第四章 空間問題的基本理論

第四章

空間問題的基本理論

空間問題的數(shù)學描述

已知的幾何參數(shù)和載荷（表面力和體積力），一般都與三個坐標參數(shù)x、y、z有關；

15個未知函數(shù)——6個應力分量：

6個應變分量，三個位移分量：

u、v、w，一般都是三個坐標參數(shù)x、y、z的函數(shù)；基本方程式是三維的，但若某一方向變化規(guī)律為已知時，維數(shù)可相應減少。

分析空間問題時，仍然要從三個方面來考慮：靜力學方面，幾何學方面和物理學方面。第四章

空間問題的基本理論§3-1平衡微分方程

在物體內的任意一點P，割取一個微小的平行六面體，棱邊的長度分別為PA=dx，PB=dy，PC=dz。首先，以連接六面體前后兩面中心的直線為矩軸，列出力矩的平衡方程整理，并略去微量后，得同樣可以得出第四章

空間問題的基本理論列出x軸方向的力的平衡方程

由其余兩個平衡方程和可以得出與之相似的兩個方程。化簡，除以dxdydz，得空間問題的平衡微分方程（納維葉方程）第四章

空間問題的基本理論§3-2幾何方程和連續(xù)性方程

在平面問題里，通過研究oxy平面內平行于x、y軸兩微元線素的變形得到幾何方程，用同樣方法研究另外兩平面線素的變形可得到類似的方程。綜合起來，得到空間問題的幾何方程。

與幾何方程等價的是變形連續(xù)性方程（也稱相容方程或協(xié)調方程），在空間問題里表示為第四章

空間問題的基本理論

第一個方程式在平面問題中已作過推導。類似地可得到第二、第三個方程式。現(xiàn)在推導第四個方程式。由空間問題的幾何方程式，有

將以上后三式相加，并與第一式比較，便得到連續(xù)性方程的第四式。其余各式可由第一式、第四式輪換字母得到。第四章

空間問題的基本理論§3-3物理方程

各向同性彈性體的物理方程用應變表示應力的物理方程為式中[D]—彈性矩陣或應力應變關系轉換矩陣第四章

空間問題的基本理論用應力表示應變的物理方程為式中顯然，有第四章

空間問題的基本理論下面推導空間物理方程的另一種表達形式。將展開，并將其前三式相加，得或式中e

—體積應變

m

—平均應力K—體積彈性常數(shù)—體積彈性定律令則物理方程可寫成如下形式第四章

空間問題的基本理論及

各種彈性常數(shù)之間的關系其中

、G—拉密常數(shù)第四章

空間問題的基本理論§3-4邊界條件

位移邊界條件在Su上應力邊界條件將平面問題應力邊界條件推廣到空間問題，可得第四章

空間問題的基本理論

如果是用位移法求解，還應把應力邊界條件用位移來表示。將幾何關系式代入物理關系式，有在S

上

和平面問題一樣，按邊界條件也可以把空間問題劃分為三類：位移邊界、應力邊界和混合邊界問題。第四章

空間問題的基本理論小結

對于空間問題，共有15個未知函數(shù)：6個應力分量

；

6個應變分量；3個位移分量。這15個未知函數(shù)應當滿足15個基本方程：3個平衡微分方程；6個幾何方程；6個物理方程。第四章

空間問題的基本理論在位移邊界問題中，位移分量在邊界上還應當滿足位移邊界條件在應力邊界問題中，應力分量在邊界上還應當滿足應力邊界條件。

在混合邊界問題中，某些邊界條件是位移邊界條件，而另一些邊界條件是應力邊界條件。在S

上在Su上第四章

空間問題的基本理論§3-5物體內任一點的應力狀態(tài)

已知物體在任一點P的六個應力分量，試求經(jīng)過P點的任一斜面上的應力。令平面ABC的外法線為N，其方向余弦為

設三角形ABC的面積為

S，則三角形BPC、CPA、APB的面積分別為l

S

、m

S、n

S。四面體PABC的體積用

V表示。三角形ABC上的應力在坐標軸方向的分量用XN、YN、ZN代表。根據(jù)四面體的平衡條件，得第四章

空間問題的基本理論除以

S，移項后，得

當斜面ABC趨近于P點時，由于V是比S更高一階的微量，所以

V/

S趨于零。于是得出下式中的第一式。同樣，由平衡條件可以得出其余兩式。設三角形ABC上的正應力為N,則由投影可得將上式代入，得第四章

空間問題的基本理論設三角形ABC上的剪應力為N，由于所以有

在物體的任意一點，如果已知六個應力分量就可以求得任一斜面上的正應力和剪應力。就是說，六個應力分量完全決定了一點的應力狀態(tài)。

在特殊情況下，如果ABC是物體的邊界面，則XN、YN、ZN成為面力分量，于是得出即彈性體的應力邊界條件。它表明了應力分量的邊界值與表面力分量之間的關系。第四章

空間問題的基本理論主應力與主方向

設經(jīng)過任一點P的某一斜面上的剪應力等于零，則該斜面上的正應力稱為在P點的一個主應力，該斜面稱為在P點的一個應力主面，而該斜面的法線方向稱為在P點的一個應力主方向。在物體內的任意一點，一定存在三個互相垂直的應力主面以及對應的三個主應力。在一定的應力狀態(tài)下，物體內任一點的主應力不會隨坐標系的改變而改變（盡管應力分量隨著坐標系改變）。應力狀態(tài)不變量第四章

空間問題的基本理論§3-6按位移求解空間問題

將幾何方程代入物理方程，得出用位移分量表示應力分量的彈性方程。

按位移求解問題，是取位移分量為基本未知函數(shù)。對空間問題來說，要從15個基本方程中消去應力分量和應變分量