陜西省渭南市合陽縣2023-2024學年數(shù)學高二上期末調研試題含解析

陜西省渭南市合陽縣2023-2024學年數(shù)學高二上期末調研試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線C1的一條漸近線方程為y=kx，離心率為e1，雙曲線C2的一條漸近線方程為y=x，離心率為e2，且雙曲線C1、C2在第一象限交于點(1，1)，則=（）A.|k| B.C.1 D.22．已知F是雙曲線的右焦點，過F且垂直于x軸的直線交E于A，B兩點，若E的漸近線上恰好存在四個點，，，，使得，則E的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.3．如圖所示，某空間幾何體的三視圖是3個全等的等腰直角三角形，且直角邊長為2，則該空間幾何體的體積為（）A. B.C. D.4．已知是虛數(shù)單位，若，則復數(shù)z的虛部為（）A.3 B.－3iC.-3 D.3i5．若拋物線x＝﹣my2的焦點到準線的距離為2，則m＝（）A.﹣4 B.C. D.±6．已知實數(shù)，滿足不等式組，則的最小值為（）A2 B.3C.4 D.57．函數(shù)圖象的一個對稱中心為（）A. B.C. D.8．設為實數(shù)，則曲線：不可能是（）A.拋物線 B.雙曲線C.圓 D.橢圓9．已知直線l和拋物線交于A，B兩點，O為坐標原點，且，交AB于點D，點D的坐標為，則p的值為（）A. B.1C. D.210．《九章算術》第三章“衰分”介紹比例分配問題：“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱遞減的比例（即百分比）為“衰分比”.如：甲、乙、丙、丁分別分得，，，，遞減的比例為，那么“衰分比”就等于，今共有糧石，按甲、乙、丙、丁的順序進行“衰分”，已知乙分得石，甲、丙所得之和為石，則“衰分比”為（）A. B.C. D.11．已知、、、是直線，、是平面，、、是點（、不重合），下列敘述錯誤的是（）A.若，，，，則B.若，，，則C.若，，則D.若，，則12．已知點，若直線與線段沒有公共點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知滿足的雙曲線（a，b＞0，c為半焦距）為黃金雙曲線，則黃金雙曲線的離心率為______14．已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為________15．若圓C的方程為，點P是圓C上的動點，點O為坐標原點，則的最大值為______16．在空間直角坐標系中，經(jīng)過且法向量的平面方程為，經(jīng)過且方向向量的直線方程為閱讀上面材料，并解決下列問題：給出平面的方程，經(jīng)過點的直線的方程為，則直線l與平面所成角的余弦值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），（），.（1）若直線與函數(shù)，的圖象都相切，求a的值；（2）若方程有兩個不同的實數(shù)解，求a的取值范圍.18．（12分）已知橢圓C：，斜率為的直線l與橢圓C交于A、B兩點且（1）求橢圓C的離心率；（2）求直線l的方程19．（12分）某中學共有名學生，其中高一年級有名學生，為了解學生的睡眠情況，用分層抽樣的方法，在三個年級中抽取了名學生，依據(jù)每名學生的睡眠時間（單位：小時），繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求樣本中高一年級學生的人數(shù)及圖中的值；（2）估計樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)（保留兩位小數(shù)）；（3）估計全校睡眠時間超過個小時的學生人數(shù).20．（12分）年月日，中國選手楊倩在東京奧運會女子米氣步槍決賽由本得冠軍，為中國代表團攬入本屆奧運會第一枚金牌.受奧運精神的鼓舞，某射擊俱樂部組織名射擊愛好者進行一系列的測試，并記錄他們的射擊得分（單位：分），將所得數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計該名射擊愛好者的射擊平均得分（求平均值時同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）若采用分層抽樣的方法，從得分高于分的射擊愛好者中隨機抽取人調查射擊技能情況，再從這人中隨機選取人進行射擊訓練，求這人中至少有人的分數(shù)高于分的概率.21．（12分）“綠水青山就是金山銀山”，中國一直踐行創(chuàng)新、協(xié)調、綠色、開放、共享的發(fā)展理念，著力促進經(jīng)濟實現(xiàn)高質量發(fā)展，決心走綠色、低碳、可持續(xù)發(fā)展之路．新能源汽車環(huán)保、節(jié)能，以電代油，減少排放，既符合我國的國情，也代表了世界汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展的方向工業(yè)部表示，到2025年我國新能源汽車銷量占總銷量將達20%以上.2021年，某集團以20億元收購某品牌新能源汽車制造企業(yè)，并計劃投資30億元來發(fā)展該品牌.2021年該品牌汽車的銷售量為10萬輛，每輛車的平均銷售利潤為3000元．據(jù)專家預測，以后每年銷售量比上一年增加10萬輛，每輛車的平均銷售利潤比上一年減少10%（1）若把2021年看作第一年，則第n年的銷售利潤為多少億元？（2）到2027年年底，該集團能否通過該品牌汽車實現(xiàn)盈利？（實現(xiàn)盈利即銷售利潤超過總投資，參考數(shù)據(jù)：，，）22．（10分）已知圓C的圓心在直線上，圓心到x軸的距離為2，且截y軸所得弦長為（1）求圓C的方程；（2）若圓C上至少有三個不同的點到直線的距離為，求實數(shù)k的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)漸近線方程設出雙曲線方程，再由過點，可知雙曲線方程，從而可求離心率.【詳解】由題，設雙曲線的方程為，又因為其過，且可知，不妨設，代入，得，所以雙曲線的方程為，所以，同理可得雙曲線的方程為，所以可得，所以，當時，結論依然成立.故選：C2、D【解析】由題意以AB為直徑的圓M與雙曲線E的漸近線有四個不同的交點，則必有，又當圓M經(jīng)過原點時此時以AB為直徑的圓M上與雙曲線E的漸近線有三個不同的交點，不滿足，從而得出答案.【詳解】由題意，由得，雙曲線的漸近線方程為所以，由，可知，，，在以AB為直徑的圓M上，圓的半徑為即以AB為直徑的圓M與雙曲線E的漸近線有四個不同的交點當圓M與漸近線相切時，圓心到漸近線的距離，則必有，即，則雙曲線E的離心率，所以又當圓M經(jīng)過原點時，，解得E的離心率為，此時以AB為直徑圓M與雙曲線E的漸近線有三個不同的交點，不滿足條件.所以E的離心率的取值范圍是.故選：D3、A【解析】在該空間幾何體的直觀圖中去求其體積即可.【詳解】依托棱長為2的正方體得到該空間幾何體的直觀圖為三棱錐則故選：A4、C【解析】由復數(shù)的除法運算可得答案.【詳解】由題得，所以復數(shù)z的虛部為－3.故選：C.5、D【解析】把拋物線的方程化為標準方程，由焦點到準線的距離為，即可得到結果，得到答案.【詳解】由題意，拋物線，可得，又由拋物線的焦點到準線的距離為2，即，解得.故選D.【點睛】本題主要考查了拋物線的標準方程，以及簡單的幾何性質的應用，其中解答中熟記拋物線的焦點到準線的距離為是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.6、B【解析】畫出可行域，找到最優(yōu)解，得最值.【詳解】畫出不等式組對應的可行域如下：平行移動直線，當直線過點時，.故選：B.7、D【解析】要求函數(shù)圖象的一個對稱中心的坐標,關鍵是求函數(shù)時的的值;令,根據(jù)余弦函數(shù)圖象性質可得,此時可求出,然后對進行取值,進而結合選項即可得到答案.【詳解】解:令,則解得,即,圖象的對稱中心為,令,即可得到圖象的一個對稱中心為故選:D【點睛】本題考查三角函數(shù)的對稱中心,正弦函數(shù)的對稱中心為,余弦函數(shù)的對稱中心為.8、A【解析】根據(jù)圓的方程、橢圓的方程、雙曲線的方程和拋物線的方程特征即可判斷.【詳解】解：對A：因為曲線C的方程中都是二次項，所以根據(jù)拋物線標準方程的特征曲線C不可能是拋物線，故選項A正確；對B：當時，曲線C為雙曲線，故選項B錯誤；對C：當時，曲線C為圓，故選項C錯誤；對D：當且時，曲線C為橢圓，故選項D錯誤；故選：A.9、B【解析】由垂直關系得出直線l方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達定理以及數(shù)量積公式得出p的值.【詳解】，，即聯(lián)立直線和拋物線方程得設，則解得故選：B10、A【解析】根據(jù)題意，設衰分比為，甲分到石，，然后可得和，解出、的值即可【詳解】根據(jù)題意，設衰分比為，甲分到石，，又由今共有糧食石，按甲、乙、丙、丁的順序進行“衰分”，已知乙分得90石，甲、丙所得之和為164石，則，，解得：，，故選：A11、D【解析】由公理2可判斷A選項；由公理3可判斷B選項；利用平行線的傳遞性可判斷C選項；直接判斷線線位置關系，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，由公理2可知，若，，，，則，A對；對于B選項，由公理3可知，若，，，則，B對；對于C選項，由空間中平行線的傳遞性可知，若，，則，C對；對于D選項，若，，則與平行、相交或異面，D錯.故選：D.12、A【解析】分別求出，即可得到答案.【詳解】直線經(jīng)過定點.因為，所以,所以要使直線與線段沒有公共點，只需：，即.所以的取值范圍是.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】根據(jù)題設及雙曲線離心率公式可得，結合雙曲線離心率的性質即可求離心率.【詳解】由題設，，整理得：，所以，而，故.故答案為：.14、9【解析】根據(jù)橢圓的定義可得，結合基本不等式即可求得的最大值.【詳解】∵在橢圓上∴∴根據(jù)基本不等式可得，即，當且僅當時取等號.故答案為：9.15、##【解析】根據(jù)點與圓的位置關系求得正確答案.【詳解】圓的方程可化為，所以圓心為，半徑.由于，所以原點在圓外，所以最大值為.故答案為：16、##【解析】根據(jù)材料結合已知條件求得平面的法向量以及直線的方向向量，即可用向量法求得線面角.【詳解】因為平面的方程，不妨令，則，故其過點,設其法向量為，根據(jù)題意則，即，又平面的方程為，則，不妨取，則，則平面的法向量；經(jīng)過點的直線的方程為，不妨取，則，則該直線過點，則直線的方向向量.設直線與平面所成的角為，則.又，故，即直線l與平面所成角的余弦值為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義進行求解即可；（2）利用常變量分離法，通過構造新函數(shù)，由方程有兩個不同的實數(shù)解問題，轉化為兩個函數(shù)的圖象有兩個交點問題，利用導數(shù)進行求解即可.【小問1詳解】設曲線的切點坐標為，由，所以過該切點的切線的斜率為，因此該切線方程為：，因為直線與函數(shù)的圖象相切，所以，因為直線與函數(shù)的圖象相切，且函數(shù)過原點，所以曲線的切點為，于是有，即；【小問2詳解】由可得：，當時，顯然不成立，當時，由，設函數(shù)，，，當時，，單調遞減，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，因此當時，函數(shù)有最小值，最小值為，而，當時，，函數(shù)圖象如下圖所示：方程有兩個不同的實數(shù)解，轉化為函數(shù)和函數(shù)的圖象，在當時，有兩個不同的交點，由圖象可知：，故a的取值范圍為.【點睛】關鍵點睛：利用常變量分離法，結合轉化法進行求解是解題的關鍵.18、（1）（2）或【解析】（1）將橢圓化為標準方程，求得，進而求得離心率；（2）設直線，，，與橢圓聯(lián)立，借助韋達定理及弦長公式求得，從而求得直線方程.【小問1詳解】由題知，橢圓C：，則，離心率【小問2詳解】設直線，，聯(lián)立，化簡得，則，解得，，由弦長公式知，，解得，故直線或19、（1）樣本中高一年級學生的人數(shù)為，；（2）；（3）【解析】（1）利用分層抽樣可求得樣本中高一年級學生的人數(shù)，利用頻率直方圖中所有矩形的面積之和為可求得的值；（2）利用中位數(shù)左邊的矩形面積之和為可求得中位數(shù)的值；（3）利用頻率分布直方圖可計算出全校睡眠時間超過個小時的學生人數(shù).【小問1詳解】解：樣本中高一年級學生的人數(shù)為.，解得.【小問2詳解】解：設中位數(shù)為，前兩個矩形的面積之和為，前三個矩形的面積之和為，所以，則，得，故樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為.【小問3詳解】解：由圖可知，樣本數(shù)據(jù)落在的頻率為，故全校睡眠時間超過個小時的學生人數(shù)約為.20、（1），平均分為；（2）.【解析】（1）利用頻率直方圖中所有矩形面積之和為可求得的值，將每個矩形底邊的中點值乘以對應矩形的面積，將所得結果全部相加可得平均成績；（2）分析可知所抽取的人中，成績在內的有人，分別記為、、、，成績在內的有人，分別記為、，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小問1詳解】解：根據(jù)頻率分布直方圖得到，解得.這組樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)為.【小問2詳解】解：根據(jù)頻率分布直方圖得到，分數(shù)在、內的頻率分別為、，所以采用分層抽樣的方法從樣本中抽取的人，成績在內的有人，分別記為、、、，成績在內的有人，分別記為、，記“人中至少有人的分數(shù)高于分”為事件.則所有的基本事件有、、、、、、、、、、、、、、，共種.事件包含的基本事件有、、、、、、、、，共種，所以.21、（1）億元（2）該集團能通過該品牌汽車實現(xiàn)盈利【解析】（1）由題意可求得第n年的銷售量，第n年每輛車的平均銷售利潤，從而可求出第n年的銷售利潤，（2）利用錯位相減法求出到2027年年底銷售利潤總和，再與總投資額比較即可【小問1詳解】設第n年的銷售量為萬輛，則該汽車的年銷售量構成首項為10，公差為10的等差數(shù)列，所以，設第n年每輛車的平均銷售利潤為元，則每輛汽車的平均銷售利潤構成首項為3000，公比為0.9的等比數(shù)列，所