能力專題14空間想象能力（學(xué)生版）

能力專題14空間想象能力名師推薦直觀想象是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)。高考目標(biāo)是要求能夠借助空間認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系；構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路。直觀想象是高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，是發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學(xué)問題、分析和解決數(shù)學(xué)問題的重要手段，是探索和形成論證思路、進(jìn)行邏輯推理、構(gòu)建抽象結(jié)構(gòu)的思維基礎(chǔ)。高考目標(biāo)是要求能夠借助空間認(rèn)識事物的位置關(guān)系、形態(tài)變化與運動規(guī)律；利用圖形描述、分析數(shù)學(xué)問題；建立形與數(shù)的聯(lián)系；構(gòu)建數(shù)學(xué)問題的直觀模型，探索解決問題的思路。通過本專題的復(fù)習(xí)要在直觀想象形成過程中,注意培養(yǎng)自己的幾何直觀和空間想象能力，注意加強(qiáng)運用圖形和空間想象思考問題的意識，提升數(shù)形結(jié)合的能力，感悟事物的本質(zhì)，培養(yǎng)創(chuàng)新思維。專題中三個探究（幾何體截面、折疊問題、動態(tài)問題）都是高考中立體幾何熱點難點所在，通過對這三類問題的突破更好的體現(xiàn)空間想象能力對我們的重要性，更好的為我們起到思維引導(dǎo)作用。——大冶一中高級教師陳俊杰探究1：空間幾何體中的截面問題【典例剖析】例1.(2022·湖南·模擬)如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,?AA1=BC=1，點E為AB的中點，過CE作長方體的截面α交棱C1A.不存在點F，使得DF⊥α

B.當(dāng)截面為平行四邊形時，截面面積的最大值為2

C.截面可能是六邊形

D.隨C1F的增大，直線AF與截面選題意圖:選題意圖:空間幾何體的截面問題對空間想象能力的要求較高.本題以常規(guī)幾何體（長方體）為載體，探究截面的不同形狀，截面面積、線面角的變化等，解決問題的方法是借助于空間向量的坐標(biāo)表示，將幾何問題作代數(shù)化處理，最后再回歸到幾何問題本身.思維引導(dǎo)：先建立空間直角坐標(biāo)系．A項用向量共線條件，列方程組求解判斷；B項先表示出截面面積，當(dāng)t=1時截面面積最大；C項作截面判斷；D項利用空間向量求線面角正弦值，再根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性判斷．【變式訓(xùn)練】練11.(2022·廣東省·聯(lián)考)已知四面體A-BCD為正四面體，AB=2，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點．若用一個與直線EF垂直，且與四面體的每一個面都相交的平面α去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積的最大值為(

)A.1 B.2 C.3 D.2練12.(2022·安徽省·月考)在通用技術(shù)教室里有一個三棱錐木塊如圖所示，VA，VB，VC兩兩垂直，VA=VB=VC=1(單位：dm)，小明同學(xué)計劃通過側(cè)面VAC內(nèi)任意一點P將木塊鋸開，使截面平行于直線VB和AC，則該截面面積(單位：dm2)的最大值是(

)A.14 B.24 C.34【規(guī)律方法】熟練掌握正六面體橫截、豎截、斜截后的平面圖形，圓柱體經(jīng)過橫截、豎截、斜截后的平面圖形.結(jié)合線、面平行的判定與性質(zhì)求截面問題，結(jié)合線、面垂直的判定與性質(zhì)求截面問題有關(guān)截面最值問題求解策略：（1）轉(zhuǎn)化為建立函數(shù)模型求解最值問題，或利用基本不等式求解；（2）猜想法求最值，需要靈活運用一些特殊圖形與幾何體的特征，“動中找靜”：如正三角形、正六邊形、正三棱錐等.探究2：幾何體折疊問題【典例剖析】例2.(2022·全國·聯(lián)考)為弘揚中華民族優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某學(xué)校組織了《誦經(jīng)典，獲新知》的演講比賽，本次比賽的冠軍獎杯由一個銅球和一個托盤組成，如圖①，已知球的體積為4π3，托盤由邊長為4的正三角形銅片沿各邊中點的連線垂直向上折疊而成，如圖②.則下列結(jié)論正確的是(

)A.經(jīng)過三個頂點A,B,C的球的截面圓的面積為π4

B.異面直線AD與CF所成的角的余弦值為58

C.多面體ABCDEF的體積為94

D.球面上的點離球托底面選題意圖:選題意圖:空間幾何體的折疊問題,需要正確地分析出折疊前后圖形中的基本元素及其相互關(guān)系，能對圖形進(jìn)行分解、組合，會將空間問題平面化，利用正余弦定理解決平面問題.本題以真實生活情境為背景，考查的知識點較多，對空間想象能力和數(shù)學(xué)運算能力的要求較高.思維引導(dǎo):本題考查了正弦定理，余弦定理，球的表面積和體積，異面直線所成角和直線與平面所成的角等知識點．構(gòu)建一個底面邊長為2，高為3的正三棱柱DEF-D【變式訓(xùn)練】練21.(2022·全國·模擬)平行四邊形ABCD，點E,F分別在AB,CD上，且EF//BC，點P是AD上的動點，BF和PE中點分別是M和N，把四邊形AEFD沿EF折起，則(

)A.直線CN和直線PM是異面直線 B.直線BN和直線DM是異面直線

C.存在點P，使得直線MP//平面CDF D.存在點P，使得平面MNP//平面練22.(2022·湖北省·模擬)在通用技術(shù)課上，某小組將一個直三棱柱ABC-A1B1C1展開得到平面圖如圖所示，∠ABC=90°，AA1=AB，P為AB1的中點，A.P，Q，C，B四點共面

B.A1C⊥AB1

C.幾何體A-PQCB和直三棱柱ABC-A1B【規(guī)律方法】解決與折疊有關(guān)問題的關(guān)鍵是搞清折疊前后的變化量與不變量，一般情況下，折現(xiàn)同一側(cè)的線段長度是不變量，而位置關(guān)系往往會發(fā)生變化，抓住不變量是解決問題的突破口；在解決問題時，要綜合考慮折疊前后的圖形，善于將折疊后的量放在原平面圖形中進(jìn)行分析求解.探究3：動態(tài)問題【典例剖析】例3.(2022·湖北省·聯(lián)考)如圖，已知a，b是相互垂直的兩條異面直線，直線AB與a，b均相互垂直，垂足分別為A，B，且AB=23，動點P，Q分別位于直線a，b上，且P異于A，Q異于B.若直線PQ與AB所成的角θ=π6，線段PQ的中點為M，下列說法正確的是(

)A.PQ的長度為定值

B.三棱錐A-BPQ的外接球的半徑長為定值

C.三棱錐A-BPQ的體積為定值

D.點M到AB的距離為定值選題意圖:選題意圖:立體幾何中的動態(tài)問題是指空間圖形中的某些點線面的位置是不確定的，可變的一類開放型問題，是學(xué)生進(jìn)行思考、轉(zhuǎn)化的障礙，但又因其是可變的、開放的，更有助于空間想象能力及綜合思維能力的培養(yǎng)。關(guān)鍵是抓住變化過程中不變的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，事實上動靜是相對的，以靜制動是處理立體幾何中動態(tài)元素的良策，解此類問題還要回歸到最本質(zhì)的定義、定理、性質(zhì)或現(xiàn)有結(jié)論中．思維引導(dǎo):本題主要考查錐體體積的計算，球與多面體的切接問題，立體幾何中的定值問題等知識，屬于中等題．根據(jù)題意，將圖形還原為長方體，進(jìn)而根據(jù)題意求出PE，PQ，進(jìn)而判斷A，B；根據(jù)VA-BPQ【變式訓(xùn)練】練31.(2022·廣東省·模擬)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，AC∩BD=O，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足

時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認(rèn)為正確的條件即可)練32.(2021·湖南省·聯(lián)考)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，AB，A1D1的中點分別是P，Q，直線PQ與正方體的外接球O相交于M，NA.32+62 B.2【規(guī)律方法】立體幾何中空間動點軌跡的判斷會求軌跡的長度，一般根據(jù)