《高職應(yīng)用數(shù)學(xué)》教案 第37課 微分方程的基本概念

第37課微分方程的基本概念課題微分方程的基本概念課時2課時（90min）教學(xué)目標(biāo)知識技能目標(biāo)：1．掌握微分方程的定義2．理解微分方程的階和解的概念3．掌握解微分方程的步驟思政育人目標(biāo)：通過介紹微分方程發(fā)展簡史，使學(xué)生體會歷代數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)科學(xué)孜孜不倦的探索精神，培養(yǎng)學(xué)生勇于鉆研的科學(xué)精神；引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨立思考和深度思考的良好習(xí)慣；培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力教學(xué)重難點教學(xué)重點：微分方程的概念教學(xué)難點：求微分方程的通解教學(xué)方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計第一節(jié)課：課前任務(wù)→考勤（2min）→閱讀導(dǎo)入（10min）→講授新課（33min）第二節(jié)課：講授新課（22min）→課堂測驗（10min）→課堂指導(dǎo)（10min）→課堂小結(jié)（3min）→課后拓展教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計意圖第一節(jié)課課前任務(wù)【教師】和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，布置課前任務(wù)，提醒同學(xué)做完作業(yè)，在指定時間內(nèi)交齊【學(xué)生】做完作業(yè)，在指定時間內(nèi)交齊【教師】通過文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)軟件，布置課前問答題：（1）微分方程是什么？（2）如何利用微分方程解決實際問題？【學(xué)生】查找資料，預(yù)習(xí)教材通過課前的預(yù)熱，讓學(xué)生了解所學(xué)科目的大概方向，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望考勤（2min）【教師】清點上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報請假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況閱讀導(dǎo)入（10min）【教師】講述《微分方程發(fā)展簡史》【學(xué)生】聆聽、思考通過閱讀資料，吸引學(xué)生關(guān)注，調(diào)動學(xué)生的主觀能動性講授新課（33min）【教師】通過一個引例使學(xué)生了解微分方程的作用先看一個實例．例一曲線上任意一點處的切線斜率等于，且該曲線通過點，求該曲線的方程．例解設(shè)所求曲線為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，滿足關(guān)系式．（7-1）又因曲線經(jīng)過點，故所求曲線應(yīng)滿足．（7-2）對式（7-1）兩邊積分，得．（7-3）把條件（7-2）代入式（7-3），得．將代入式（7-3）得所求方程為．（7-4）可以看出，解決此問題的方法為首先建立一個含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程，然后通過此方程求出滿足所給附加條件的未知函數(shù)．【教師】講解微分方程的定義表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及自變量之間關(guān)系的方程稱為微分方程．例如，，等都是微分方程．這里必須指出，在微分方程中，自變量及未知函數(shù)可以不出現(xiàn)，但未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)必須出現(xiàn)．未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程稱為常微分方程．未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程稱為偏微分方程．本章我們只介紹常微分方程的有關(guān)知識，故本章所述的微分方程都是指常微分方程．【教師】講解微分方程的階的概念，以及各階微分方程的一般形式一般地，一階微分方程的一般形式為或，二階微分方程的一般形式為或，階微分方程的一般形式為或．【學(xué)生】了解微分方程的作用，理解微分方程的基本概念，了解微分方程的類型，理解微分方程的階的概念，掌握各階微分方程的一般形式學(xué)習(xí)微分方程的基本概念、微分方程的階的概念，以及各階微分方程的一般形式。邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實現(xiàn)教學(xué)做一體化第二節(jié)課講授新課（22min）【教師】講解微分方程的解（通解、特解、初始條件），介紹利用微分方程解決實際問題的大致步驟在引例中將式（7-1）中的未知函數(shù)用已知函數(shù)代替，則式（7-1）成為恒等式，我們可把稱為式（7-1）的一個解．定義若函數(shù)滿足一個微分方程，則稱它是該微分方程的解．求微分方程的解的過程，稱為解微分方程．圖7-1微分方程的解可以是顯函數(shù)，也可以是隱函數(shù)．圖7-1若微分方程的解中含有相互獨立的任意常數(shù)，并且任意常數(shù)的個數(shù)等于該微分方程的階數(shù)，則這個解稱為該微分方程的通解．例如，引例中式（7-3）是方程的通解，如圖7-1所示．通解中的任意常數(shù)根據(jù)某些條件確定下來后，對應(yīng)的解稱為該微分方程的一個特解．用于確定通解中任意常數(shù)的條件稱為初始條件．例如，引例中式（7-4）是方程滿足初始條件的特解，如圖7-1所示．從幾何上說，微分方程通解的圖形是一族曲線，即積分曲線族，而微分方程的特解是積分曲線族的一條積分曲線．利用微分方程解決實際問題時，步驟大致如下：第一步：分析問題，建立微分方程，并列出初始條件；第二步：求微分方程的通解；第三步：利用初始條件，確定通解中的任意常數(shù)，從而解出微分方程的特解．【學(xué)生】理解微分方程的解的定義，掌握利用微分方程解決實際問題的大致步驟學(xué)習(xí)微分方程的解的相關(guān)知識。邊做邊講，及時鞏固練習(xí)，實現(xiàn)教學(xué)做一體化課堂測驗（10min）?教師在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學(xué)生加入測試?！窘處煛繌慕滩呐涮最}庫中選擇幾道題目，測試一下大家的學(xué)習(xí)情況【學(xué)生】做測試題目通過測試，了解學(xué)生對知識點的掌握情況，加深學(xué)生對本節(jié)課知識的印象課堂指導(dǎo)（10min）?選出優(yōu)秀學(xué)生帶動、指導(dǎo)其他同學(xué)掌握知識點【教師】公布題目的正確答案，讓答題快且正確的同學(xué)上臺解答，為同學(xué)們做示范。如果題目比較難，無人答對則老師示范【學(xué)生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧以學(xué)生為主體，針對學(xué)生接受能力的差異性，讓優(yōu)秀學(xué)生帶動其他學(xué)生掌握知識點課堂小結(jié)（3min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點本節(jié)課上大家掌握了微分方程的定義，理解了微分方程的階和解的概念，掌握了解微分方程的步驟，課后要多加練習(xí)，鞏固認(rèn)知【學(xué)生】總結(jié)回顧知識點【教師】布置課后作業(yè)：習(xí)題7-1總結(jié)知識點，鞏固印象課后拓展【教師】在文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)平臺上共享本節(jié)課知識相關(guān)的學(xué)習(xí)鏈接【學(xué)生】登錄文旌課堂APP或