專(zhuān)題17三角函數(shù)的性質(zhì)（原卷版）

專(zhuān)題17三角函數(shù)的性質(zhì)【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】1、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象（1）正弦函數(shù)的圖象．=1\*GB3①畫(huà)點(diǎn)在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出以原點(diǎn)為圓心的單位圓，與軸正半軸的交點(diǎn)為．在單位圓上，將點(diǎn)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)弧度至點(diǎn)，根據(jù)正弦函數(shù)的定義，點(diǎn)的縱坐標(biāo)．由此，以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)畫(huà)點(diǎn)，即得到函數(shù)圖象上的點(diǎn)．=2\*GB3②畫(huà)（）的圖象把軸上從到這一段分成等份，使的值分別為，，，，…，，它們所對(duì)應(yīng)的角的終邊與單位圓的交點(diǎn)將圓周等份，再按上述畫(huà)點(diǎn)的方法，就可畫(huà)出自變量取這些值時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象上的點(diǎn)．然后將這些點(diǎn)用光滑的曲線連接起來(lái)，即得（）的圖象．=3\*GB3③（）的圖象由誘導(dǎo)公式一可知，函數(shù)，，且的圖象，與函數(shù)，的圖象形狀完全一樣．因此將函數(shù)，的圖象不斷向左、向右平行移動(dòng)（每次個(gè)單位長(zhǎng)度），就可以得到正弦函數(shù)，的圖象（如下圖）．正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線．=4\*GB3④五點(diǎn)作圖法在函數(shù)，的圖象上，有以下五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：，，，，．畫(huà)出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，然后用光滑的曲線將它們連接起來(lái)，可得到正弦函數(shù)的簡(jiǎn)圖．這種作圖的方法稱為”五點(diǎn)作圖法”．（2）余弦函數(shù)的圖象因?yàn)椋钥蓪⒄液瘮?shù)，的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度即得余弦函數(shù)，的圖象．余弦函數(shù)，的圖象叫做余弦曲線．余弦函數(shù)，的圖象上五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)是：，，，，．2、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)（1）周期性一般地，對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有，那么函數(shù)就叫做周期函數(shù)．非零常數(shù)叫做這個(gè)函數(shù)的周期．如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做的最小正周期．正弦函數(shù)是周期函數(shù)，（且）都是它的周期，最小正周期是．余弦函數(shù)也是周期函數(shù)，（且）都是它的周期，最小正周期是．（2）奇偶性正弦函數(shù)是奇函數(shù)，余弦函數(shù)是偶函數(shù)．（3）單調(diào)性正弦函數(shù)，在每一個(gè)閉區(qū)間（）上都單調(diào)遞增，其值從增大到；在每一個(gè)閉區(qū)間（）上都單調(diào)遞減，其值從減小到．余弦函數(shù)，在每一個(gè)閉區(qū)間（）上都單調(diào)遞增，其值從增大到；在每一個(gè)閉區(qū)間（）上都單調(diào)遞減，其值從減小到．（4）最大值與最小值正弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)（）時(shí)取得最大值，當(dāng)且僅當(dāng)（）時(shí)取得最小值．余弦函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)（）時(shí)取得最大值，當(dāng)且僅當(dāng)（）時(shí)取得最小值．3、正切函數(shù)的圖象正切函數(shù)的圖象叫做正切曲線．4、正切函數(shù)的性質(zhì)（1）定義域正切函數(shù)的定義域?yàn)椋?）周期性正切函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期是．（3）奇偶性正切函數(shù)是奇函數(shù)．（4）單調(diào)性正切函數(shù)在每一個(gè)開(kāi)區(qū)間（）上都單調(diào)遞增．（5）值域正切函數(shù)的值域是實(shí)數(shù)集．【典型例題】例1．（2022·江西省萬(wàn)載高一期中）已知函數(shù)，，(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)求函數(shù)的最大值、最小值及對(duì)應(yīng)的x值的集合；(3)若對(duì)任意，存在，使得，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.例2．（2022·新疆·柯坪湖州國(guó)慶高一期末）已知函數(shù)，.(1)求的最小正周期；(2)有零點(diǎn)，求的范圍.例3．（2022·北京·高一期末）已知函數(shù).(1)請(qǐng)用五點(diǎn)法做出一個(gè)周期內(nèi)的圖像；(2)若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，請(qǐng)寫(xiě)出的取值范圍，無(wú)需說(shuō)明理由.例4．（2022·浙江省杭州第九高一期末）某同學(xué)用“五點(diǎn)法”作函數(shù)（，，）在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，見(jiàn)下表：000(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，直接寫(xiě)出函數(shù)的解析式，并求函數(shù)的最小正周期和在上的單調(diào)遞減區(qū)間.(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值.例5．（2022·西藏拉薩·高一期末）已知函數(shù)（，），再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為一組已知條件，使的解析式唯一確定．條件①：的最小正周期為；條件②：為奇函數(shù)；條件③：圖象的一條對(duì)稱軸為．(1)求的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，求在區(qū)間上的最大值．注：如果選擇多組條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．例6．（2022·安徽·碭山高一期中）已知函數(shù)（，），其圖象一條對(duì)稱軸與相鄰對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)相差，______；從以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在空白橫線中．①函數(shù)向左平移個(gè)單位得到的圖象關(guān)于軸對(duì)稱且．②函數(shù)的一條對(duì)稱軸為且；(1)求函數(shù)的解析式；(2)若，方程存在4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【過(guò)關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2022·上海市控江高一期末）已知常數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022·上海·格致高一期中）函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是（

）A． B． C． D．3．（2022·浙江·高一期末）函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是（

）A． B． C． D．4．（2022·湖南·武岡市教育科學(xué)研究所高一期末）關(guān)于函數(shù)圖象的對(duì)稱性，下列說(shuō)法正確的是（

）A．關(guān)于直線對(duì)稱 B．關(guān)于直線對(duì)稱C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱5．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最小值，則的值可以是（

）A． B． C． D．6．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)，則（

）A．的最大值為3，最小值為1B．的最大值為3，最小值為-1C．的最大值為，最小值為D．的最大值為，最小值為7．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的圖象在區(qū)間上恰有3個(gè)最高點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．8．（2022·北京·高一期末）記函數(shù)的最小正周期為，若，為的零點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．二、多選題9．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，則（

）A．是偶函數(shù) B．是圖象的一條對(duì)稱軸C．在上單調(diào)遞減 D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值10．（2022·安徽·碭山高一期中）已知函數(shù)（）在上單調(diào)，則的可能值為（

）A．2 B．3 C．4 D．511．（2022·安徽省宿州市苐三高一期中）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．函數(shù)圖像關(guān)于直線對(duì)稱C．函數(shù)的值域?yàn)镈．若函數(shù)有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是12．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，的圖象與直線（為常數(shù)）的交點(diǎn)情況，下列說(shuō)法正確的是（

）A．當(dāng)或時(shí)，有0個(gè)交點(diǎn) B．當(dāng)或時(shí)，有1個(gè)交點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn) D．當(dāng)時(shí)，有2個(gè)交點(diǎn)三、填空題13．（2022·上海市曹楊高一期末）已知函數(shù)，若存在，有，則的最小值為_(kāi)_____．14．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②的函數(shù)______．（注：不是常函數(shù)）①；②．15．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的值域?yàn)開(kāi)____________．16．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)若在區(qū)間上單調(diào)，且，則的最小正周期為_(kāi)___．四、解答題17．（2022·上海市金匯高級(jí)高一期末）函數(shù)的部分圖象如圖所示．(1)寫(xiě)出的最小正周期及圖中、的值；(2)求在區(qū)間上的最大值和最小值．18．（2022·江蘇鹽城·高一期末）設(shè).(1)若函數(shù)的最大值是最小值的3倍，求b的值；(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù)正零點(diǎn)由小到大依次為x1，x2，x3，…，若，求ω的值.19．（2022·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知下列三個(gè)條件：①函數(shù)為奇函數(shù)；②當(dāng)時(shí)，；③是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)．從這三個(gè)條件中任選一個(gè)填在下面的橫線處，并解答下列問(wèn)題．已知函數(shù)，______．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間．20．（2022·山東東營(yíng)·高一期中）函數(shù)的最小值為，(1)當(dāng)