山西省大同鐵路第一中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

山西省大同鐵路第一中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如右圖，一個(gè)直徑為1的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時(shí)針方向滾動(dòng)，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個(gè)端點(diǎn).那么，當(dāng)小圓這樣滾過大圓內(nèi)壁的一周，點(diǎn)M，N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是A. B.C. D.2．據(jù)有關(guān)文獻(xiàn)記載：我國古代一座層塔共掛了盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)比上一層燈數(shù)都多為常數(shù)盞，底層的燈數(shù)是頂層的倍，則塔的底層共有燈（）A.盞 B.盞C.盞 D.盞3．已知拋物線上的點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，則（）A. B.C. D.4．命題“若，則”的否命題是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則5．“”是“方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”的（）A.充要條件 B.必要而不充分條件C.充分而不必要條件 D.既不充分也不必要條件6．函數(shù)，則的值為（）A B.C. D.7．在平面上有及內(nèi)一點(diǎn)O滿足關(guān)系式：即稱為經(jīng)典的“奔馳定理”，若的三邊為a，b，c，現(xiàn)有則O為的（）A.外心 B.內(nèi)心C.重心 D.垂心8．已知點(diǎn)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，點(diǎn)，若點(diǎn)Р為拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)P恰好在以F，為焦點(diǎn)的橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.9．某校開展研學(xué)活動(dòng)時(shí)進(jìn)行勞動(dòng)技能比賽，通過初選，選出共6名同學(xué)進(jìn)行決賽，決出第1名到第6名的名次（沒有并列名次），和去詢問成績(jī)，回答者對(duì)說“很遺?，你和都末拿到冠軍；對(duì)說“你當(dāng)然不是最差的”.試從這個(gè)回答中分析這6人的名次排列順序可能出現(xiàn)的結(jié)果有（）A.720種 B.600種C.480種 D.384種10．拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C. D.11．若圓與直線相切，則（）A.3 B.或3C. D.或12．若直線與平行，則實(shí)數(shù)m等于（）A.1 B.C.4 D.0二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)，為實(shí)數(shù)，已知經(jīng)過點(diǎn)的橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，則___________.14．已知數(shù)列滿足，則的最小值為__________．的前20項(xiàng)和為________15．設(shè)在中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，從下列四個(gè)條件：①；②；③；④中選出三個(gè)條件，能使?jié)M足所選條件的存在且唯一的所有c的值為______.16．如圖，已知底面為正方形且各側(cè)棱均相等的四棱錐可繞著任意旋轉(zhuǎn)，平面，分別是的中點(diǎn)，，，點(diǎn)在平面上的射影為點(diǎn)，則當(dāng)最大時(shí)，二面角的大小是________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）等差數(shù)列的公差d不為0，滿足成等比數(shù)列，數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列與通項(xiàng)公式：（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．（12分）已知在△中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且.（1）求角C的大小；（2）若，求△的面積S的最大值.19．（12分）已知正三棱柱底面邊長為，是上一點(diǎn)，是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，（1）證明：是的中點(diǎn)；（2）求二面角的大小20．（12分）已知圓的圓心在直線上，且圓經(jīng)過點(diǎn)與點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）過點(diǎn)作圓的切線，求切線所在的直線的方程.21．（12分）已知橢圓C：（）過點(diǎn)，且離心率為（1）求橢圓C的方程；（2）過點(diǎn)（）的直線l（不與x軸重合）與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，直線AC與x軸交于點(diǎn)Q，試問是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值，若不是，請(qǐng)說明理由22．（10分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,數(shù)列滿足，.(1)求和的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】如圖：如圖，取小圓上一點(diǎn)，連接并延長交大圓于點(diǎn)，連接，，則在小圓中，，在大圓中，，根據(jù)大圓的半徑是小圓半徑的倍，可知的中點(diǎn)是小圓轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度后的圓心，且這個(gè)角度恰好是，綜上可知小圓在大圓內(nèi)壁上滾動(dòng)，圓心轉(zhuǎn)過角后的位置為點(diǎn)，小圓上的點(diǎn)，恰好滾動(dòng)到大圓上的也就是此時(shí)的小圓與大圓的切點(diǎn)．而在小圓中，圓心角（是小圓與的交點(diǎn)）恰好等于，則，而點(diǎn)與點(diǎn)其實(shí)是同一個(gè)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位置，則可知點(diǎn)與點(diǎn)是同一個(gè)點(diǎn)在不同時(shí)刻的位置．由于的任意性，可知點(diǎn)的軌跡是大圓水平的這條直徑．類似的可知點(diǎn)的軌跡是大圓豎直的這條直徑.故選A.2、C【解析】根據(jù)給定條件利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式列式計(jì)算即可作答.【詳解】依題意，層塔從上層到下層掛燈盞數(shù)依次排成一列可得等差數(shù)列，，于是得，解得，，所以塔的底層共有燈盞.故選：C3、C【解析】首先根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，確定的值，再根據(jù)焦半徑公式求解.【詳解】，，因?yàn)辄c(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為，所以，得故選：C4、B【解析】根據(jù)原命題的否命題是條件結(jié)論都要否定【詳解】解：因?yàn)樵}的否命題是條件結(jié)論都要否定所以命題“若，則”的否命題是若，則；故選：B5、A【解析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)合充分必要條件的定義即得.【詳解】若，則方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓；反之，若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則；所以“”是“方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”的充要條件.故選：A.6、B【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，代入求值即可.【詳解】函數(shù),故，所以，故選：B7、B【解析】利用三角形面積公式，推出點(diǎn)O到三邊距離相等。【詳解】記點(diǎn)O到AB、BC、CA的距離分別為，，，，因?yàn)?，則，即，又因?yàn)?，所以，所以點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)心.故選：B8、D【解析】過點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，交準(zhǔn)線于D，根據(jù)拋物線的定義可知，記，根據(jù)題意，當(dāng)最小，即直線與拋物線相切時(shí)滿足題意，進(jìn)而解出此時(shí)P的坐標(biāo)，解得答案即可.【詳解】如圖，易知點(diǎn)在拋物線C的準(zhǔn)線上，作PD垂直于準(zhǔn)線，且與準(zhǔn)線交于點(diǎn)D，記，則.由拋物線定義可知，.由圖可知，當(dāng)取得最大值時(shí)，最小，此時(shí)直線與拋物線相切，設(shè)切線方程為，代入拋物線方程并化簡(jiǎn)得：，，方程化為：，代入拋物線方程解得：，即，則，.于是，橢圓的長軸長，半焦距，所以橢圓的離心率.故選：D.9、D【解析】不是第一名且不是最后一名，的限制最多，先排有4種情況，再排，也有4種情況，余下的問題是4個(gè)元素在4個(gè)位置全排列，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理求解即可【詳解】由題意，不是第一名且不是最后一名，的限制最多，故先排，有4種情況，再排，也有4種情況，余下4人有種情況，利用分步相乘計(jì)數(shù)原理知有種情況故選：D.10、C【解析】根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，即可得解；【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€方程為，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線的方程為，所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為；故選：C11、B【解析】根據(jù)圓與與直線相切，利用圓心到直線的距離等于半徑求解.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則圓心為，半徑為，因?yàn)閳A與與直線相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，解得或，故選：B12、B【解析】?jī)芍本€平行的充要條件【詳解】由于，則，.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】由點(diǎn)P在橢圓上，可得的值，再根據(jù)橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)即可求解.【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，解得，所以橢圓方程為，又橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，所以，解得，故答案為：1.14、①②.【解析】由題設(shè)可得，應(yīng)用累加法求的通項(xiàng)公式，由基本不等式及確定的最小值，再應(yīng)用裂項(xiàng)求和法求的前20和.【詳解】由題設(shè)，，∴，…，，又，∴將上式累加可得：，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，故最小，則或5，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；∴的最小值為.由上知：，∴前20項(xiàng)和為.故答案為：8，.15、，##，【解析】由①②結(jié)合正弦定理可求出，但是角不唯一，故所選條件中不能同時(shí)有①②，只能是①③④或②③④，若選①③④，結(jié)合余弦定理可求，若選②③④，結(jié)合正弦定理即可求解【詳解】由①②結(jié)合正弦定理，所以，此時(shí)角不唯一，所以故所選條件中不能同時(shí)有①②，所以只能是①③④或②③④，若選①③④，即，，，由余弦定理可得，解得，若選②③④，即，，，因?yàn)椋?，由正弦定理得，，故答案為：?6、##【解析】先計(jì)算得到二面角的大小為60°，設(shè)二面角C-AB-O的大小為，則，計(jì)算得到答案.【詳解】解：由題可得，，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，，又，所以平面因?yàn)?，所?所以二面角為，設(shè)二面角的大小為，即，則，在中，利用余弦定理得到：，故當(dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到方程求出公差，即可求出的通項(xiàng)公式，由，當(dāng)時(shí)，求出，當(dāng)時(shí)，兩式作差，即可求出；（2）由（1）可得，利用錯(cuò)位相減法求和即可；【小問1詳解】解：由已知，又，所以故解得（舍去）或∴∵①故當(dāng)時(shí)，可知，∴，當(dāng)時(shí)，可知②①②得∴又也滿足，故當(dāng)時(shí)，都有；【小問2詳解】解：由（1）知，故③，∴④，由③④得整理得.18、（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理、和角正弦公式及三角形內(nèi)角的性質(zhì)可得，進(jìn)而可得C的大小；（2）由余弦定理可得，根據(jù)基本不等式可得，由三角形面積公式求面積的最大值，注意等號(hào)成立條件.【小問1詳解】由正弦定理知：，∴，又，∴，則，故.【小問2詳解】由，又，則，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴△的面積S的最大值為.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)正棱柱的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理、直角三角形的性質(zhì)、正三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合二面角的定義進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】證明：在正三棱柱中，平面，平面，則,又是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，則，且，平面，故平面，而平面，所以，又為正三角形，所以為的中點(diǎn)；【小問2詳解】在正中，取的中點(diǎn)為，則，又平面，則，且，平面，故平面，取的中點(diǎn)為，且的中點(diǎn)為，則，故平面，而平面，所以，在等腰直角中，取的中點(diǎn)為，則，，平面，所以平面，而平面，所以，故為二面角平面角，又，則，，所以在中，，即：，故二面角的大小為.：20、（1）；（2）或.【解析】（1）求出線段中點(diǎn)，進(jìn)而得到線段的垂直平分線為，與聯(lián)立得交點(diǎn)，∴.則圓的方程可求（2）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，可知切線方程為.當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，由到此直線的距離為，解得，即可到切線所在直線的方程.試題解析：（1）線段的中點(diǎn)為，∵，∴線段的垂直平分線為，與聯(lián)立得交點(diǎn)，∴.∴圓的方程為.（2）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為.當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，即，則到此直線的距離為，解得，∴切線方程為.故滿足條件的切線方程為或.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求法，圓的切線，中點(diǎn)弦等問題，解題的關(guān)鍵是利用圓的特性，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解21、（1）（2）為定值【解析】（1）由題意可得解方程組求出，從而可得橢圓方程，（2）設(shè)直線AB：，，代入橢圓方程，消去，利用根與系數(shù)關(guān)系，再表示出直線AC的方程，從而可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，從而可表示出，然后化簡(jiǎn)可得結(jié)論【小問1詳解】由題意得解得故橢圓C的方程為；【小問2詳解】設(shè)直線AB：，，聯(lián)立消去y得，設(shè)，，得，，因?yàn)辄c(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，所以，所以直線AC的斜率為，直線AC的方程，令，解得可得，所以，因?yàn)?，所以，所以為定值【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將直線AB的方程代入橢圓方程中化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合已知條件表示出直線AC的方程，從而可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，考查計(jì)算能力，屬于中檔題22、（1）；；（2）【解析】（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式主要利用求解，分情況求解后要驗(yàn)證是否滿足的通項(xiàng)公式，將求得的代入整理即可得到的通項(xiàng)公式；（2）整理數(shù)列的通項(xiàng)公