《基礎(chǔ)數(shù)學(xué)（第3冊）（第2版）》教案 第十三章 13.2雙曲線（一）

課題雙曲線（一）課時2課時（90min）教學(xué)目標知識技能目標：（1）掌握雙曲線的概念；（2）掌握雙曲線的標準方程；（3）掌握雙曲線的幾何意義；（4）通過雙曲線知識的學(xué)習(xí)與運用，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)幾何思維能力．素質(zhì)目標：引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成獨立思考和深度思考的良好習(xí)慣；培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維、辯證思維和創(chuàng)新思維能力；引導(dǎo)學(xué)生運用所學(xué)知識揭示生活中的奧秘，在實踐中深化認識，達到學(xué)以致用的目的。教學(xué)重難點教學(xué)重點：雙曲線的概念與標準方程．教學(xué)難點：雙曲線的幾何意義．教學(xué)方法講練結(jié)合法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)理念（1）通過生活中的實例導(dǎo)入雙曲線的概念；（2）引導(dǎo)學(xué)生自然地認識雙曲線的形成過程；（3）通過練習(xí)，鞏固知識．（4）依照學(xué)生的認知規(guī)律，順應(yīng)學(xué)生的學(xué)習(xí)思路展開，自然地層層推進教學(xué)．教學(xué)設(shè)計第1節(jié)課：→→問題→傳授新知（15min）→→第2節(jié)課：→傳授新知（25min）→課堂練習(xí)（10min）→課堂小結(jié)（3min）→作業(yè)布置（2min）教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計意圖第一節(jié)課課前任務(wù)【教師】布置課前任務(wù)，和學(xué)生負責人取得聯(lián)系，讓其提醒同學(xué)通過文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)軟件，完成課前任務(wù)請大家回憶橢圓的概念和標準方程，并預(yù)習(xí)雙曲線的有關(guān)知識?！緦W(xué)生】完成課前任務(wù)通過課前的預(yù)熱，讓學(xué)生了解所學(xué)本節(jié)課的大概內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望考勤（2min）【教師】使用文旌課堂APP進行簽到，清點上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報請假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀律性，掌握學(xué)生的出勤情況問題導(dǎo)入（10min）【教師】提出以下問題：凹透鏡是常見的光學(xué)元件，如圖13-11所示．它在我們?nèi)粘Ｉ钪械膽?yīng)用隨處可見，如近視眼鏡、門鏡、顯微鏡等．請觀察近視眼鏡的鏡片，它們的鏡面形狀有什么特點？圖13-11【學(xué)生】聆聽、思考、舉手回答通過問題導(dǎo)入的方法，引導(dǎo)學(xué)生主動思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣傳授新知（15min）【教師】通過學(xué)生的回答引入要講的知識，講解雙曲線的概念【知識精講】【教師】根據(jù)導(dǎo)入問題講解雙曲線的概念1．雙曲線的概念我們已知，平面內(nèi)與兩個定點，的距離之和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡是橢圓，那么平面內(nèi)與兩個定點的距離之差（絕對值）等于常數(shù)的點的軌跡是什么呢？一般地，平面內(nèi)與兩個定點，的距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于）的點的軌跡稱為雙曲線，這兩個定點，稱為雙曲線的焦點，兩焦點間的距離稱為雙曲線的焦距，如圖13-12所示．雙曲線中的每一條曲線稱為雙曲線的一支．圖13-12【學(xué)生】聆聽、思考、記憶【教師】根據(jù)概念接著講雙曲線的標準方程2．雙曲線的標準方程如圖13-13所示，以經(jīng)過雙曲線兩焦點，的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立平面直角坐標系．圖13-13設(shè)雙曲線的焦距為，則兩個焦點的坐標分別為，．設(shè)為雙曲線上的任意一點，點到焦點和的距離之差的絕對值為，則．因為，，所以．化簡整理可得．因為，所以．令，則上述方程可變形為，兩邊同時除以，可得．這個方程稱為雙曲線的標準方程，它表示焦點在軸上，中心在坐標原點上，焦點坐標為，的雙曲線，其中．若選取的平面直角坐標系不同，雙曲線的方程也不同．如圖13-14所示，若雙曲線的焦點，在軸上，點，的坐標分別為，，則雙曲線的方程為．圖13-14這個方程也稱為雙曲線的標準方程，其中．【學(xué)以致用】【教師】根據(jù)知識點講解例題例1例1（1）； （2）．解（1）已知方程為雙曲線的標準方程，因此這個雙曲線的焦點在x軸上，且，．又因為，所以，該雙曲線的焦點坐標為，，焦距為26．（2）將已知方程轉(zhuǎn)化為雙曲線的標準方程，得，因此這個雙曲線的焦點在y軸上，且，．又因為，所以，該橢圓的焦點坐標為，，焦距為．例2求滿足下列條件的雙曲線的標準方程．例2（1）焦點，的坐標分別為，，雙曲線上任意一點P到焦點，的距離之差的絕對值等于6；（2）兩個焦點的坐標分別為，，且圖像經(jīng)過點．解（1）因為雙曲線的焦點在x軸上，所以可設(shè)它的標準方程為．又因為，，所以，．因此，所求雙曲線的標準方程為．（2）因為雙曲線的焦點在y軸上，所以可設(shè)它的標準方程為．由雙曲線的概念可知由此可得．又因為，所以．因此，所求雙曲線的標準方程為．【學(xué)生】聆聽、討論、理解、回答通過教師講解、課堂討論、舉例說明等教學(xué)方式，使學(xué)生掌握雙曲線的概念與標準方程課堂練習(xí)（10min）【教師】對學(xué)生進行同桌互助自測（學(xué)困生上黑板驗算）：求符合下列條件的雙曲線的標準方程．（1）焦點在x軸上，，；（2）焦點，的坐標分別為，，且圖像經(jīng)過點．【學(xué)生】聆聽、思考、同桌討論，糾錯使用講練結(jié)合的方式，及時了解學(xué)生知識掌握情況討論歸納（8min）【教師】提出問題同學(xué)們請討論在橢圓和雙曲線中與與的關(guān)系?！緦W(xué)生】聆聽、思考、同桌討論【教師】與學(xué)生一起討論，并進行歸納通過課堂討論，加深學(xué)生對所學(xué)知識的理解，并培養(yǎng)學(xué)生的團隊意識第二節(jié)課問題導(dǎo)入（5min）【教師】提出問題：問題一：請大家觀看視頻“雙曲線的幾何性質(zhì)”并學(xué)習(xí)有關(guān)雙曲線幾何意義的知識。雙曲線的幾何性質(zhì)問題二：近視眼鏡是很多眼睛近視的人離不開的生活用品，它利用了凹透鏡可以發(fā)散光的光學(xué)性質(zhì)．觀察幾副不同度數(shù)的近視眼鏡，它們的鏡片厚度、鏡面曲線弧度各有何不同？這與雙曲線的哪些幾何性質(zhì)有關(guān)？【學(xué)生】聆聽、思考、舉手回答通過問題導(dǎo)入的方法，引導(dǎo)學(xué)生主動思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣傳授新知（25min）【教師】通過學(xué)生的回答引入要講的知識，講解雙曲線的范圍、對稱性、頂點、漸近線和離心率【知識精講】【教師】舉例講解雙曲線的范圍、對稱性、頂點、離心率1．范圍由可知，雙曲線上任意一點的坐標都滿足，即，即或．例如，雙曲線如圖13-16所示．圖13-15圖13-162．對稱性類比研究橢圓對稱性的方法，可以得到：雙曲線既是分別以軸、軸為對稱軸的軸對稱圖形，又是以原點為對稱中心的中心對稱圖形．雙曲線的對稱中心稱為雙曲線的中心．3．頂點點，是雙曲線與x軸的兩個交點；同理，雙曲線與y軸沒有交點，但我們也將點，畫在y軸上，如圖13-17所示．圖13-17雙曲線與軸的兩個交點，稱為雙曲線的頂點．線段稱為雙曲線的實軸，它的長等于，a稱為雙曲線的實半軸長；線段稱為雙曲線的虛軸，它的長等于，b稱為雙曲線的虛半軸長．例如，雙曲線的為，，實軸長為6，虛軸長為8．4．漸近線分別作直線和直線，四條直線圍成一個矩形，矩形的兩條對角線所在直線的方程就稱為雙曲線的漸近線，如圖13-18所示．圖13-18例如，雙曲線的．當時，雙曲線可寫成，像這樣，實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線．等軸雙曲線的實軸和虛軸的長都等于，漸近線方程為，它們互相垂直，且平分雙曲線實軸和虛軸所成的角．5．離心率與橢圓類似，雙曲線的焦距與實軸長的比稱為雙曲線的離心率，用表示，即．因為，所以．因為，所以有．由此可知，越大，則越大，即漸近線的斜率絕對值越大，這時雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊，故雙曲線的離心率越大，它的開口就越開闊．因此，雙曲線的離心率反映了雙曲線的開口大?。緦W(xué)生】聆聽、思考、記憶【學(xué)以致用】【教師】根據(jù)知識點講解例題例3求雙曲線的實半軸長、虛半軸長、離心率和漸近線方程．例3解將已知方程轉(zhuǎn)化為雙曲線的標準方程，得，其中，，，．因此，該雙曲線的實半軸長為4，虛半軸長為3，離心率為，漸近線方程為．【學(xué)生】聆聽、討論、理解、回答通過教師講解、課堂討論、舉例說明等教學(xué)方式，使學(xué)生掌握雙曲線的范圍、對稱性、頂點、漸近線和離心率課堂練習(xí)（10min）【教師】對學(xué)生進行同桌互助自測（學(xué)困生上黑板驗算）：1．求下列雙曲線的實半軸長、虛半軸長、離心率和漸近線方程．（1）； （2）．2．求滿足下列條件的雙曲線的標準方程．（1）頂點在y軸上，兩頂點間的距離為8，離心率為；（2）焦點在x軸上，實半軸長為6，一條漸近線方程為．【學(xué)生】聆聽、思考、同桌討論，糾錯使用講練結(jié)合的方式，充分了解學(xué)情課堂小結(jié)（3min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點本次課學(xué)習(xí)了雙曲線的概念，以及雙曲線的標準方程。希望大家在課下多加復(fù)習(xí)，鞏固所學(xué)知識，為后面的學(xué)習(xí)打下堅實的基礎(chǔ)?！緦W(xué)生】總結(jié)回顧知識點總結(jié)知識點，加深學(xué)生對雙曲線相關(guān)知識的印象作業(yè)布置（2min）【教師】布置課后作業(yè)（1）閱讀：教材章節(jié)13.2；小試牛刀13.2；（2）書寫：小試牛刀1