《復(fù)變函數(shù)與積分變換》§8.2 Laplace變換的性質(zhì)

§8.2Laplace變換的性質(zhì)本節(jié)將介紹在Laplace變換的實際應(yīng)用中極為重要的一些性質(zhì)，為了敘述方便起見，假定在這些性質(zhì)中，凡是要求Laplace變換的函數(shù)都滿足Laplace變換存在定理中的條件，并且把這些函數(shù)的增長指數(shù)都統(tǒng)一地取為C，在逐條證明這些性質(zhì)時，我們不再重復(fù)這些條件，請讀者注意．線性性質(zhì)一設(shè)，，，是常數(shù)，則有(8.2.1)線性性質(zhì)一因為左邊的積分才收斂，從而才有等式成立．同理可證第二個式子．這個性質(zhì)表明函數(shù)線性組合的Laplace變換等于各函數(shù)Laplace變換的線性組合．證明顯然，當上式右邊兩積分都收斂時，即時，線性性質(zhì)一求(其中為實數(shù))的Laplace變換．解：

由§8.1節(jié)的例2知，所以，由Laplace的線性性質(zhì)有同理可求得例1線性性質(zhì)一已知，求．解：

首先把化為部分分式的和，令等式兩邊同乘，比較s的同次項系數(shù)，計算可得，例2線性性質(zhì)一所以微分性質(zhì)二，，，則有設(shè)根據(jù)Laplace變換的定義并利用分部積分法，有，所以由于的增長指數(shù)為即所以，，，時，當時域微分1有微分性質(zhì)二，(8.2.3)(8.2.4)必須指出，如果在不連續(xù)，或包含一個或的即(8.2.2)式變?yōu)榇藭r，應(yīng)將的Laplace變換中的積分下限理解為，即各階導(dǎo)數(shù)，則(8.2.2)式中的初始條件就必須取為．微分性質(zhì)二反復(fù)利用(8.2.3)式，可得到關(guān)于Laplace變換的時域微分的高階導(dǎo)數(shù)公式(8.2.5)特別地，若在處連續(xù)，且都等于0，(8.2.6)則微分性質(zhì)二利用Laplace變換的微分性質(zhì)求函數(shù)的Laplace變換．解：由于，則由式(8.2.2)有即移項化簡得例3微分性質(zhì)二例4利用微分性質(zhì)求的Laplace變換．解：

例5求函數(shù)的Laplace變換，其中是正整數(shù)．由于而，即解：

所以由(8.2.6)微分性質(zhì)二域微分(像函數(shù)的微分)性質(zhì)2由Laplace變換的存在定理，可以得到像函數(shù)的微分性質(zhì)：若，則(8.2.7)一般地，有(8.2.8)微分性質(zhì)二例6求函數(shù)的Laplace變換．解：

因為，根據(jù)上述像函數(shù)的微分性質(zhì)可知同理可得微分性質(zhì)二已知，求．解：由像函數(shù)的微分性質(zhì)例7當時，有．積分性質(zhì)三若，則(8.2.9)設(shè)，則由(8.2.2)式得證明重復(fù)應(yīng)用公式(8.2.9),可得(8.2.10)即積分性質(zhì)三例8求．解：因，此外，由Laplace變換存在定理可以得到像函數(shù)的積分性質(zhì)：若，則(8.2.11)或由(8.2.9)式積分性質(zhì)三它的證明留給讀者．(8.2.12)一般地，有求．解：因，在上式中，若令，可得我們熟知的積分公式上述方法，常用來計算某些積分．例9由式(8.2.11)可得平移性質(zhì)四時域平移1設(shè)()，當時，，則對于任由Laplace變換的定義，有，有(8.2.13)一非負實數(shù)

證明平移性質(zhì)四域平移2設(shè)()，則有平移性質(zhì)四由Laplace變換的定義，有由此看出，上式右端積分只是在中把換成，所以，有類似可得合起來便是證明平移性質(zhì)四求．解：

已知()，，由位移性質(zhì)可得()又由像函數(shù)的積分性質(zhì)得例5()相似性質(zhì)五設(shè)，則()()證