《高等應(yīng)用數(shù)學(xué)》（曾慧平）教案 第三章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 3.4曲率

課題曲率課時1課時（45min）第26課時教學(xué)目標(biāo)知識技能目標(biāo)：（1）理解曲率的概念。（2）掌握曲率的計算公式。（3）掌握曲率圓和曲率半徑的計算。素質(zhì)目標(biāo)：（1）培養(yǎng)數(shù)學(xué)素質(zhì)，提高運算能力和數(shù)學(xué)建模能力．（2）培養(yǎng)觀察能力、空間想象能力、分析與解決問題能力、數(shù)學(xué)思維能力．（3）養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣、實事求是的科學(xué)態(tài)度．教學(xué)重難點教學(xué)重點：曲率的概念和計算公式教學(xué)難點：曲率圓和曲率半徑的計算教學(xué)方法講練結(jié)合法教學(xué)用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學(xué)設(shè)計→→→傳授新知（18min）→解題技巧歸納（5min）→強化訓(xùn)練（10min）→課堂小結(jié)（3min）→布置作業(yè)教學(xué)過程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟設(shè)計意圖課前任務(wù)【教師】布置課前任務(wù)，和學(xué)生負(fù)責(zé)人取得聯(lián)系，讓其提醒同學(xué)通過文旌課堂APP或其他學(xué)習(xí)軟件，完成課前任務(wù)請大家預(yù)習(xí)本節(jié)課內(nèi)容?！緦W(xué)生】完成課前任務(wù)通過課前任務(wù)，使學(xué)生了解所學(xué)課知識的重要性，增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣考勤（2min）【教師】使用文旌課堂APP進(jìn)行簽到，清點上課人數(shù)，記錄好考勤【學(xué)生】班干部報請假人員及原因培養(yǎng)學(xué)生的組織紀(jì)律性，掌握學(xué)生的出勤情況問題導(dǎo)入（2min）【教師】提出以下問題：回憶二階求導(dǎo)的方法與計算公式？【學(xué)生】思考、舉手回答通過問題導(dǎo)入的方法，引導(dǎo)學(xué)生主動思考，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣傳授新知（24min）【教師】通過學(xué)生的回答引入要講的知識3.4.1曲率的概念與曲率的計算公式知識點曲率的概念?【教師】介紹曲率的定義如圖3-11所示，設(shè)，B是光滑曲線上的兩點，弧段的長度為，曲線在點處的切線傾斜角為，在點B處的切線傾斜角為．當(dāng)點移動到點B時，切線轉(zhuǎn)過的角度為．我們用比值（即單位弧段上切線轉(zhuǎn)過的角度）來表達(dá)弧段的平均彎曲程度．圖3-11記，稱為弧段的平均曲率．記，稱為曲線在點處的曲率．在存在的條件下，也可以表示為．此式說明曲線在點A處的曲率可表示為轉(zhuǎn)角微分與弧微分之比，其中弧微分．?【學(xué)生】聆聽、理解?【教師】講解例題圖3-12例1如圖3-12所示，設(shè)點為半徑為的圓上的任意兩點，圓在點處的切線所夾的角為，求該圓在各點處的曲率．圖3-12知識點曲率的計算公式?【教師】介紹曲率的計算公式設(shè)曲線的函數(shù)為，且具有二階導(dǎo)數(shù)．因為，上式兩邊取微分得，所以．已知，從而得曲率的計算公式，即．?【學(xué)生】聆聽、理解、記憶公式?【教師】講解例題例2計算雙曲線在點處的曲率．?【學(xué)生】聆聽、理解、演算3.4.2曲率圓與曲率半徑知識點曲率圓與曲率中心?【教師】介紹曲率圓與曲率中心的定義如圖3-13所示，設(shè)曲線在點處的曲率為()．在點處曲線的法線上，在凹的一側(cè)取一點，使．以點為圓心，為半徑作圓，這個圓稱為曲線在點M處的曲率圓，曲率圓的圓心稱為曲線在點處的曲率中心，曲率圓的半徑稱為曲線在點處的曲率半徑．曲線在點處的曲率()與曲線在點處的曲率半徑有如下關(guān)系：．圖3-13?【學(xué)生】聆聽、理解?【教師】講解例題圖3-14例3如圖3-14所示，設(shè)工件內(nèi)表面的截線為拋物線．現(xiàn)要用砂輪磨削其內(nèi)表面，問選用砂輪的直徑為多大時才比較合適？圖3-14【學(xué)生】聆聽、思考、演算、對比演算步驟和結(jié)果通過教師講解和例題分析，使學(xué)生理解曲率的概念并理解曲率圓與曲率半徑的幾何意義，掌握實際問題中求曲線的長度解題技巧歸納（5min）【教師】提煉知識1．．2．以“曲”代“直”的思路【學(xué)生】聆聽，記筆記通過提煉知識點有利于提升學(xué)生學(xué)習(xí)的高效性強化練習(xí)（10min）【教師】通過APP發(fā)送強化練習(xí)作業(yè)題，并點名部分學(xué)生進(jìn)行板演1．求下列曲線在指定點處的曲率和曲率半徑．（1）在點處； （2）在點處．2．曲線上哪一點處的曲率半徑最??？求出該點處的曲率半徑．3．設(shè)工件內(nèi)表面的截線為拋物線，用砂輪磨削其內(nèi)表面，問應(yīng)選用多大直徑的砂輪可得到較好的磨削結(jié)果？對比自己的計算結(jié)果，查找易錯點，提升解題水平通過強化練習(xí)，使學(xué)生鞏固所學(xué)知識，并以學(xué)生為主體，針對學(xué)生接受能力的差異性，讓優(yōu)秀學(xué)生帶動其他學(xué)生掌握知識課堂小結(jié)（3min）【教師】簡要總結(jié)本節(jié)課的要點本節(jié)課學(xué)習(xí)了曲率的概念和計算公式，曲率圓與曲率半徑的定義及計算。希望大家在課下多加練習(xí)，鞏固課上所學(xué)知識，能夠熟練掌握曲率圓和曲率半徑的計算。【學(xué)生】總結(jié)回顧知識點總結(jié)知識點，鞏固學(xué)生對曲率相關(guān)知識的印象作業(yè)布置（2min）【教師】布置課后作業(yè)完成教材中小節(jié)作業(yè)3.4中與本課相關(guān)的習(xí)題本課作業(yè)布置二維碼老師掃描此碼，即可進(jìn)行線上作業(yè)布置【學(xué)生】完成課后任務(wù)通過課后作業(yè)復(fù)習(xí)鞏固學(xué)到