專題01有理數(shù)的分類數(shù)軸相反數(shù)及絕對(duì)值（知識(shí)大串講）（原卷版）

專題01有理數(shù)的分類、數(shù)軸、相反數(shù)及絕對(duì)值（知識(shí)大串講）【知識(shí)點(diǎn)梳理】考點(diǎn)1正數(shù)和負(fù)數(shù)概念正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。負(fù)數(shù)：在正數(shù)前面加上負(fù)號(hào)“—”的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。注：0既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線，是整數(shù)，自然數(shù)，有理數(shù)。（不是帶“—”號(hào)的數(shù)都是負(fù)數(shù)，而是在正數(shù)前加“—”的數(shù)。）2.意義：在同一個(gè)問題上，用正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量。考點(diǎn)2有理數(shù)概念整數(shù)：正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱分?jǐn)?shù)。（有限小數(shù)與無(wú)限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。）注：正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負(fù)整數(shù)，負(fù)整數(shù)和零統(tǒng)稱為非正整數(shù)。2.分類：兩種⑴按正、負(fù)性質(zhì)分類：⑵按整數(shù)、分?jǐn)?shù)分類：正有理數(shù)正整數(shù)正整數(shù)有理數(shù)正分?jǐn)?shù)整數(shù)0零有理數(shù)負(fù)整數(shù)負(fù)有理數(shù)負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)考點(diǎn)3數(shù)軸1.概念：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。三要素：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度2.對(duì)應(yīng)關(guān)系：數(shù)軸上的點(diǎn)和有理數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的。比較大?。涸跀?shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。3.應(yīng)用求兩點(diǎn)之間的距離：兩點(diǎn)在原點(diǎn)的同側(cè)作減法，在原點(diǎn)的兩側(cè)作加法。（注意不帶“+”“—”號(hào)）考點(diǎn)4相反數(shù)1.概念代數(shù)：只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做相反數(shù)。（0的相反數(shù)是0）幾何：在數(shù)軸上，離原點(diǎn)的距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)叫做相反數(shù)。2.性質(zhì)：若a與b互為相反數(shù)，則a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，則a與b互為相反數(shù)。兩個(gè)符號(hào)：符號(hào)相同是正數(shù)，符號(hào)不同是負(fù)數(shù)。3.多重符號(hào)的化簡(jiǎn)多個(gè)符號(hào)：三個(gè)或三個(gè)以上的符號(hào)的化簡(jiǎn)，看負(fù)號(hào)的個(gè)數(shù)（注意：當(dāng)“—”號(hào)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)個(gè)時(shí)，結(jié)果取正號(hào)當(dāng)“—”號(hào)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)個(gè)時(shí)，結(jié)果取負(fù)號(hào)）考點(diǎn)5絕對(duì)值1.幾何意義：一般地，數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值。一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它的本身（若|a|＝|b|，則a＝b或a＝﹣b）2.代數(shù)意義一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)0的絕對(duì)值是03.代數(shù)符號(hào)意義：a＞0，|a|=a反之，|a|＝a，則a≥0，|a|＝﹣a，則a≦0a=0，|a|=0a＜0，|a|=‐a注：非負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它本身，非正數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)。4.性質(zhì)：絕對(duì)值是a(a＞0)的數(shù)有2個(gè)，他們互為相反數(shù)。即±a。5.非負(fù)性：任意一個(gè)有理數(shù)的絕對(duì)值都大于等于零，即|a|≥0。幾個(gè)非負(fù)數(shù)之和等于0，則每個(gè)非負(fù)數(shù)都等于0。故若|a|＋|b|＝0，則a＝0，b＝01.數(shù)軸比較法：在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。6.比較大小2.代數(shù)比較法：正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小時(shí)，絕對(duì)值大的反而小?！镜淅治觥俊究键c(diǎn)1正數(shù)和負(fù)數(shù)】【典例1】（2022春?崇明區(qū)校級(jí)期中）如果規(guī)定收入為正，支出為負(fù)，收入3元記作3元，那么支出8元記作（）A．5元 B．﹣11元 C．11元 D．﹣8元【變式1-1】（2022春?信都區(qū)期中）如果支出30元記作﹣30元，那么收入100元記作（）A．100元 B．70元 C．﹣100元 D．﹣130元【變式1-2】（2022春?龍鳳區(qū)期中）在體育課的立定跳遠(yuǎn)測(cè)試中，以2.00m為標(biāo)準(zhǔn)，若小明跳出了2.35m，可記作+0.35m，則小亮跳出了1.85m，應(yīng)記作（）A．+0.15m B．﹣0.15m C．+0.35m D．﹣0.35m【變式1-3】（2021秋?開封期末）如圖，檢測(cè)排球的質(zhì)量，其中質(zhì)量超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的克數(shù)記為正數(shù)，不足的克數(shù)記為負(fù)數(shù)，下面已檢測(cè)的四個(gè)排球中其中質(zhì)量最接近標(biāo)準(zhǔn)的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)2有理數(shù)】【典例2】（2021秋?讓胡路區(qū)校級(jí)期末）把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合中：+6，0.75，﹣3，0，﹣1.2，+8，，﹣，9%，π，﹣0.2020020002…（每相鄰兩個(gè)2之間0的個(gè)數(shù)逐次加1）．正分?jǐn)?shù)集合：{…}；正整數(shù)集合：{…}；整數(shù)集合：{…}；有理數(shù)集合：{…}．【變式2-1】（2021秋?臺(tái)江區(qū)校級(jí)期末）在一組數(shù)3.14，0，﹣（﹣3），﹣π，，3.2121121112…，﹣5中，非負(fù)整數(shù)有（）個(gè)．A．1 B．2 C．3 D．4【變式2-2】（2022春?樂平市期中）在四個(gè)負(fù)數(shù)：﹣3，﹣1，﹣4，﹣6中，最小的是（）A．﹣1 B．﹣6 C．﹣3 D．﹣4【考點(diǎn)3數(shù)軸】【典例3】（2021秋?唐縣期末）如圖是一些同學(xué)在作業(yè)中所畫的數(shù)軸，其中，畫圖正確的是（）A． B． C． D．【變式3】（2022春?南崗區(qū)校級(jí)期中）一名同學(xué)畫了四條數(shù)軸，只有一個(gè)正確，你認(rèn)為正確的是（）A． B． C． D．【典例4】（2021秋?鹿邑縣期末）在數(shù)軸上，到表示﹣6的點(diǎn)的距離等于6個(gè)單位長(zhǎng)度的點(diǎn)表示的數(shù)是（）A．12 B．﹣12 C．0或﹣12 D．﹣12或12【變式4-1】（2021秋?天津期末）在數(shù)軸上，A，B兩點(diǎn)之間的距離是5，若點(diǎn)A表示的數(shù)是2，則點(diǎn)B表示的數(shù)是．【變式4-2】（2021秋?綿竹市期末）數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是﹣3，將點(diǎn)A在數(shù)軸上平移7個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)B．則點(diǎn)B表示的數(shù)是（）A．4 B．﹣4或10 C．﹣10 D．4或﹣10【典例5】（2022春?鄖陽(yáng)區(qū)期中）如圖所示，直徑為單位1的圓從表示﹣1的點(diǎn)沿著數(shù)軸無(wú)滑動(dòng)的向右滾動(dòng)一周到達(dá)A點(diǎn)，則A點(diǎn)表示的數(shù)是．【變式5-1】（2022春?長(zhǎng)豐縣期末）如圖，圓的直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度，該圓上的點(diǎn)A與數(shù)軸上表示1的點(diǎn)重合，將該圓沿?cái)?shù)軸向左滾動(dòng)1周，點(diǎn)A到達(dá)A′的位置，則點(diǎn)A′表示的數(shù)是（）A．π﹣1 B．﹣π+1 C．﹣π﹣1 D．π﹣1或﹣π﹣1【變式5-2】（2022春?洛陽(yáng)期中）如圖，圓的直徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度，該圓上的點(diǎn)A與數(shù)軸上表示﹣1的點(diǎn)重合．將圓沿?cái)?shù)軸滾動(dòng)1周，點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B的位置，則點(diǎn)B表示的數(shù)是（）A．π﹣1 B．﹣π﹣1 C．﹣π+1 D．π﹣1或﹣π﹣1【考點(diǎn)4相反數(shù)】【典例6】（2022春?南崗區(qū)校級(jí)期中）下列各對(duì)數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）A．﹣（﹣2）和2 B．4和﹣（+4） C．和﹣3 D．5和|﹣5|【變式6-1】（2022春?寧遠(yuǎn)縣期中）的相反數(shù)是（）A．2022 B．﹣2022 C． D．【變式6-2】（2020秋?肅州區(qū)期末）﹣（+2）的相反數(shù)是（）A．2 B． C．﹣ D．﹣2【變式6-3】（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)二模）π﹣1的相反數(shù)是．【典例7】（2021秋?閩侯縣期中）當(dāng)x＝時(shí)，1﹣2x與x互為相反數(shù)．【變式7】（2021秋?吉林期中）若a、b互為相反數(shù)，則a+（b﹣4）的值為．【考點(diǎn)5絕對(duì)值】【典例8】（2022春?倉(cāng)山區(qū)校級(jí)期中）|﹣2022|的值（）A． B．2022 C． D．﹣2022【變式8-1】（2022春?河源期中）若|x|＝﹣x，則x一定是（）A．零 B．負(fù)數(shù) C．非負(fù)數(shù) D．負(fù)數(shù)或零【變式8-2】（2022春?海淀區(qū)校級(jí)期中）﹣5的絕對(duì)值是（）A．5 B．﹣5 C． D．﹣【典例9】（2022春?普陀區(qū)校級(jí)期中）若|a|＝2，|b|＝6，a＞0＞b，則a+b＝．【變式9-1】（2021秋?思明區(qū)校級(jí)期末）若|x|＝5，|y|＝2且x＜0，y＞0，則x+y＝（）A．7 B．﹣7 C．3 D．﹣3【變式9-2】（2021秋?隴縣期末）已知|x|＝4，|y|＝5且x＞y，則2x﹣y的值為（）A．﹣13 B．+13 C．﹣3或+13 D．+3或﹣13【典例10】（2021秋?河?xùn)|區(qū)校級(jí)期末）若ab≠0，那么+的取值不可能是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【變式10】（2022春?東鄉(xiāng)區(qū)期中）如果a?b＜0，那么＝．【典例11】（2021秋?九龍縣期末）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖：（1）判斷正負(fù)，用“＞”或“＜”填空：b﹣c0，b﹣a0，c﹣a0．（2）化簡(jiǎn)：|b﹣c|+|b﹣a|﹣|c﹣a|．【變式11-1】（2022春?賓陽(yáng)縣期中）已知a，b兩數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡(jiǎn)代數(shù)式|a+b|﹣|a﹣1|﹣|b﹣2|的結(jié)果是（）A．1 B．2b﹣1 C．2a﹣3 D．﹣1【變式11-2】（2021秋?唐山期末）有理數(shù)a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖，（1）判斷正負(fù)，用“＞”或“＜”填空：c﹣b0，a+b0，a﹣c0．（2）化簡(jiǎn)：|c﹣b|+|a+b|﹣2|a﹣c|．【考點(diǎn)6有理數(shù)的大小比較】【典例12】（2022春?普陀區(qū)校級(jí)期中）比較大?。憨仼仯ㄌ睢埃肌被颉埃尽被颉埃健保咀兪?2-1】（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）比較大?。憨亅﹣|