高一數(shù)學(xué)《直線與平面垂直》

直線與平面垂直1.直線和平面垂直的定義

如果一條直線和平面

內(nèi)任一條直線都垂直,則稱直線和平面

垂直.記作l⊥

P

如果一條直線和平面

內(nèi)任一條直線都垂直,則稱直線和平面

垂直.記作l⊥

l1.直線和平面垂直的定義畫(huà)法：

Pl稱為平面

的垂線

如果一條直線和平面

內(nèi)任一條直線都垂直,則稱直線和平面

垂直.記作l⊥

l1.直線和平面垂直的定義畫(huà)法：

P

稱為直線l的垂面l稱為平面

的垂線

如果一條直線和平面

內(nèi)任一條直線都垂直,則稱直線和平面

垂直.記作l⊥

l畫(huà)法：1.直線和平面垂直的定義

P

稱為直線l的垂面l稱為平面

的垂線垂足

如果一條直線和平面

內(nèi)任一條直線都垂直,則稱直線和平面

垂直.記作l⊥

l畫(huà)法：1.直線和平面垂直的定義

畫(huà)法：畫(huà)直線和平面垂直時(shí)，

通常要把直線畫(huà)成和表示平面的平

行四邊形的一邊垂直.

畫(huà)法：畫(huà)直線和平面垂直時(shí)，

通常要把直線畫(huà)成和表示平面的平

行四邊形的一邊垂直.說(shuō)明：(1)“任何”表示所有；

若直線與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線

垂直，則直線垂直于平面嗎？若不

是，直線與平面的位置關(guān)系如何？

(2)直線與平面垂直是直線與平

面相交的一種特殊情況，在垂直時(shí)，

直線與平面的交點(diǎn)叫做垂足；

(2)直線與平面垂直是直線與平

面相交的一種特殊情況，在垂直時(shí)，

直線與平面的交點(diǎn)叫做垂足；

(3)a⊥

等價(jià)于對(duì)

內(nèi)的任意直

線m都有a⊥m.2.直線和平面垂直的判定

定理如果一條直線和平面的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面.

已知:

m、n是

平面內(nèi)的兩條相交

直線，l∩

=B，

且l⊥m，l⊥n.

求證：l⊥

定理如果一條直線和平面的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面.2.直線和平面垂直的判定

已知:

m、n是

平面內(nèi)的兩條相交

直線，l∩

=B，

且l⊥m，l⊥n.

求證：l⊥

定理如果一條直線和平面的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面.B

nml2.直線和平面垂直的判定講解范例講解范例[例1]

求證：如果兩條平行線中一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.講解范例

ab[例1]

求證：如果兩條平行線中一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.

abm[證明]

設(shè)m是

內(nèi)的任意一條直線.課堂練習(xí)課堂練習(xí)1.填空題：

(1)過(guò)直線外一點(diǎn)作直線的垂線有

____條；垂面有____個(gè)；平行線有___

_條；平行平面有____個(gè).(2)過(guò)平面外一點(diǎn)作該平面的垂線

有____條；垂面有____個(gè)；平行線有_

___條；平行平面有____個(gè).2.空間中下列哪些命題是正確的()①垂直于同一直線的兩條直線互相平行②垂直于同一直線的兩個(gè)平面互相平行③垂直于同一平面的兩條直線互相平行例2如圖，AB是圓O的直徑，PA垂直于圓O所在平面，M是圓周上異于A、B的一點(diǎn)，AN⊥PM，垂足為N.求證：AN⊥平面PBM.

如圖，正方體棱長(zhǎng)為1，說(shuō)明：

(1)直線AC和B1D1的距離；(2)直線

B1D1和平面AC的

距離；(3)平面

B1D1和平面AC

的距離.

如圖，正方體棱長(zhǎng)為1，說(shuō)明：

(1)直線AC和B1D1的距離；(2)直線

B1D1和平面AC的

距離；(3)平面

B1D1和平面AC

的距離.ABCDA1D1B1C11.平面的斜線的定義 一條直線與一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線與平面的交點(diǎn)叫做斜足。斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫做這個(gè)點(diǎn)到平面的斜線段。

Al畫(huà)法：1.平面的斜線的定義 一條直線與一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線與平面的交點(diǎn)叫做斜足。斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫做這個(gè)點(diǎn)到平面的斜線段。

Al稱為平面

的斜線l畫(huà)法：1.平面的斜線的定義 一條直線與一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線與平面的交點(diǎn)叫做斜足。斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫做這個(gè)點(diǎn)到平面的斜線段。

Al稱為平面

的斜線斜足l畫(huà)法：1.平面的斜線的定義 一條直線與一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線與平面的交點(diǎn)叫做斜足。斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫做這個(gè)點(diǎn)到平面的斜線段。

過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影。

l

過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影。AO畫(huà)法：

斜足l垂足

過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過(guò)垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影。AO畫(huà)法：

PlOA2.線面角的定義 平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。

問(wèn)題1.線面角何時(shí)為90?？ 問(wèn)題2.線面角的范圍？AVBCK練習(xí)：

如圖,在三棱錐V-ABC中,

VA＝VC,AB＝BC,K是AC的中點(diǎn)。求證：AC⊥平面VKB．

⑴若E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，試判斷EF與平面VKB的位置關(guān)系．

AVBCEFK變式：⑵在⑴的條件下，有人說(shuō)“VB⊥AC，VB⊥EF，VB⊥平面ABC”，對(duì)嗎？A1B1C1D1ABCDO例2在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求直線A1B和平面A1B1CD所成的角.分析：找出直線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，就可以求出A1B和平面A1B1CD所成的角關(guān)鍵就是如何作出平面A1B1CD的垂線解：連結(jié)BC1交B1C于點(diǎn)O，連結(jié)A1O，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，∵A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，∴A1B1⊥平面BCC1B1∴A1B1⊥BC1又∵BC1⊥B1C，∴BC1⊥平面A1B1CD∴A1O為斜線A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影，∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角.一作二證三計(jì)算OABCDA1C1D1B1在Rt△A1BO中，A1B=aBO=a所以BO=A1B∠BAO=30°因此，直線A1B和平面A1B1CD所成的角為30°例3

已知：正方體中，AC是面對(duì)角線，BD’是與AC

異面的體對(duì)角線。求證：AC⊥BD’ABDCA′B′CD′′證明：連接BD