第三章 正弦交流電路及應用

第3章正弦交流電路及應用3.1正弦交流電的基本概念正弦交流電的相量表示法單一元件的正弦交流電路RLC交流電路的分析3.23.33.4RLC諧振電路的分析正弦交流電路中的功率及功率因數(shù)3.53.61.正弦交流電的變化規(guī)律正弦交流電路中電壓、電流和電動勢的大小和方向均隨時間按正弦規(guī)律變化，我們把按照正弦規(guī)律變化的電壓、電流和電動勢統(tǒng)稱為正弦量。如圖3-1（b）所示。除了正弦交流電之外，還有一些其他形式的交流電。如圖3-1（c）、（d）所示的電壓和電流分別為鋸齒波和方波，為非正弦周期交流電。3.1正弦交流電的基本概念

2.正弦交流電的產(chǎn)生如圖3.2所示是一個交流發(fā)電機的原理示意圖。在電磁鐵的兩極N和S之間放一個由硅鋼片疊成的圓柱體，稱為電樞鐵芯，在它上面固定著導體線圈，鐵芯和線圈合起來稱做電樞，電樞是繞著它的軸轉(zhuǎn)動的。鐵芯的一個作用是支承線圈，另一個作用是增加電樞表面的磁感應強度，并使磁力線的方向都和電樞表面相垂直。線圈的兩端分別接到兩個互相絕緣并和電樞固定在同一軸上的銅環(huán)上，這兩個銅環(huán)稱做集電環(huán)或滑環(huán)，再用電刷將集電環(huán)與外電路接通。當電樞被原動機（南方通常為水力發(fā)電，原動機為水輪機）拖動繞軸作勻速旋轉(zhuǎn)時，線圈就以一定的角速度w切割磁力線。根據(jù)電磁感應原理，線圈中將感應出隨時間按正弦規(guī)律變化的電壓。圖3.2交流發(fā)電機的簡單原理示意圖3.正弦交流電的表示方法正弦量的大小和方向隨時間按照正弦規(guī)律變化，其每一時刻的數(shù)值叫瞬時值，用小寫字母表示。正弦交流電路中的電壓、電流的表示方法有解析式、波形圖和相量圖等。如圖3.3（a）所示是正弦交流電流的一條支路，設電路中電壓和電流的參考方向為關聯(lián)參考方向，電路中的電壓和電流可分別用三種方法表示，以電流為例表示為：解析法：i=Imsin(ωt+φ)；式中ω為角頻率，

為初相。向量法：圖形法：就是正弦波的圖形，如圖3.3（b）。圖3.3交流電流的一條支路及其波形圖在指定了電流參考方向和計算時間的坐標原點O之后，就可畫出正弦電流的波形，稱為正弦波，如圖3.3（b）所示。橫坐標可定為ωt，也可定為時間t，依需要而定。圖上標出了t1時刻的瞬時值i（t1）以及其他一些特征量。當i為正時，表示該支路電流的實際方向與參考方向一致；當i為負時，表示電流的實際方向與參考方向相反。正弦量的電壓、電流的解析式為以正弦量電流為例：如果已知振幅、角頻率和初相位，則上述正弦量就能確定下來。通常把振幅、角頻率和初相角這三個量稱為正弦量的三要素。

一、正弦交流電的三要素1．頻率與周期正弦量完整變化一周所需的時間稱為周期，用字母T表示，單位是秒（s）。每秒內(nèi)變化的周數(shù)稱為頻率，用字母f表示，單位是赫茲（Hz）。頻率和周期的關系：我國工業(yè)用電的頻率為50Hz，又稱工頻。正弦量的角頻率用ω表示，單位是rad/s（弧度每秒）。從式中可以看出角頻率與頻率之間為2π的倍數(shù)關系。2．振幅和有效值（1）振幅（最大值）。正弦量在任一時刻的大小稱為瞬時值。瞬時值用小寫字母表示，如式（3-1-1）中u、i分別表示電壓和電流的瞬時值。交流電在變化過程中出現(xiàn)的最大瞬時值稱為最大值（或振幅值即振幅），用大寫字母加下標m表示，如上述解析式中的Um和Im。（2）有效值。在工程應用中常用有效值來表征正弦交流電的大小。正弦交流電的有效值就是在熱效應方面與其相等的直流電的數(shù)值。有效值用大寫字母表示，電壓和電流的有效值分別用U、I表示。下面討論有效值與最大值的關系。在圖3.4中有兩個相同的電阻R，其中一個電阻通以周期電流I，另一個電阻通以直流電流I，在一個周期內(nèi)電阻消耗的電能分別為：圖3.4交流電有效值示意圖如果兩電路消耗的電能相等，則式中I即為交流電流i的有效值，又稱為方均根值。當周期電流為正弦量時，設i=Imsinωt，則

經(jīng)過積分運算可得即正弦量的有效值是最大值（振幅）的

倍，即可見有效值小于最大值，是介于正弦量的最大值和零值之間的一個數(shù)值。在電工技術中，通常所說的交流電的大小指的是有效值，如交流電壓220V或380V等。常用的交流電壓表、交流電流表所測得的讀數(shù)是有效值，各種交流電氣設備銘牌標出的額定電壓、額定電流也都是指有效值。我國工業(yè)和民用交流電源電壓的有效值為220V、頻率為50Hz，通常將這一交流電壓簡稱為工頻電壓。【例3.1.1】

在如圖3.3所示的交流電路中，已知：交流電流①求它的振幅Im、頻率f、周期T及角頻率w。②求i第一次出現(xiàn)最大值的時刻t1、以及當解：①由正弦電流i的解析式可得i的振幅為Im＝100A角頻率為

w＝314rad/s頻率為周期為②當

時，i第一次出現(xiàn)正的最大值為在

時i的瞬時值為在t3＝15ms＝0.015s時i的瞬時值為由計算結(jié)果可知，電流瞬時值有正、負之分。當電路中設定的參考方向與實際方向一致時，瞬時值為正（波形在正半周），反之，瞬時值為負（波形在負半周）。

【例3.1.2】

用交流電壓表測得一交流電源的電壓為380V，求該電源的最大值。正弦電流i＝0.282sinwtA，求該電流的有效值。解：

電源電壓的最大值為【例3.1.3】

已知某正弦電壓的有效值是220V，頻率50赫茲，初相角ju為30°，試求最大值并寫出它的瞬時值表達式。解：

Um＝U＝×220＝311V u＝311sin（314t＋30°）V電流的有效值為3．相位、初相、相位差正弦電流解析式為i＝Imsin(

t+

i)其中

t+

i叫做相位角或相位，它反映了正弦量隨時間變化的進程，當相位角隨時間連續(xù)變化時，正弦量的瞬時值隨之變化。t=0時的相位

i叫做初相角（又稱為初相位或初相）。一般規(guī)定初相位

。假定兩個同頻率的正弦量u、i，則

u＝Umsin(

t+

u)i＝Imsin(

t+

i)它們的相位之差（稱為相位差）

ui為此式表明，兩個同頻率正弦量的相位之差就是兩個正弦量初相位之差，相位差與計時起點及時間t無關。我們只討論同頻率正弦量的相位差，不同頻率之間的相位差隨時變化，沒有意義。一般規(guī)定相位差相位差描述了兩個同頻率正弦量隨時間變化進程的差異，它能定量地判別哪一個正弦量先到達0值點，或者哪一個正弦量先到達最大值。以正弦電壓u和正弦電流i的相位差

為例，分析如圖3.5所示的四種情況。

【例3.1.4】

正弦電壓u1（t）和u2（t）分別如下式所示，兩個正弦量能否進行相位比較？u1＝U1msin（wt＋600）Vu2＝U2msin（2wt＋45°）V解：由于兩個正弦電壓的角頻率不同（u1的角頻率為w、u2的角頻率為2w），所以兩者不能比較相位差。如果以為相位差

＝600－450＝150而得出u1超前u2的結(jié)論，那是錯誤的?！纠?.1.5】

試比較u1和u2的相位差。已知u1＝5sin（314t－300）Vu2＝－3sin（314t＋300）V解：兩個交流電壓的角頻率w及函數(shù)形式（都是sin函數(shù)）都一致，可以進行比較，但在比較前首先要把u2的負號通過相位體現(xiàn)。若式中原初相位

＞0，就減去180°；若原初相位

＜0，就加上1800，則初相的絕對值小于等于1800，u2改寫為u2＝3sin（314t＋300－1800）V＝3sin（314t－1500）V可見表示u1超前u21200或u2滯后u11200。【例3.1.6】

已知試求哪一個電流滯后？滯后多少？解：按相位差計算，得i1超前i2的結(jié)論是不對的。因為我們已規(guī)定相位差相位差的絕對值

時，應按照處理，相位差，故正弦交流電（即正弦交流電壓、電流）可用解析式和波形圖來表示。它們是交流電的基本表示方法。但是這些方法不便于對電路中的正弦量進行分析計算，為了方便對電路中的正弦量進行分析計算，常用復數(shù)表示相對應的正弦量，稱作正弦量的相量表示法。為了與一般的復數(shù)相區(qū)別，在大寫字母上加一黑點，如

。下面先簡要復習有關數(shù)學知識。1．復數(shù)的表示法如圖3.6所示的直角坐標系，橫軸為實軸，以＋1為單位，縱軸為虛軸，以j（

稱為虛數(shù)單位）為單位。由實軸和虛軸構成的平面稱為復平面。復平面中有一相量（有向線段）

，它在實軸上的投影即為實部a，表示復數(shù)的實部，虛軸上的投影即為虛部b，則相量

的復數(shù)形式有如下幾種。（１）代數(shù)形式圖3.6復平面上的相量3.2正弦交流電的相量表示法

一、復數(shù)（２）三角函數(shù)式（３）指數(shù)形式根據(jù)歐拉公式（4）極坐標式極坐標式是復數(shù)指數(shù)式的簡寫：今后利用相量法對正弦穩(wěn)態(tài)電路進行分析和計算時，常常需要在代數(shù)形式和極坐標形式之間進行轉(zhuǎn)換。轉(zhuǎn)換時需注意，相量的模永遠為正值，輻角取值根據(jù)復數(shù)在復平面上的象限而定。2．復數(shù)的四則運算以下介紹復數(shù)的四則運算。（1）加減運算。幾個復數(shù)相加或相減，就是把它們的實部和虛部分別相加或相減。先將復數(shù)化成代數(shù)形式再進行加、減運算。復數(shù)的加減運算也可在復平面上用平行四邊形法則作圖完成。如圖3.7所示。（2）乘法運算圖3.7復數(shù)的加減運算復數(shù)相乘除的幾何意義，如圖3.8所示。圖3.8復數(shù)的乘除運算

為了便于分析計算正弦交流電路，用一個復平面上的相量對應地表示正弦量，相量的模表示正弦量的最大值或有效值，該相量與正向?qū)嵼S間的夾角表示正弦量的初相位j，用大寫字母頭上加黑點表示。圖3.10電流的最大值相量和有效值相量二、正弦量的相量表示法將一些相同頻率的正弦量的相量畫在同一復平面上所構成的圖形稱為相量圖?？蛇x擇某一相量作為參考相量先畫出，參考正弦量相量的輻角為0°，又稱為參考相量，再根據(jù)其它正弦量與參考正弦量的相位差畫出其它相量。不同頻率的正弦量的相量不能畫在同一個復平面上，注意：①今后若無特別說明，凡相量均指有效值相量。

②相量只是用復數(shù)的形式表達了一個正弦量，它不等于正弦量。圖3.11相量圖用相量圖表示正弦交流量時，應明確以下幾點。（1）只有正弦量才能用相量來表示。相量不能表示非正弦量。（2）正弦量是隨時間交變的量，它不是矢量。相量僅是一種正弦量的表示方法，相量不等于正弦量。（3）只有同頻率的正弦量才能畫在同一相量圖上。同頻率的交流電在任何瞬間的相位差不變。在相量圖中，它們之間的相對位置不變，從而能在同一相量圖上分析同頻率各正弦量間的關系，并能用平行四邊形法則對交流電流或電壓進行加、減運算。圖3.12例3.2.5相量圖在正弦交流電路中，一般都含有電阻R、電感L、電容C三個元件（理想元件），各種實際電路不外乎三個元件的不同組合，因此，掌握這三個元件在正弦交流電路中的電壓與電流關系、能量的轉(zhuǎn)換及功率，是分析各種正弦交流電路的基礎。在正弦交流電路中，各電流和電壓都是與電源同頻率的正弦量，將這些正弦量分別用相量來表示，則直流電路中所學習的定律、定理和公式等，可以表示為對應的相量形式。基爾荷夫定律的相量形式為

即第一章和第二章介紹的直流電路的分析計算方法，在正弦交流電路中同樣適用，所不同的是，正弦交流電路中的電壓和電流以相量形式來表示。3.3單一元件的正弦交流電路1．電阻元件的伏安關系當電阻元件上的電壓u與電流i取關聯(lián)參考方向時，如圖3.14（a）所示。電阻兩端的電壓與通過的電流成正比，即電阻元件相量模型如圖3.14（b）所示。圖3.14電阻元件電路相量模型圖3.15電阻元件的電流、電壓相量圖和波形圖二、純電阻元件的正弦交流電路②平均功率（有功功率）。由于電阻元件上消耗的瞬時功率隨時間變動，不便用來衡量元件消耗功率的大小，電工技術中常采用平均功率（有功功率）來計量。在交流電氣設備上所標的額定功率指的就是平均功率。平均功率亦稱有功功率。以后討論時，若不加特殊說明，交流電路中的功率均指有功功率。瞬時功率在一周期內(nèi)的平均值，就是平均功率，用大寫字母P表示。電阻元件上的平均功率為：上式表明，電阻元件交流電路的平均功率等于電壓與電流有效值的乘積，它和直流電路中計算功率的公式具有相同的形式，在國際單位制中單位是瓦特（W），實際使用時也用較大的單位千瓦（kW）。1．電感元件上電壓與電流的相量關系將電感元件接入正弦交流電路，并設定u、i的參考方向，如圖3.17（a）所示。若流過電感元件的電流i＝Imsinwt，則電感元件兩端的電壓為圖3.17電感元件電路圖、波形圖與相量圖二、純電感元件的正弦交流電路2．電感元件的功率①瞬時功率（即時功率）。當uL與i在關聯(lián)參考方向下，其瞬時功率為如圖3.17（d）所示為電感元件的平均功率波形圖。由圖可見，在Ⅰ及III個1/4周期內(nèi)，uL和i同為正值或同為負值，故瞬時功率pL為正值，這期間電流增大，說明電感從電源吸收電功率，并把電能轉(zhuǎn)換為磁場能量存在線圈的磁場中。在II和Ⅳ個1/4

周期內(nèi)，uL和i為一正一負，pL為負值。這期間電流減小，磁場能量隨之減小，說明電感元件在此期間釋放能量，將磁能轉(zhuǎn)換為電能送還給電源。由此可見，純電感元件（理想元件）在電路中并不消耗能量，而是和電源不斷地進行能量交換，這是一個可逆的能量轉(zhuǎn)換過程。由上式可知，電感元件不消耗功率，是儲能元件。③無功功率。電感元件在交流電路中雖然不消耗能量，但在儲能、放能過程中與電源之間不斷地進行著能量互換。我們規(guī)定將即時功率pL的最大值稱為無功功率，用來衡量能量交換的規(guī)模。為了區(qū)別于耗能元件R的有功功率，故用大寫字母QL表示，即在法定計量單位中，無功功率的單位用乏（var）或千乏（kvar）來計量。1．電容元件相量形式的伏安關系純電容元件的交流電路如圖3.18（a）所示，uC、i的參考方向如圖中所示。設電容兩端的電壓uC＝UCmsinwt，則流過電容中的電流為圖3.18電容元件電路圖、波形圖與相量圖三、純電容元件的正弦交流電路由uC和i的解析式可得到它們的波形圖及相量圖，如圖3.18（b）、（c）所示。具有電容元件的交流電路uC和i是同頻率的正弦量，它們之間有如下關系。①在相位上，電流超前于電壓90°或者說電壓滯后于電流90°。

②在大小上，電壓和電流在幅值或有效值之間的關系為②平均功率。許多實際電路是由兩個或三個不同參數(shù)的元件組成，如電動機、繼電器等設備都含有線圈，而線圈的電阻往往不可忽略；又如一些電子設備，放大器、信號源等的電路內(nèi)含有電阻、電容或電感等元件。所以分析含有三種參數(shù)的交流電路具有實際意義。3.4RLC交流電路的分析一、RLC串聯(lián)交流電路的分析根據(jù)阻抗的定義，有圖3.21電壓三角形、阻抗三角形圖3.22R-L-C串聯(lián)電路相量圖【例3.4.2】RLC串聯(lián)電路如圖3.20（a）所示。已知：R＝5kW、L＝6mH、C＝0.001mF、u＝5sin106tV。（1）求電流i和各元件上的電壓，并畫出相量圖；（2）當角頻率變?yōu)閣＝2×105rad/s時，電路的性質(zhì)有無改變。解：（1）按相量法的3個步驟求解。①寫出已知正弦量的相量圖3.24例3.4.8相量圖 R、L、C并聯(lián)電路如圖3.25（a）所示，如圖3.25（b）所示為其相量模型，電路中電流和電壓用相量表示，電阻、電感、電容分別用阻抗表示。

二、RLC并聯(lián)交流電路的分析

所謂諧振就是在含有電感、電容和電阻的電路中，在某些工作頻率上出現(xiàn)端口電壓和電流同相