li平面及其方程

第六節(jié)平面及其方程一、平面的點(diǎn)法式方程二、平面的一般方程三、平面的截距式方程五、點(diǎn)到平面的距離四、兩平面的夾角◆法線向量◆法線向量的特征：垂直于平面內(nèi)的任一向量．一、平面的點(diǎn)法式方程垂直于平面的非零向量．必有◆問題：解：（簡稱為法向量）:-------點(diǎn)法式方程◆可以看出:必有解：例1解

過點(diǎn)M0(x0,y0,z0)且法線向量為n=(A,B,C)的平面的方程為

A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0.

所求平面的方程為

3(x

3)

7(y

0)

5(z

1)

0

即3x

7y

5z

4

0

例2求過點(diǎn)(3

0

1)且與平面3x

7y

5z

12

0平行的平面方程

解

所求平面的法線向量為n

(3

7

5)

平面的點(diǎn)法式方程

例3.求過三點(diǎn)即解:

取該平面

的法向量為的平面

的方程.利用點(diǎn)法式得平面

的方程此平面的三點(diǎn)式方程也可寫成一般情況:過三點(diǎn)的平面方程為說明:所求平面的一個(gè)法向量為即由點(diǎn)法式方程，得解二、平面的一般方程設(shè)有三元一次方程以上兩式相減,得平面的點(diǎn)法式方程此方程稱為平面的一般任取一組滿足上述方程的數(shù)則顯然方程②與此點(diǎn)法式方程等價(jià),

②的平面,因此方程②的圖形是法向量為方程.特殊情形?當(dāng)D=0時(shí),Ax+By+Cz=0表示通過原點(diǎn)的平面;?當(dāng)A=0時(shí),By+Cz+D=0的法向量平面平行于

x

軸;?

Ax+Cz+D=0表示?

Ax+By+D=0表示?

Cz+D=0表示?Ax+D=0表示?

By+D=0表示平行于y

軸的平面;平行于z

軸的平面;平行于xoy

面的平面;平行于yoz

面的平面；平行于zox

面的平面.例1.

求通過x軸和點(diǎn)(4,–3,–1)的平面方程.解:因平面通過x軸,設(shè)所求平面方程為代入已知點(diǎn)得化簡,得所求平面方程解所以設(shè)平面方程為：所求平面平行于軸，可知將已知兩點(diǎn)代入得當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為此式稱為平面的截距式方程.時(shí),平面方程為三.平面的截距式方程.分析1:利用三點(diǎn)式按第一行展開得即設(shè)平面為將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得解將代入所設(shè)方程得平面的截距式方程四、兩平面的夾角設(shè)平面∏1的法向量為

平面∏2的法向量為則兩平面夾角

的余弦為即兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角.特別有下列結(jié)論：

例1

求平面

2x

2y

z

5

0與各坐標(biāo)面的夾角.平面A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0夾角的余弦:此平面的法線向量為n

(2

2

1)

解

平面與yOz面的夾角的余弦為

平面與zOx面的夾角的余弦為

因此有例2.

一平面通過兩點(diǎn)垂直于平面∏:x+y+z=0,

求其方程.解:

設(shè)所求平面的法向量為即的法向量約去C,得即和則所求平面故方程為且外一點(diǎn),求設(shè)解:設(shè)平面法向量為在平面上取一點(diǎn)是平面到平面的距離d.,則P0

到平面的距離為五.點(diǎn)到平面的距離公式(點(diǎn)到平面的距離公式)

例1求點(diǎn)(1

2

1)到平面x

2y

2z

10

0的距離.點(diǎn)P0(x0,y0,z0)到平面Ax+By+Cz+D=0距離:

解:

222000||CBADCzByAxd+++++=.

點(diǎn)(1

2

1)到平面x

2y

2z

10

0的距離為

例2.解:

設(shè)球心為求內(nèi)切于平面x+y+z=1

與三個(gè)坐標(biāo)面所構(gòu)成則它位于第一卦限,且因此所求球面方程為四面體的球面方程.從而內(nèi)容小結(jié)1.平面基本方程:一般式點(diǎn)法式截距式三點(diǎn)式2.平面與平面之間的關(guān)系平面平面垂直:平行:夾角