shè)系統(tǒng)的輸入輸出方程為試列出其輸出方程，并求其系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)矩陣。解：根據(jù)相變量法，可列出其輸出方程。方程中的系數(shù)矩陣為由上例知道，狀態(tài)方程的系數(shù)矩陣與系統(tǒng)的特征矩陣是所以因為系統(tǒng)是單輸入單輸出的，所以系統(tǒng)函數(shù)矩陣就是原系統(tǒng)函數(shù)。例如：上節(jié)例題所示電路如圖，設(shè)試求系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)矩陣。解：由上節(jié)已知系統(tǒng)的特征矩陣于是，系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)矩陣三、狀態(tài)方程的時域解法1、一階標量方程的時域解設(shè)有一階標量方程為上式兩邊同取由0-到時間t的積分，于是2、一階矢量方程的時域解

由前面拉氏變換解中已知，狀態(tài)方程的解為?-1?-1式中的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣表示為矩陣指數(shù)?-1于是以上狀態(tài)方程的解與以上標量方程的解，形式上相同。顯然，求解以上結(jié)果的關(guān)鍵是求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。而狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可以由拉氏變換求得，下面介紹時域求解方法。3、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的時域求解

在標量情況下，與自然數(shù)為底的指數(shù)

在矢量情況下，我們定義矩陣指數(shù)。設(shè)矩陣A為方陣于是，矩陣指數(shù)有以下的性質(zhì)：下面討論指數(shù)矩陣的時域求法。根據(jù)凱萊—漢密爾頓定理，當A是一N階方陣，則有于是，對與N階方陣A，對應的指數(shù)矩陣具體求解的方法與步驟如下：⑴解矩陣A的特征方程，求特征根；⑵根據(jù)特征根，列方程組；若以上特征根均為單根，則若有特征根α1為m重根，則對應的m個方程為⑶解方程，求出ci

；⑷最后做矩陣運算，求出例如：已知矩陣A，試求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。解：⑴求矩陣的特征根：⑵有以下方程：⑶解以上方程，得到：⑷狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為：4、輸出方程的時域求解?-1?-1

上式中當有L個輸出，矩陣δ(t)I是一個L