第er次課微分方程模型第一講

微分方程模型第一講引言在很多實(shí)際問(wèn)題的研究中，經(jīng)常要涉及各變量的變化律問(wèn)題。

1.尸體冷卻模型受害者的尸體于晚上7:30被發(fā)現(xiàn)，法醫(yī)于晚上8:20趕到兇案現(xiàn)場(chǎng)，測(cè)得尸體溫度為32.6℃；一小時(shí)后，當(dāng)尸體即將被抬走時(shí)，測(cè)得尸體溫度為31.4℃，室溫在幾個(gè)小時(shí)內(nèi)始終保持21.1℃。此案最大的嫌疑犯張某聲稱自己是無(wú)罪的，并有證人說(shuō)：“下午張某一直在辦公室上班，5:00時(shí)打完電話后就離開(kāi)了辦公室”。從張某到受害者家（兇案現(xiàn)場(chǎng)）步行需5分鐘，現(xiàn)在的問(wèn)題是，張某不在兇案現(xiàn)場(chǎng)的證言能否被采信，使他排除在嫌疑犯之外。首先應(yīng)確定兇案的發(fā)生時(shí)間，若死亡時(shí)間在下午5點(diǎn)5分之前，則張某就不是嫌疑犯，否則不能將張某排除。設(shè)T(t)表示t時(shí)刻尸體的溫度，并記晚上8:20為t=0，則T(0)=32.6℃，T(1)=31.4℃。假設(shè)受害者死亡時(shí)體溫是正常的，即T=37℃是要確定受害者死亡的時(shí)間，也就是求T(t)=37℃的時(shí)刻，進(jìn)而確定張某是否是嫌疑犯。人體體溫受大腦神經(jīng)中樞調(diào)節(jié)。人死亡后體溫調(diào)節(jié)的功能消失，尸體的溫度受外界環(huán)境溫度的影響。假設(shè)尸體溫度的變化率服從牛頓冷卻定律，即尸體溫度的變化律與他同周?chē)臏囟炔畛烧?。?/p>

k是常數(shù)，分離變量?jī)蛇呁瑫r(shí)積分得T(0)=21.1+a=32.6得a=11.5T(1)=21.1+ae-k=31.4得e-k＝115/103，即k=0.11所以T(t)=21.1+11.5e-0.11t.當(dāng)T=37℃時(shí)，有t=-2.95小時(shí)＝-2小時(shí)57分Td＝8小時(shí)20分－2小時(shí)57分＝5小時(shí)23分。即死亡時(shí)間大約在下午5:23，因此張某不能被排除在嫌疑犯之外。問(wèn)題若張某的律師發(fā)現(xiàn)受害者在死亡的當(dāng)天下午去醫(yī)院看過(guò)病。病例記錄：發(fā)燒38.3℃。假設(shè)受害者死亡時(shí)的體溫為38.3℃，試問(wèn)張某能夠被排除在嫌疑犯之外嗎？注：死者體內(nèi)沒(méi)有發(fā)現(xiàn)服用阿司匹林或類似藥物的跡象。此時(shí)解得死亡時(shí)間大約在下午4:40分，這時(shí)張某正在上班，因此可以排除在嫌疑犯之外。馬王堆一號(hào)墓年代的確定1949年美國(guó)芝加哥大學(xué)利比建立了碳-14測(cè)定年代的方法是考古工作者重要的斷代手段之一。其原理如下：從星際空間射到地球的射線稱為宇宙線。宇宙線中子穿過(guò)大氣層時(shí)撞擊空氣中的氮核引起核反應(yīng)而生成具有放射性的碳-14。宇宙線的強(qiáng)度可以認(rèn)為是不變化的，它經(jīng)年不息地射到地球上來(lái)，不斷地產(chǎn)生著碳-14，而碳-14本身又不斷地放出β射線裂變?yōu)榈?。這種不斷產(chǎn)生、不斷裂變的過(guò)程從古到今一直進(jìn)行著，因此大氣中的碳-14實(shí)際上處于動(dòng)態(tài)平衡，大氣中碳-14的含量（指物體標(biāo)本中碳-14的原子個(gè)數(shù)與非放射性碳原子個(gè)數(shù)之比）?？烧J(rèn)為是常值（實(shí)測(cè)約為1.2×10-12)碳-14和其他碳原子在化學(xué)性質(zhì)上毫無(wú)區(qū)別。它與氧化合生成放射性二氧化碳，通過(guò)光合作用而進(jìn)入植物體內(nèi)。動(dòng)物吃植物，碳-14又進(jìn)入動(dòng)物體內(nèi)。因而在活的動(dòng)植物體中碳-14的含量大致相同。動(dòng)植物一死，體內(nèi)碳-14得不到補(bǔ)充，只是不斷地裂變?yōu)榈鴾p少。已經(jīng)知道放射性元素的裂變規(guī)律遵循：裂變速率與剩余量成正比。對(duì)碳-14來(lái)說(shuō)，其半衰期為5730年。這樣，從動(dòng)植物死亡體內(nèi)碳-14的含量就可以約略推算它的死亡年代。1972年發(fā)掘長(zhǎng)沙馬王堆一號(hào)漢墓時(shí)，對(duì)其棺槨外主要用以防潮吸水用的木炭分析了它含碳-14的量約為大氣中的0.7757倍，據(jù)此便可推算出木炭的年代，它也就可以當(dāng)作女尸下葬的年代。以t表示時(shí)間（年），t=0對(duì)應(yīng)于木炭燒制的時(shí)刻，以y=y(t)表示木炭經(jīng)過(guò)t年后碳-14的含量，則是碳-14的增長(zhǎng)速率，而碳-14的裂變速率便是，故按裂變規(guī)律，我們有其中k>0為比例系數(shù)。木炭在t=0時(shí)的碳-14含量與大氣中的含量α＝1.2×10-12大致相同，而經(jīng)過(guò)5730年后衰減了一半，故函數(shù)y=y(t)還應(yīng)滿足如下條件為了求滿足方程的函數(shù)，將方程變形為積分得其中C和C1為任意常數(shù)。由第二個(gè)條件有假設(shè)木炭是T年前燒制的，經(jīng)過(guò)T年，其碳-14的含量已減少為大氣中含量的0.7757倍，故應(yīng)有由此算出這表明長(zhǎng)沙漢墓的女尸大約是在公元前128年下葬的。注：對(duì)碳-14的半衰期說(shuō)法不一，有人測(cè)定為5568年，也有人測(cè)定為5580和5730。范·梅格倫的藝術(shù)偽造品在第二次世界大戰(zhàn)時(shí)，當(dāng)比利時(shí)解放以后，荷蘭野戰(zhàn)軍保安部開(kāi)始搜捕納粹同謀犯。他們從一家曾向納粹德國(guó)出賣(mài)藝術(shù)品的公司中發(fā)現(xiàn)線索，于1945年5月29日以通敵罪逮捕了三流畫(huà)家范·梅格倫此人曾將17世紀(jì)荷蘭名畫(huà)家楊·弗米爾的油畫(huà)“捉奸”賣(mài)給納粹德國(guó)戈林的中間人?？墒?，范·梅格倫在同年7月在牢里宣布：他從未把這幅畫(huà)賣(mài)給戈林。而且他還說(shuō)，這幅畫(huà)和眾所周知的油畫(huà)“在埃牟斯的信徒們”以及其他四幅冒充弗米爾的油畫(huà)和兩幅德胡斯（17世紀(jì)荷蘭畫(huà)家）的油畫(huà)，都是他自己的作品。這件事震驚了全世界。為了證明他自己是一個(gè)偽造者，在監(jiān)獄里開(kāi)始偽造弗米爾的油畫(huà)“耶穌在學(xué)者們中間”，當(dāng)這項(xiàng)工作接近完成時(shí)，獲悉他的通敵罪可能被偽造罪所取代。因此，他拒絕將這幅畫(huà)變陳，希望不被發(fā)現(xiàn)使畫(huà)老化的秘密，以免留下罪證。為了審理這個(gè)案件，法庭組織了一個(gè)由著名化學(xué)家、物理學(xué)家和藝術(shù)史學(xué)家組成的國(guó)際專門(mén)小組查究此事。他們利用x射線檢驗(yàn)畫(huà)布上是否曾經(jīng)畫(huà)過(guò)別的畫(huà)。此外，他們分析了油畫(huà)中的拌料（色粉），檢驗(yàn)了油畫(huà)中有沒(méi)有經(jīng)歷歲月的跡象。科學(xué)家們終于在其中的幾幅畫(huà)中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代顏料鈷蘭的痕跡。此外，他們還在幾幅畫(huà)中檢驗(yàn)出20世紀(jì)初才發(fā)明的酚醛類人工樹(shù)脂。根據(jù)這些證據(jù)，范·梅格倫于1947年10月12日被宣告?zhèn)卧熳?，判刑一年?？墒撬诒O(jiān)獄中因心臟病發(fā)作，于1947年12月30日死去。然而事情到此并未結(jié)束，許多人還不肯相信著名的“在埃牟斯的信徒們”是范·梅格倫偽造的。事實(shí)上，在此之前這幅畫(huà)已經(jīng)被鑒定為真跡，并以17萬(wàn)美元的高價(jià)被倫布特學(xué)會(huì)買(mǎi)下。專家小組對(duì)于懷疑者的回答是：由于范·梅格倫曾因他在藝術(shù)界中沒(méi)有地位而十分懊惱，他決心繪制這幅畫(huà)來(lái)證明它的水平。當(dāng)創(chuàng)造出這樣的杰作以后，他的志氣消退了。而且當(dāng)他看到這幅畫(huà)這么容易賣(mài)掉以后，他在炮制后來(lái)的偽造品時(shí)就不太用心了。這種解釋不能使懷疑者感到滿意。他們要求完全科學(xué)地、確定地來(lái)證明“在埃牟斯的信徒們”的確是一個(gè)偽造品。這一問(wèn)題一直拖了20年，直到1967年，卡內(nèi)基－梅隆大學(xué)的科學(xué)家們才基本上解決了這個(gè)問(wèn)題。卡內(nèi)基－梅隆大學(xué)的解決方案由馬王堆一號(hào)墓年代問(wèn)題我們已經(jīng)知道放射性物質(zhì)的衰變模型為其解為顯然，當(dāng)時(shí)，，即若無(wú)補(bǔ)充機(jī)制，該放射性物質(zhì)將消失。當(dāng)時(shí)，可得半衰期為。即，大多數(shù)情況下，衰變常數(shù)是已知的或能夠算出，并且易算出N的值。這樣若知道，就可以確定該物質(zhì)的年代了。在某些情況下，我們可以間接的確定，如上題的碳-14斷代法，或確定的某個(gè)適當(dāng)范圍范·梅格倫的偽造品就屬于后一種情形。我們從下面的初等化學(xué)的事實(shí)開(kāi)始，地殼中的所有巖石都會(huì)有少量的鈾。巖石中鈾衰變成一種其它元素，而這種元素也進(jìn)一步衰變成另一種元素。如此衰變下去，形成一個(gè)元素序列直到鉛,就不再衰變?nèi)缦聢D所示。鈾不斷地補(bǔ)充序列中的后續(xù)元素，所以這些后面的元素衰變量與產(chǎn)生量就形成一個(gè)動(dòng)態(tài)平衡。圖1鈾系列下面讓我們了解一下顏料方面的知識(shí)。用白鉛作顏料已有2000多年了，而白鉛是由鉛金屬產(chǎn)生的鉛金屬是經(jīng)過(guò)熔煉從鉛礦石中提取出來(lái)的，在這個(gè)過(guò)程中，礦石中的鉛-210隨著鉛金屬被提取出來(lái)，不過(guò)有90％-95％的鐳以及其他派生物都隨著爐渣作為廢棄物被排出了。所以大多數(shù)鉛-210的提供物都被排掉了，而其自身開(kāi)始迅速衰變，半衰期為22年。這個(gè)過(guò)程一直持續(xù)到白鉛中的鉛-210再次與現(xiàn)存的少量鐳達(dá)到放射平衡，即鉛－210的衰變恰好被鐳的衰變所平衡。由圖1可知，鐳的半衰期為1600年，而我們只對(duì)300年左右這一段時(shí)間感興趣，據(jù)此假設(shè)其每分鐘衰變數(shù)為常數(shù)r，設(shè)y(t)為t時(shí)刻每克白鉛中存在鉛-210的數(shù)量，y0為最初生產(chǎn)時(shí)（時(shí)刻t0)每克白鉛中存在的鉛-210的數(shù)量。記λ為鉛－210的衰變常數(shù)，考慮到鐳的衰變數(shù)，有如下模型

其解為y(t),r可通過(guò)實(shí)際測(cè)量得到，因此，只要知道y0，便可算出t-t0，從而確定畫(huà)的年齡，可對(duì)y0的變化區(qū)間進(jìn)行估算。鉛-210的初始量是與用來(lái)提取鉛金屬的礦石中的鐳-226處于放射性平衡狀態(tài)的。所以可通過(guò)對(duì)不同礦石樣品中鐳-226的衰變率的測(cè)定來(lái)得到白鉛中鉛-210的衰變數(shù)。通過(guò)測(cè)算可知，白鉛中的鉛-210的衰變數(shù)應(yīng)在0.18到140之間變動(dòng)。因?yàn)殂U-210的衰變數(shù)是與當(dāng)時(shí)的量成比例的，這意味著y0的變化區(qū)間太大了。由于我們的任務(wù)是區(qū)分17世紀(jì)的畫(huà)與現(xiàn)在的偽造品，為此若一幅畫(huà)與鉛-210的半衰期22年相比非常舊，那么在該幅畫(huà)的顏料樣品中，鉛-210的放射量就近似等于同一樣品中鐳-226的放射量。另一方面，若一幅畫(huà)是畫(huà)齡為20年左右的現(xiàn)代作品，則鉛-210的放射量比鐳-226的放射量要大得多。設(shè)，由模型的解可得因幾年之后釙-210的衰變率就等于鉛-210的衰變率而釙-210的衰變率容易測(cè)得，所以用釙-210的值代替鉛-210的相應(yīng)值。又鉛-210的半衰期為22年故，實(shí)測(cè)得r=0.8。人們測(cè)定了“Emmaus的信徒們”以及其他幾種已確認(rèn)的偽造品的釙-210和鐳-226的衰變率，結(jié)果如下表所示畫(huà)名釙-210的衰變鐳-226的衰變Emmaus的信徒洗足讀樂(lè)譜的婦人彈曼陀林的婦人做花邊的人歡笑的女孩8.512.610.38.21.55.20.80.260.30.171.46利用其中數(shù)據(jù)得此值大得不合實(shí)際。因此，這幅畫(huà)一定是現(xiàn)代的偽造品。完全類似的可以證明“洗足”“讀樂(lè)譜的婦人”“彈曼陀林的婦人”都是偽造品。而“做花邊的女孩”和“歡笑的女孩”就不可能是最近的偽造品，因?yàn)檫@兩幅畫(huà)的釙-210與鐳-226幾乎接近到放射平衡，而且在任何19世紀(jì)或20世紀(jì)的繪畫(huà)中都沒(méi)有觀察到這樣的平衡。小鴨吃魚(yú)問(wèn)題

設(shè)河邊點(diǎn)O處有條小魚(yú)，O的正對(duì)岸點(diǎn)為A，河寬OA＝h，鴨子從A出發(fā)游向點(diǎn)O，設(shè)鴨子在靜水中的速度為a，水流速度為b（a>b），且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn)O。求鴨子游過(guò)的軌跡方程。OA（h,o）xy順?biāo)较騊(x,y)abv首先建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)鴨子游動(dòng)的軌跡為y(t)且時(shí)刻t時(shí)鴨子所在的位置為P(x,y)。由于鴨子在任意時(shí)刻游動(dòng)的的實(shí)際方向是曲線的切線方向，而切線的斜率為，因此應(yīng)建立一個(gè)微分方程。由可得這是一個(gè)齊次方程，解得

餓狼追兔問(wèn)題現(xiàn)有一只兔子，一只狼，兔子位于狼的正西100米處。假設(shè)兔子與狼同時(shí)發(fā)現(xiàn)對(duì)方并一起起跑，兔子往正北60米處的巢穴跑，而狼在追兔子，已知兔子、狼是勻速跑且狼的速度是兔子的兩倍。問(wèn)題是兔子能否安全回到巢穴。首先建立坐標(biāo)系，兔子在O處，狼在A處。由于狼要盯著兔子追，所以狼行走的是一條曲線，且在同一時(shí)刻，曲線上狼的位置與兔子的位置的連線為曲線上該點(diǎn)處的切線。設(shè)狼的行走軌跡是y=f(x)，則有又因狼的速度是兔子的兩倍，所以在相同時(shí)間內(nèi)狼走的距離為兔子走的距離的兩倍。假設(shè)在某一時(shí)刻，兔子跑到(0,h)處，而狼在(x,y)處，則有即有兩邊求導(dǎo)并整理，得到下述模型這屬于可降階的二階微分方程，解得狼的行走軌跡因>60，所以狼追不上兔子。某些類型的導(dǎo)彈對(duì)目標(biāo)追擊的數(shù)學(xué)模型于此模型類似。

4微分方程模型與實(shí)驗(yàn)

4.1豬的最佳銷(xiāo)售與單擺運(yùn)動(dòng)問(wèn)題

4.1.1問(wèn)題及其分析

豬的最佳銷(xiāo)售時(shí)機(jī)問(wèn)題：對(duì)于豬的商業(yè)性飼養(yǎng)和銷(xiāo)售，人們總是希望獲得最大的利潤(rùn)，在市場(chǎng)需求不變的情況下，如果我們不考慮豬的飼養(yǎng)技術(shù)、水平，豬的類型等因素的影響，那么影響銷(xiāo)售利潤(rùn)的主要因素，就是銷(xiāo)售時(shí)機(jī)問(wèn)題，由于隨著豬的生長(zhǎng)，單位時(shí)間消耗的飼養(yǎng)費(fèi)用逐漸增多，而豬的體重增長(zhǎng)卻逐漸變慢，因此對(duì)豬的飼養(yǎng)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)是不合算的。

假定一頭豬在開(kāi)始飼養(yǎng)時(shí)的重量為x0，在飼養(yǎng)后任意時(shí)刻t的重量為x(t)，對(duì)于某一品種的豬，它的最大重量假定為X0，豬的最小出售體重為xs，相應(yīng)的飼養(yǎng)時(shí)間為ts。一頭豬從開(kāi)始飼養(yǎng)到時(shí)刻t所需的費(fèi)用為y(t)，同時(shí)我們假定反映豬體重變化速度的參數(shù)為α，豬在達(dá)到最大體重后，單位時(shí)間的飼養(yǎng)費(fèi)為γ，反映飼養(yǎng)費(fèi)用變化大小的參數(shù)為λ，請(qǐng)根據(jù)上面的假設(shè)，建立起豬的最佳銷(xiāo)售時(shí)機(jī)的數(shù)學(xué)模型，并用下面所給的數(shù)據(jù)驗(yàn)證你的模型。

假設(shè)X0=200（kg），xs=75（kg），α=0.5（kg/天），豬的市場(chǎng)銷(xiāo)售價(jià)設(shè)為c=6元/kg，γ=1.5（元/天），λ=1（元/天），x0=5kg。

問(wèn)題分析：由于豬在進(jìn)行飼養(yǎng)時(shí)已具有一定的體重，而其體重的增加隨飼養(yǎng)時(shí)間的延長(zhǎng)逐漸減慢，因此由Logistic模型可得；

又由于豬的體重增加，單位時(shí)間消耗的飼養(yǎng)費(fèi)用就越多，達(dá)到最大體重后，飼養(yǎng)費(fèi)用為常數(shù)γ，所以有

因此，得到微分方程：

（1）

對(duì)上式求解可得：

養(yǎng)豬能否獲利，主要看豬從出生到ts時(shí)，如果出售是否可以獲利，因此，獲利的充要條件為：

（2）

其中c0為仔豬的價(jià)格。

由（1）式可得：

解之可得：

將（1），（2）式代入可得：

(3)

所以只要（3）式成立，飼養(yǎng)就會(huì)獲利。

設(shè)豬的最佳出售時(shí)機(jī)為t*，由（1）式求導(dǎo)可得：

(4)

由盈虧平衡原理：即單位時(shí)間內(nèi)由豬增加體重所獲得的利潤(rùn)與消耗的飼養(yǎng)費(fèi)用相等，可得:

由（4）式可得：

解之可得：

若