山西省霍州市煤電第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

山西省霍州市煤電第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點．已知拋物線的焦點為F，一條平行于y軸的光線從點射出，經(jīng)過拋物線上的點A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點B射出，則經(jīng)點B反射后的反射光線必過點（）A. B.C. D.2．已知，，若，則實數(shù)的值為（）A. B.C. D.3．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則（）A. B.C. D.4．已知命題：，，命題：，，則（）A.是假命題 B.是真命題C.是真命題 D.是假命題5．已知橢圓的左右焦點分別為，，過C上的P作y軸的垂線，垂足為Q，若四邊形是菱形，則C的離心率為（）A. B.C. D.6．某工廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后，在生產(chǎn)某產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸）的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有個數(shù)據(jù)看不清，已知回歸直線方程為=6.3x+6.8，下列說法正確的是（）x23456y1925★4044A.看不清的數(shù)據(jù)★的值為33B.回歸系數(shù)6.3的含義是產(chǎn)量每增加1噸，相應(yīng)的生產(chǎn)能耗實際增加6.3噸C.據(jù)此模型預(yù)測產(chǎn)量為8噸時，相應(yīng)的生產(chǎn)能耗為50.9噸D.回歸直線=6.3x+6.8恰好經(jīng)過樣本點（4，★）7．已知是拋物線上的一個動點,是圓上的一個動點,是一個定點,則的最小值為A. B.C. D.8．空間直角坐標(biāo)系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，則平面與平面間的距離為（）A. B.C. D.9．若雙曲線的漸近線方程為，則實數(shù)a的值為（）A B.C.2 D.10．已知橢圓的兩個焦點分別為，若橢圓上不存在點，使得是鈍角，則橢圓離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.11．現(xiàn)從名男醫(yī)生和名女醫(yī)生中抽取兩人加入“援鄂醫(yī)療隊”，用表示事件“抽到的兩名醫(yī)生性別相同”，表示事件“抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生”，則（）A. B.C. D.12．已知拋物線，則其焦點到準(zhǔn)線的距離為（）A. B.C.1 D.4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，公差，為其前n項和，滿足，則當(dāng)取得最大值時，______14．已知雙曲線，的左、右焦點分別為、，且的焦點到漸近線的距離為1，直線與交于，兩點，為弦的中點，若為坐標(biāo)原點）的斜率為，，則下列結(jié)論正確的是____________①；②的離心率為；③若，則的面積為2；④若的面積為，則為鈍角三角形15．從1，3，5，7中任取2個數(shù)字，從0，2，4，6，8中任取2個數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有___________個.（用數(shù)字作答）16．給定點、、與點，求點到平面的距離______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點，，設(shè)動點P滿足直線PA與PB的斜率之積為，記動點P的軌跡為曲線E（1）求曲線E的方程；（2）若動直線l經(jīng)過點，且與曲線E交于C，D（不同于A，B）兩點，問：直線AC與BD的斜率之比是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由18．（12分）一個盒中裝有編號分別為、、、的四個形狀大小完全相同的小球.（1）從盒中任取兩球，列出所有的基本事件，并求取出的球的編號之和大于的概率；（2）從盒中任取一球，記下該球的編號，將球放回，再從盒中任取一球，記下該球的編號，列出所有的基本事件，并求的概率.19．（12分）已知圓的半徑為，圓心在直線上，點在圓上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若原點在圓內(nèi)，求過點且與圓相切的直線方程.20．（12分）已知函數(shù)，數(shù)列的前n項和為，且對一切正整數(shù)n、點都在因數(shù)的圖象上（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，數(shù)列的前n項和，求證：21．（12分）已知橢圓過點，且離心率為.（1）求橢圓的方程；（2）過作斜率分別為的兩條直線，分別交橢圓于點，且，證明：直線過定點.22．（10分）已知定圓，過的一條動直線與圓相交于、兩點，（1）當(dāng)與定直線垂直時，求出與的交點的坐標(biāo)，并證明過圓心；（2）當(dāng)時，求直線的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】求出、坐標(biāo)可得直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立求出，根據(jù)選項可得答案,【詳解】把代入得，所以，所以直線的方程為即，與拋物線方程聯(lián)立解得，所以，因為反射光線平行于y軸，根據(jù)選項可得D正確,故選：D2、A【解析】由，得，從而可得答案.【詳解】解：因為，所以，即，解得.故選：A.3、B【解析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，，，，.故選：B4、C【解析】先分別判斷命題、的真假，再利用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與“且”判斷命題的真假.【詳解】由題意，，所以，成立，即命題為真命題，，所以不存在，使得，即命題為假命題，所以是假命題，為真命題，所以是真命題，是假命題，是假命題，是真命題.故選：C5、C【解析】根據(jù)題意求出P點坐標(biāo)，代入橢圓方程中，可整理得到關(guān)于a,c的等式，進(jìn)一步整理為關(guān)于e的方程，解得答案.【詳解】如圖示：由題意可知，因為四邊形是菱形，所以，則，所以P點坐標(biāo)為，將P點坐標(biāo)為代入得：，整理得，故，由于，解得，所以，故選：C.6、D【解析】根據(jù)回歸直線方程的性質(zhì)和應(yīng)用，對每個選項進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：因為，將代入，故，∴，故A錯誤；對，回歸系數(shù)6.3的含義是產(chǎn)量每增加1噸，相應(yīng)的生產(chǎn)能耗大約增加6.3噸，故錯誤；對，當(dāng)時，，故錯誤；對，因為，故必經(jīng)過，故正確.故選：.7、A【解析】恰好為拋物線的焦點，等于到準(zhǔn)線的距離，要想最小，過圓心作拋物線的準(zhǔn)線的垂線交拋物線于點，交圓于，最小值等于圓心到準(zhǔn)線的距離減去半徑4-1=.考點:1.拋物線的定義；2.圓中的最值問題；8、A【解析】由已知得，，，設(shè)向量與向量、都垂直，由向量垂直的坐標(biāo)運算可求得，再由平面平行和距離公式計算可得選項.【詳解】解：由已知得，，，設(shè)向量與向量、都垂直，則，即，取，，又平面平面，則平面與平面間的距離為，故選：A.9、D【解析】由雙曲線的漸近線方程結(jié)合已知可得.【詳解】雙曲線方程為所以漸近線為，故，解得：.故選：D10、C【解析】點P取端軸的一個端點時，使得∠F1PF2是最大角．已知橢圓上不存在點P，使得∠F1PF2是鈍角，可得b≥c，利用離心率計算公式即可得出【詳解】∵點P取端軸的一個端點時，使得∠F1PF2是最大角已知橢圓上不存在點P，使得∠F1PF2是鈍角，∴b≥c，可得a2﹣c2≥c2，可得：a∴故選C【點睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍).11、A【解析】先求出抽到的兩名醫(yī)生性別相同的事件的概率，再求抽到的兩名醫(yī)生都是女醫(yī)生事件的概率，然后代入條件概率公式即可【詳解】解：由已知得,，則，故選：A【點睛】此題考查條件概率問題，屬于基礎(chǔ)題12、B【解析】化簡拋物線的方程為，求得，即為焦點到準(zhǔn)線的距離.【詳解】由題意，拋物線，即，解得，即焦點到準(zhǔn)線的距離是故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、9或10【解析】等差數(shù)列通項公式的使用.【詳解】數(shù)列是等差數(shù)列，且，得，得，則有，又因為，公差，所以或10時，取得最大值故答案為：9或1014、②④【解析】由已知可得，可求，，從而判斷①②，求出△的面積可判斷③，設(shè)，，利用面積求出點的坐標(biāo)，再求邊長，求出可判斷④【詳解】解：設(shè)，，，，可得，，兩式相減可得，由題意可得，且，，，，，，故②正確；的焦點到漸近線的距離為1，設(shè)到漸近線的距離為，則，即，，故①錯誤，，若，不妨設(shè)在右支上，，又，，則的面積為，故③不正確；設(shè)，，，，將代入雙曲線，得，，根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨取點的坐標(biāo)為，，，，，為鈍角，為鈍角三角形．故④正確故答案為：②④15、1296【解析】根據(jù)取出的數(shù)字是否含有零，分類討論，若不含零，則有四位數(shù)個，若含有零，則有四位數(shù)個，再根據(jù)分類加法計數(shù)原理即可求出【詳解】若取出的數(shù)字中不含零，則有四位數(shù)個；若取出的數(shù)字中含零，則有四位數(shù)個；所以，這樣的四位數(shù)有個故答案為：129616、【解析】先求出平面的法向量，再利用點到面的距離公式計算即可.【詳解】設(shè)平面的法向量為，點到平面的距離為，，，即，令，得故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）直線AC和BD的斜率之比為定值【解析】（1）設(shè)，依據(jù)兩點的斜率公式可求得曲線E的方程（2）設(shè)直線l：，，，聯(lián)立方程得，得出根與系數(shù)的關(guān)系，表示直線AC的斜率，直線BD的斜率，并代入計算，可得其定值.【詳解】解：（1）設(shè)，依題意可得，所以，所以曲線E的方程為（2）依題意，可設(shè)直線l：，，，由，可得，則，，因為直線AC的斜率，直線BD的斜率，因為，所以，所以直線AC和BD的斜率之比為定值18、（1）基本事件答案見解析，概率為；（2）基本事件答案見解析，概率為.【解析】（1）利用列舉法列舉出所有的基本事件，并確定事件“取出的球的編號之和大于”所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果；（2）利用列舉法列舉出所有的基本事件，并確定事件“”所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果.【詳解】（1）記“從盒中任取兩球，取出球的編號之和大于”為事件，樣本點表示“從盒中取出、號球”，且和表示相同的樣本點（以此類推），則樣本空間為，則，根據(jù)古典概型可知，從盒中任取兩球，取出球的編號之和大于的概率為；（2）記“”為事件，樣本點表示第一次取出號球，將球放回，從盒中取出號球（以此類推），則樣本空間，則，所以，故事件“”的概率為.19、（1）或（2）或【解析】（1）先設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用點在圓上和圓心在直線上得到圓心坐標(biāo)的方程組，進(jìn)而求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先利用原點在圓內(nèi)求出圓的方程，設(shè)出切線方程，利用圓心到切線的距離等于半徑進(jìn)行求解.【小問1詳解】解：設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由已知得，解得或，故圓的方程為或.【小問2詳解】解：因為，，且原點在圓內(nèi)，故圓的方程為，則圓心為，半徑為，設(shè)切線為，即，則，解得或，故切線為或，即或即為所求.20、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)數(shù)列中和的關(guān)系，即可解出；（2）利用裂項相消法求出，即可進(jìn)一步汽車其范圍.【小問1詳解】由題知，當(dāng)時，，當(dāng)時，也滿足上式，綜上，；【小問2詳解】，則，由，得，所以.21、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由離心率、過點和橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程求得，由此可得橢圓方程；（2）當(dāng)直線斜率不存在時，表示出兩點坐標(biāo)，由兩點連線斜率公式表示出，整理可得直線為；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的形式，代入中整理可得，由此可得直線所過定點；綜合兩種情況可得直線過定點.【詳解】（1）橢圓過點，即，；，又，，橢圓的方程為：.（2）當(dāng)直線斜率不存在時，設(shè)直線方程為，則，則，，解得：，直線方程為；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程組得：，設(shè)，則，（*），則，將*式代入化簡可得：，即，整理得：，代入直線方程得：，即，聯(lián)立方程組，解得：，，直線恒過定點；綜上所述：直線恒過定點.【點睛】思路點睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的直線過定點問題的求解，求解此類問題的基本思路如下：①假設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，整理為關(guān)于或的一元二次方程的形式；②利用求得變量的取值范圍，得到韋達(dá)定理的形式；③利用韋達(dá)定理表示出已知中的等量關(guān)系，代入韋達(dá)定理可整理得到變量間的關(guān)系，從而化簡直線方程；④根據(jù)直線過定點的求解方法可求得結(jié)果.22、（1），證明見解析；（2）或.【解析】（1）根據(jù)題意可設(shè)直線的方程為，將點的坐標(biāo)代入直線的方程，可求得的值，再將直線、的方程聯(lián)立，可得出這兩條直線的交點的坐標(biāo)，將圓心的坐標(biāo)