2023年高考模擬考數(shù)學(xué)試卷1（理）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE12023年高考數(shù)學(xué)模擬考試卷1（理）第Ⅰ卷一、選擇題1．已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部的和為（

）A．1 B． C． D．〖答案〗D〖解析〗，，故實(shí)部與虛部的和為，故選：D.2．已知的定義域?yàn)锳，集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗的定義域?yàn)锳，所以，所以或，①當(dāng)時(shí)，,滿足，所以符合題意；②當(dāng)時(shí)，，所以若，則有或，所以或（舍）③當(dāng)時(shí)，，所以若，則有或（舍），，綜上所述，，故選：B.3．在研究急剎車的停車距離問(wèn)題時(shí)，通常假定停車距離等于反應(yīng)距離（，單位：m）與制動(dòng)距離（，單位：m）之和.如圖為某實(shí)驗(yàn)所測(cè)得的數(shù)據(jù)，其中“KPH”表示剎車時(shí)汽車的初速度（單位：km/h）.根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以推測(cè)，下面四組函數(shù)中最適合描述，與的函數(shù)關(guān)系的是（

）A．， B．，C．， D．，〖答案〗B〖解析〗設(shè)，.由圖象知，過(guò)點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，.作出散點(diǎn)圖，如圖1.由圖1可得，與呈現(xiàn)線性關(guān)系，可選擇用.過(guò)點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，.作出散點(diǎn)圖，如圖2.由圖2可得，與呈現(xiàn)非線性關(guān)系，比較之下，可選擇用.故選：B.4．已知函數(shù)則函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗當(dāng)，即時(shí)，，，令，得，令，得，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由此得A和C和D不正確；當(dāng)，即時(shí)，，，令，得，令，得，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由此得B正確；故選：B5．若函數(shù)存在一個(gè)極大值與一個(gè)極小值滿足，則至少有（

）個(gè)單調(diào)區(qū)間.A．3 B．4 C．5 D．6〖答案〗B〖解析〗若函數(shù)存在一個(gè)極大值與一個(gè)極小值，則至少有3個(gè)單調(diào)區(qū)間，若有3個(gè)單調(diào)區(qū)間，不妨設(shè)的定義域?yàn)椋?，其中可以為，可以為，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（若定義域?yàn)閮?nèi)不連續(xù)不影響總體單調(diào)性），故，不合題意，若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有，不合題意；若有4個(gè)單調(diào)區(qū)間，例如的定義域?yàn)椋瑒t，令，解得或，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)存在一個(gè)極大值與一個(gè)極小值，且，滿足題意，此時(shí)有4個(gè)單調(diào)區(qū)間，綜上所述：至少有4個(gè)單調(diào)區(qū)間.故選：B.6．已知實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．2〖答案〗A〖解析〗令，則，由作出可行域如圖，則設(shè)點(diǎn)，其中P在可行域內(nèi)，，由圖可知當(dāng)P在C點(diǎn)時(shí)，直線PD斜率最小，當(dāng)P在B點(diǎn)時(shí)，直線PD斜率不存在，∴∵在上為增函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)．故選：A．7．在正方體中，點(diǎn)P在正方形內(nèi)，且不在棱上，則（

）A．在正方形內(nèi)一定存在一點(diǎn)，使得B．在正方形內(nèi)一定存在一點(diǎn)，使得C．在正方形內(nèi)一定存在一點(diǎn)，使得平面平面D．在正方形內(nèi)一定存在一點(diǎn)，使得平面〖答案〗B〖解析〗A、假設(shè)在正方形內(nèi)一定存在一點(diǎn)，使得，作,垂足分別為,連接，則為矩形，且與相交，故,由于，則，這與相交矛盾，故A錯(cuò)誤；B、假設(shè)P為正方形的中心，Q為正方形的中心，作,垂足分別為,連接，則為矩形，則,且為的中點(diǎn)，連接,則,因?yàn)椋?即，故B正確；C、在正方形內(nèi)一定存在一點(diǎn)，使得平面平面，由于平面平面,平面平面,故,而,則Q在上，這與題意矛盾，C錯(cuò)誤；D、假設(shè)在正方形內(nèi)一定存在一點(diǎn)，使得平面，平面,則,又平面平面，故,而平面，故平面，由于平面,故重合，與題意不符，故D錯(cuò)誤，故選∶B8．對(duì)于平面上點(diǎn)和曲線，任取上一點(diǎn)，若線段的長(zhǎng)度存在最小值，則稱該值為點(diǎn)到曲線的距離，記作.若曲線是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，則點(diǎn)集所表示的圖形的面積為（

）A．36 B．C． D．〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意作出點(diǎn)集的區(qū)域如圖陰影所示，其中四邊形，，為矩形且邊長(zhǎng)分別為1,6，圓都是以1為半徑的，過(guò)點(diǎn)作于，連接,則，，所以則是以為邊長(zhǎng)的等邊三角形，矩形的面積，，扇形的面積為，，，所以.故選：D.9．一個(gè)宿舍的6名同學(xué)被邀請(qǐng)參加一個(gè)節(jié)目，要求必須有人去，但去幾個(gè)人自行決定．其中甲和乙兩名同學(xué)要么都去，要么都不去，則該宿舍同學(xué)的去法共有（

）A．15種 B．28種 C．31種 D．63種〖答案〗C〖解析〗若甲和乙兩名同學(xué)都去，則去的人數(shù)可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以滿足條件的去法數(shù)為種；若甲和乙兩名同學(xué)都不去，則去的人數(shù)可能是1人，2人，3人，4人，則滿足條件去法有種；故該宿舍同學(xué)的去法共有種．故選：C.10．已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，若，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗如圖，由已知可設(shè)，又因?yàn)楦鶕?jù)橢圓的定義，在中由余弦定理得，所以故橢圓方程為：故選：B11．已知函數(shù)，對(duì)于任意的，方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線有且僅有1個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)?shù)茫海Y(jié)合函數(shù)的圖象可知，，解得：.故選：D12．已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗構(gòu)造，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，所以構(gòu)造，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，令，則，所以，綜上，故選：.第Ⅱ卷二、填空題13．設(shè)，是x，y軸正方向上的單位向量，，，則向量，的夾角為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗①，②,得，得，，14．已知雙曲線的焦距為，過(guò)的右焦點(diǎn)的直線與的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且，則的漸近線方程為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，?huà)出示意圖如圖，設(shè)，因?yàn)?，則，所以，則，所以.又，所以，所以，根據(jù)，所以.又因?yàn)?，所?在直角△AOB中，，所以，化簡(jiǎn)得：，所以，則漸近線方程為：，故〖答案〗為:.15．已知數(shù)列滿足首項(xiàng)，，則數(shù)列的前2n項(xiàng)的和為_(kāi)____________．〖答案〗〖解析〗當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即，此時(shí)為以為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，故，即..故〖答案〗為：.16．在三角形中，，，為的中點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以，由三角形三邊關(guān)系可知：且，解得：，在三角形ABD中，由余弦定理得：，在三角形ACD中，由余弦定理得：，因?yàn)?，所以，解得：，由余弦定理得：，，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，解得：，因?yàn)?，故，由于在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故當(dāng)取得最小值時(shí)，取得最大值，此時(shí)，.故〖答案〗為：.三、解答題17．（12分）數(shù)列滿足，點(diǎn)在直線上，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）是否存在，使得對(duì)任意的，都有．解：（1）點(diǎn)在直線上，所以又，∴，則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．∴又當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)，由

①，得

②由①－②整理得：，∵，∴∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，故（2）設(shè)，由當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或2時(shí)，取得最大值，即取得最大所以存在，2，使得對(duì)任意的，都有18．（12分）如圖，將等邊繞邊旋轉(zhuǎn)到等邊的位置，連接．（1）求證：；（2）若是棱上一點(diǎn)，且兩三角形的面積滿足，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：設(shè)是的中點(diǎn)，連接，，由題知：，，則，，又，平面，所以平面，又平面，所以．（2）解：由題知，、、兩兩垂直，以為原點(diǎn)，方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)椋?，設(shè)，則，則，，，，．所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，設(shè)直線與平面所成的角為，則．所以直線與平面所成角的正弦值為.19．（12分）甲、乙兩位選手參加一項(xiàng)射擊比賽，每位選手各有n個(gè)射擊目標(biāo)，他們擊中每一個(gè)目標(biāo)的概率均為，且相互獨(dú)立．甲選手依次對(duì)所有n個(gè)目標(biāo)進(jìn)行射擊，且每擊中一個(gè)目標(biāo)可獲得1顆星；乙選手按規(guī)定的順序依次對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中一個(gè)目標(biāo)后可繼續(xù)對(duì)下一個(gè)目標(biāo)進(jìn)行射擊直至有目標(biāo)未被擊中時(shí)為止，且每擊中一個(gè)目標(biāo)可獲得2顆星．（1）當(dāng)時(shí)，分別求甲、乙兩位選手各擊中3個(gè)目標(biāo)的概率；（2）若累計(jì)獲得星數(shù)多的選手獲勝，討論甲、乙兩位選手誰(shuí)更可能獲勝．解：（1）當(dāng)時(shí)，甲擊中3個(gè)目標(biāo)的概率為，乙擊中3個(gè)目標(biāo)，則前3個(gè)目標(biāo)被擊中，第4個(gè)目標(biāo)未被擊中，其概率為.（2）設(shè)為甲累計(jì)獲得的星數(shù)，則，設(shè)為乙累計(jì)獲得的星數(shù)，則，設(shè)擊中了m個(gè)目標(biāo)，其中，則甲獲得星數(shù)為m的概率為，所以甲累計(jì)獲得星數(shù)為;記，所以，所以,乙獲得星數(shù)為的概率為，當(dāng)時(shí)，，所以乙累計(jì)獲得星數(shù)為，記，則，所以，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，乙更可能獲勝；當(dāng)時(shí)，甲更可能獲勝.20．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，直線與圓相切．（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)A，B，M為線段AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線OM與橢圓相交于點(diǎn)P，且O點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，記，的面積分別為，，求的取值范圍．解：（1）∵拋物線的焦點(diǎn)為，∴，從而①，∵直線與圓相切，∴②，由①②得：，，∴橢圓的方程為：（2）∵M(jìn)為線段AB的中點(diǎn)，∴，①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，軸，由題意知，結(jié)合橢圓的對(duì)稱性，不妨設(shè)OA所在直線的方程為，得，從而，，②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，由可得：，由可得：（*）∴，，∵O點(diǎn)在以AB為直徑的圓上，∴，即，∴，即，（**）滿足（*）式．∴線段AB的中點(diǎn)，若時(shí)，由（**）可得：，此時(shí)，若時(shí)，射線OM所在的直線方程為，由可得：，，隨著的增大而減小，∵，∴，∴綜上，21．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，證明:.（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)且求的取值范圍.（1）證明：當(dāng)時(shí),,則.當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,則,故.（2）解：由題意得，則，，從而，，，故，因?yàn)?，所以，即，設(shè),則.設(shè),則.設(shè),則，由（1）可知在上恒成立,從而在上單調(diào)遞增,故,即在上恒成立,所以在上單調(diào)遞增,所以,即,即的取值范圍為.（二）選考題：請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分．22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為，直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，．（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）若，求直線l的斜率．解：（1）∵，則，∴，即，故曲線C的直角坐標(biāo)方程為.（2）將直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）代入曲線C的直角坐標(biāo)方程為，得，整理得，設(shè)A，B兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，則，∵，則，聯(lián)立，解得，將代入得，解得，故直線l的斜率為.23．[選修4-5：不等式選講]（10分）設(shè)、、為正數(shù)，且.證明：（1）；（2）.（1）證明：因?yàn)?、、為正?shù)，由可得，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，故.（2）證明：由基本不等式可得，，，由不等式的基本性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故.2023年高考數(shù)學(xué)模擬考試卷1（理）第Ⅰ卷一、選擇題1．已知復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部的和為（

）A．1 B． C． D．〖答案〗D〖解析〗，，故實(shí)部與虛部的和為，故選：D.2．已知的定義域?yàn)锳，集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗B〖解析〗的定義域?yàn)锳，所以，所以或，①當(dāng)時(shí)，,滿足，所以符合題意；②當(dāng)時(shí)，，所以若，則有或，所以或（舍）③當(dāng)時(shí)，，所以若，則有或（舍），，綜上所述，，故選：B.3．在研究急剎車的停車距離問(wèn)題時(shí)，通常假定停車距離等于反應(yīng)距離（，單位：m）與制動(dòng)距離（，單位：m）之和.如圖為某實(shí)驗(yàn)所測(cè)得的數(shù)據(jù)，其中“KPH”表示剎車時(shí)汽車的初速度（單位：km/h）.根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以推測(cè)，下面四組函數(shù)中最適合描述，與的函數(shù)關(guān)系的是（

）A．， B．，C．， D．，〖答案〗B〖解析〗設(shè)，.由圖象知，過(guò)點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，.作出散點(diǎn)圖，如圖1.由圖1可得，與呈現(xiàn)線性關(guān)系，可選擇用.過(guò)點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，.作出散點(diǎn)圖，如圖2.由圖2可得，與呈現(xiàn)非線性關(guān)系，比較之下，可選擇用.故選：B.4．已知函數(shù)則函數(shù)的圖象大致是（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗當(dāng)，即時(shí)，，，令，得，令，得，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由此得A和C和D不正確；當(dāng)，即時(shí)，，，令，得，令，得，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，由此得B正確；故選：B5．若函數(shù)存在一個(gè)極大值與一個(gè)極小值滿足，則至少有（

）個(gè)單調(diào)區(qū)間.A．3 B．4 C．5 D．6〖答案〗B〖解析〗若函數(shù)存在一個(gè)極大值與一個(gè)極小值，則至少有3個(gè)單調(diào)區(qū)間，若有3個(gè)單調(diào)區(qū)間，不妨設(shè)的定義域?yàn)椋?，其中可以為，可以為，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（若定義域?yàn)閮?nèi)不連續(xù)不影響總體單調(diào)性），故，不合題意，若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有，不合題意；若有4個(gè)單調(diào)區(qū)間，例如的定義域?yàn)椋瑒t，令，解得或，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)存在一個(gè)極大值與一個(gè)極小值，且，滿足題意，此時(shí)有4個(gè)單調(diào)區(qū)間，綜上所述：至少有4個(gè)單調(diào)區(qū)間.故選：B.6．已知實(shí)數(shù)x、y滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．2〖答案〗A〖解析〗令，則，由作出可行域如圖，則設(shè)點(diǎn)，其中P在可行域內(nèi)，，由圖可知當(dāng)P在C點(diǎn)時(shí)，直線PD斜率最小，當(dāng)P在B點(diǎn)時(shí)，直線PD斜率不存在，∴∵在上為增函數(shù)，∴當(dāng)時(shí)．故選：A．7．在正方體中，點(diǎn)P在正方形內(nèi)，且不在棱上，則（

）A．在正方形內(nèi)一定存在一點(diǎn)，使得B．在正方形內(nèi)一定存在一點(diǎn)，使得C．在正方形內(nèi)一定存在一點(diǎn)，使得平面平面D．在正方形內(nèi)一定存在一點(diǎn)，使得平面〖答案〗B〖解析〗A、假設(shè)在正方形內(nèi)一定存在一點(diǎn)，使得，作,垂足分別為,連接，則為矩形，且與相交，故,由于，則，這與相交矛盾，故A錯(cuò)誤；B、假設(shè)P為正方形的中心，Q為正方形的中心，作,垂足分別為,連接，則為矩形，則,且為的中點(diǎn)，連接,則,因?yàn)椋?即，故B正確；C、在正方形內(nèi)一定存在一點(diǎn)，使得平面平面，由于平面平面,平面平面,故,而,則Q在上，這與題意矛盾，C錯(cuò)誤；D、假設(shè)在正方形內(nèi)一定存在一點(diǎn)，使得平面，平面,則,又平面平面，故,而平面，故平面，由于平面,故重合，與題意不符，故D錯(cuò)誤，故選∶B8．對(duì)于平面上點(diǎn)和曲線，任取上一點(diǎn)，若線段的長(zhǎng)度存在最小值，則稱該值為點(diǎn)到曲線的距離，記作.若曲線是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，則點(diǎn)集所表示的圖形的面積為（

）A．36 B．C． D．〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意作出點(diǎn)集的區(qū)域如圖陰影所示，其中四邊形，，為矩形且邊長(zhǎng)分別為1,6，圓都是以1為半徑的，過(guò)點(diǎn)作于，連接,則，，所以則是以為邊長(zhǎng)的等邊三角形，矩形的面積，，扇形的面積為，，，所以.故選：D.9．一個(gè)宿舍的6名同學(xué)被邀請(qǐng)參加一個(gè)節(jié)目，要求必須有人去，但去幾個(gè)人自行決定．其中甲和乙兩名同學(xué)要么都去，要么都不去，則該宿舍同學(xué)的去法共有（

）A．15種 B．28種 C．31種 D．63種〖答案〗C〖解析〗若甲和乙兩名同學(xué)都去，則去的人數(shù)可能是2人，3人，4人，5人，6人，所以滿足條件的去法數(shù)為種；若甲和乙兩名同學(xué)都不去，則去的人數(shù)可能是1人，2人，3人，4人，則滿足條件去法有種；故該宿舍同學(xué)的去法共有種．故選：C.10．已知橢圓C的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與C交于P，Q兩點(diǎn)，若，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．〖答案〗B〖解析〗如圖，由已知可設(shè)，又因?yàn)楦鶕?jù)橢圓的定義，在中由余弦定理得，所以故橢圓方程為：故選：B11．已知函數(shù)，對(duì)于任意的，方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍為（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗方程恰有一個(gè)實(shí)數(shù)根，等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線有且僅有1個(gè)交點(diǎn)．當(dāng)?shù)茫海Y(jié)合函數(shù)的圖象可知，，解得：.故選：D12．已知，則的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．〖答案〗A〖解析〗構(gòu)造，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，當(dāng)時(shí)，，所以構(gòu)造，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，令，則，所以，綜上，故選：.第Ⅱ卷二、填空題13．設(shè)，是x，y軸正方向上的單位向量，，，則向量，的夾角為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗①，②,得，得，，14．已知雙曲線的焦距為，過(guò)的右焦點(diǎn)的直線與的兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且，則的漸近線方程為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，?huà)出示意圖如圖，設(shè)，因?yàn)?，則，所以，則，所以.又，所以，所以，根據(jù)，所以.又因?yàn)?，所?在直角△AOB中，，所以，化簡(jiǎn)得：，所以，則漸近線方程為：，故〖答案〗為:.15．已知數(shù)列滿足首項(xiàng)，，則數(shù)列的前2n項(xiàng)的和為_(kāi)____________．〖答案〗〖解析〗當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，即，此時(shí)為以為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，故，即..故〖答案〗為：.16．在三角形中，，，為的中點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以，由三角形三邊關(guān)系可知：且，解得：，在三角形ABD中，由余弦定理得：，在三角形ACD中，由余弦定理得：，因?yàn)椋?，解得：，由余弦定理得：，，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，解得：，因?yàn)?，故，由于在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故當(dāng)取得最小值時(shí)，取得最大值，此時(shí)，.故〖答案〗為：.三、解答題17．（12分）數(shù)列滿足，點(diǎn)在直線上，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，．（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）是否存在，使得對(duì)任意的，都有．解：（1）點(diǎn)在直線上，所以又，∴，則數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．∴又當(dāng)時(shí)，得，當(dāng)，由

①，得

②由①－②整理得：，∵，∴∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，故（2）設(shè)，由當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或2時(shí)，取得最大值，即取得最大所以存在，2，使得對(duì)任意的，都有18．（12分）如圖，將等邊繞邊旋轉(zhuǎn)到等邊的位置，連接．（1）求證：；（2）若是棱上一點(diǎn)，且兩三角形的面積滿足，求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：設(shè)是的中點(diǎn)，連接，，由題知：，，則，，又，平面，所以平面，又平面，所以．（2）解：由題知，、、兩兩垂直，以為原點(diǎn)，方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，則，，，，．所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，設(shè)直線與平面所成的角為，則．所以直線與平面所成角的正弦值為.19．（12分）甲、乙兩位選手參加一項(xiàng)射擊比賽，每位選手各有n個(gè)射擊目標(biāo)，他們擊中每一個(gè)目標(biāo)的概率均為，且相互獨(dú)立．甲選手依次對(duì)所有n個(gè)目標(biāo)進(jìn)行射擊，且每擊中一個(gè)目標(biāo)可獲得1顆星；乙選手按規(guī)定的順序依次對(duì)目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中一個(gè)目標(biāo)后可繼續(xù)對(duì)下一個(gè)目標(biāo)進(jìn)行射擊直至有目標(biāo)未被擊中時(shí)為止，且每擊中一個(gè)目標(biāo)可獲得2顆星．（1）當(dāng)時(shí)，分別求甲、乙兩位選手各擊中3個(gè)目標(biāo)的概率；（2）若累計(jì)獲得星數(shù)多的選手獲勝，討論甲、乙兩位選手誰(shuí)更可能獲勝．解：（1）當(dāng)時(shí)，甲擊中3個(gè)目標(biāo)的概率為，乙擊中3個(gè)目標(biāo)，則前3個(gè)目標(biāo)被擊中，第4個(gè)目標(biāo)未被擊中，其概率為.（2）設(shè)為甲累計(jì)獲得的星數(shù)，則，設(shè)為乙累計(jì)獲得的星數(shù)，則，設(shè)擊中了m個(gè)目標(biāo)，其中，則甲獲得星數(shù)為m的概率為，所以甲累計(jì)獲得星數(shù)為;記，所以，所以,乙獲得星數(shù)為的概率為，當(dāng)時(shí)，，所以乙累計(jì)獲得星數(shù)為，記，則，所以，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，乙更可能獲勝；當(dāng)時(shí)，甲更可能獲勝.20．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的右焦點(diǎn)重合，直線與圓相切