第四節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程_第1頁
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一階線性方程對應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解常數(shù)變易法二階微分方程復(fù)習(xí):第四節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程一、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的概念及其性質(zhì)二階常系數(shù)齊次線性微分方程

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

證明解的線性組合對于二階常系數(shù)齊次線性微分方程，具有下面的性質(zhì)證畢問題:例如例如線性無關(guān)例如將其代入上方程,得故有特征方程特征根(p,q為常數(shù))是方程的解.二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解方法(1)

有兩個不相等的實根兩個線性無關(guān)的特解：得齊次方程的通解為設(shè)特征根為如特征方程為(2)

有兩個相等的實根一特解為得齊次方程的通解為特征根為如特征方程為(3)

有一對共軛復(fù)根重新組合得齊次方程的通解為設(shè)特征根為如特征方程為定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.總之解特征方程為解得故所求通解為解特征方程為解得故所求通解為(C1,C2為任意常數(shù)).解特征方程為解得故所求通解為解特征方程為解得方程的通解為

于是對其求導(dǎo)得所求特解為圖6.1解由題意可得微分方程其特征方程為特征根為所以方程的通解為若令則通解為四、小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解.

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