2022-2023學年廣東省深圳市高二下學期期末數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1廣東省深圳市2022-2023學年高二下學期期末數(shù)學試題本試卷共22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答題前，考生請務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的〖答案〗信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗，〖答案〗不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，〖答案〗必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的〖答案〗，然后再寫上新的〖答案〗；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的〖答案〗無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由集合，根據(jù)集合交集的概念與運算，可得.故選：B.2.若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的共軛復數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意，，所以的共軛復數(shù).故選：C.3.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A．4.已知，若，則（）A.1 B.-1 C.4 D.-4〖答案〗C〖解析〗因為，所以，解得：.故選：C.5.白酒又名燒酒?白干，是世界六大蒸餾酒之一，據(jù)《本草綱目》記載：“燒酒非古法也，自元時創(chuàng)始，其法用濃酒和糟入甑（蒸鍋），蒸令氣上，用器承滴露”，而飲用白酒則有專門的白酒杯，圖1是某白酒杯，可將它近似的看成一個圓柱挖去一個圓臺構成的組合體，圖2是其直觀圖（圖中數(shù)據(jù)的單位為厘米），則該組合體的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題可知圓柱部分的底面半徑，高為，所以圓柱的體積為，圓臺部分上底面半徑為，下底面半徑為，高為，所以圓臺部分的體積為，則該組合體的體積為.故選：D.6.已知正實數(shù)m，n滿足，則下列不等式恒成立的為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對于A，，當且僅當時，取等號，所以，故A錯誤；對于B，因為，所以，所以，當且僅當時，取等號，所以，故B錯誤；對于C，，當且僅當，即時，取等號，所以，故C正確；對于D，因為，所以，所以，當且僅當時，取等號，所以，故D錯誤.故選：C.7.已知橢圓的右焦點為，過原點的直線與交于兩點，若，且，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，設橢圓的左焦點為，由橢圓的對稱性可得，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為矩形，所以，由，得，又，所以，在中，由，得，即，所以，即的離心率為.故選：A.8.已知點在直線上運動，若過點恰有三條不同的直線與曲線相切，則點的軌跡長度為（）A.2 B.4 C.6 D.8〖答案〗D〖解析〗由題意，設點，過點的直線與曲線相切于點，∴，的方程為，∴，化簡得，設，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∵若過點恰有三條不同的直線與曲線相切，，∴滿足條件的恰有三個，∴，即，∴點的軌跡長度為8.故選：D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.某校舉辦數(shù)學文化節(jié)活動，10名教師組成評委小組，給參加數(shù)學演講比賽的選手打分.已知各位評委對某名選手的打分如下：則下列結(jié)論正確的為（）A.平均數(shù)為48 B.極差為9C.中位數(shù)為47 D.第75百分位數(shù)為51〖答案〗BC〖解析〗對于A項，平均數(shù)為，故A項錯誤；對于B項，極差為，故B項正確；對于C項，這組數(shù)從小到大排序為：、、、、、、、、、，所以中位數(shù)為.故C項正確；對于D項，因為，所以第75百分位數(shù)為49.故選：BC.10.已知函數(shù)的圖像關于直線對稱，則（）A. B.在區(qū)間單調(diào)遞減C.在區(qū)間恰有一個極大值點 D.在區(qū)間有兩個零點〖答案〗AC〖解析〗函數(shù)關于直線對稱，所以，解得，因為，所以，所以．則，故A正確；當時，則，所以函數(shù)在區(qū)間上先增后減，故B不正確；令，則，又，所以可得是函數(shù)的極大值點，即在區(qū)間恰有一個極大值點，故C正確；令，則，又，所以可得是函數(shù)的零點，即在區(qū)間恰有一個零點，故D不正確.故選：AC.11.已知拋物線的焦點為，準線為，過的一條直線與交于，兩點，若點在上運動，則（）A.當時，B.當時，C.當時，三點的縱坐標成等差數(shù)列D.當時，〖答案〗ACD〖解析〗對于選項A：如圖所示，由拋物線定義可知，若，則，故選項A正確；對于選項B：如圖所示，當時，為正三角形，所以直線的傾斜角為，設直線的方程為，由可得，，所以，故選項B錯誤；對于選項C：過點作直線垂直于，垂足分別為，作的中點N，如圖所示，由選項B可知，又因為，所以，由拋物線定義可知，所以，所以M為的中點，所以三點的縱坐標成等差數(shù)列，故選項正確；對于選項D：如圖所示，設，直線的斜率為，直線的斜率為，則，由B項可知，由選項C可知，所以，所以，所以，又因為，所以，且，由基本不等式可得，當且僅當時等號成立.故選項D正確.故選：ACD.12.在四面體中，有四條棱的長度為1，兩條棱的長度為，則（）A.當時，B.當時，四面體的外接球的表面積為C.的取值范圍為D.四面體體積的最大值為〖答案〗ABD〖解析〗選項，當時，易知與分別為等腰三角形、等邊三角形，如圖1，作中點，，因為，平面，所以平面，又平面，所以，故選項正確；選項，當時，易知四面體的所有對棱相等，如圖2，可將四面體補為長方體，其中四面體的各條棱為該長方體各面的對角線，所以四面體的外接球即為該長方體的外接球，易知長方體的外接球的直徑即為長方體的體對角線，設該長方體的三條棱的長度分別為，則，將三式相加可得，得到外接球的半徑為，所以四面體的外接球的表面積為，故選項B正確；選項C，由上分析知：四面體有兩種情況，不妨假設情況如下，當時，作的中點，則在中，由三角形性質(zhì)可得，得到；當時，作的中點，則在中由三角形性質(zhì)可知，得到，所以，故選項錯誤；選項D，當時，若四面體的體積最大，則底面上的高為1，即平面，此時四面體體積的最大值為，當時，由C分析知：，則的面積為，四面體的體積為，當且僅當，即時取等號，又，所以四面體體積的最大值為，故選項D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式中常數(shù)項是___________（用數(shù)字作答）〖答案〗15〖解析〗展開式的通項，令，解得，所以常數(shù)項是.故〖答案〗為：15.14.記為等比數(shù)列的前項和，若，，則__________.〖答案〗〖解析〗設等比數(shù)列的公比為，由，即，解得，所以.故〖答案〗為：.15.已知定義在上的函數(shù)，滿足，當時，，若方程在區(qū)間內(nèi)有實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗當時，則，所以，即，當時，則，所以，即，則，當時，則，所以，即，畫出的圖象如下：由圖象可知，當時，方程在區(qū)間內(nèi)有實數(shù)解，所以實數(shù)的取值范圍為.故〖答案〗為：.16.已知線段是圓上的一條動弦，且，設點為坐標原點，則的最大值為__________；如果直線與相交于點，則的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗設為中點，則，點的軌跡方程為，，則最大值為，由直線，，可得且過定點過定點，點的軌跡是以為直徑端點的圓，其方程為，，，，，的最小值為.故〖答案〗為：；.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列滿足.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.（1）證明：，數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，，則；（2）解：，，；綜上，，.18.記的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，且，求的面積.解：（1）由正弦定理及，得，又，，，.（2）記的面積為，由余弦定理，及，可得，將代入上式，得，故，.19.如圖，已知三棱錐的三個頂點在圓上，為圓的直徑，是邊長為2的正三角形，且平面平面.（1）證明：平面平面；（2）若，點為的中點，點為圓上一點，且與位于直徑的兩側(cè)，當平面時，求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：的中點為等邊三角形，，平面平面，平面平面平面，平面，為圓的直徑，，又平面PAC，平面，平面PAC；平面平面平面；（2）解：連接OE，OF，由三角形中位線的性質(zhì)可知，又平面平面平面，平面平面平面，平面平面，平面平面，由題可知，則，取中點，連接，則平面平面，由（1）可知平面，即PM，MO，AC兩兩垂直，以M為原點，如下圖：建立空間直角坐標系，，，設平面的一個法向量，則，即，令，則，由（1）可知平面的一個法向量，設平面與平面的夾角為，則，平面與平面的夾角的余弦值為.20.甲參加某多輪趣味游戲，在兩個不透明的盒內(nèi)摸球.規(guī)定在一輪游戲中甲先在盒內(nèi)隨機取出1個小球放入盒，再在盒內(nèi)陏機取出2個小球，若每輪游戲的結(jié)果相互獨立，且每輪游戲開始前，兩盒內(nèi)小球的數(shù)量始終如下表（小球除顏色外大小質(zhì)地完全相同）：紅球藍球白球盒221盒221（1）求在一輪游戲中甲從兩盒內(nèi)取出的小球均為白球的概率；（2）已知每輪游戲的得分規(guī)則為：若從盒內(nèi)取出的小球均為紅球，則甲獲得5分；若從盒內(nèi)取出的小球中只有1個紅球，則甲獲得3分；若從盒內(nèi)取出的小球沒有紅球，則甲獲得1分.（i）記甲在一輪游戲中的得分為，求的分布列；（ii）假設甲共參加了5輪游戲，記5輪游戲甲的總得分為，求.解：（1）記“在一輪游戲中甲從兩盒內(nèi)取出的小球均為白球”為事件，所以由條件概率可知，所以在一輪游戲中甲從兩盒內(nèi)取出的小球均為白球的概率為.（2）（i）由題意，可知隨機變量可以取，可得，，，所以隨機變量的分布列為135（ii）由（i）可知，因為每輪游戲的結(jié)果相互獨立，且甲共參加了5輪游戲，所以.21.已知.（1）當時，討論的單調(diào)性；（2）若關于的不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1），當時，由，解得，由，解得，當時，由，解得，由，解得，當時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，當時，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）由，得，①（法一）令，則，當時，不滿足條件，不成立，當時，令，則，則在上單調(diào)遞增，且，，使得，即，當時，，即，當時，，即，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則當時，取得最小值，由，取對數(shù)得，則，要使不等式①恒成立，需，解得，實數(shù)的取值范圍是.（法二）由（1）解得，令，則，令在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，使得，即，且當時，，即，當時，，即，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則當時，取得最大值，由，得，則，實數(shù)的取值范圍是.（法三）先證明不等式（等號在時取得）成立，設，則，當時，時，，，即不等式成立，則，令在區(qū)間上單調(diào)遞減，，，使得，即，即存在實數(shù)使得成立，則上式等號能夠取得，的最大值為，因此，實數(shù)的取值范圍是.22.已知雙曲線的離心率為，且的一個焦點到其一條漸近線的距離為1.（1）求的方程；（2）設點為的左頂點，若過點的直線與的右支交于兩點，且直線與圓分別交于兩點，記四邊形的面積為，的面積為，求的取值范圍.解：（1）由題可知是雙曲線的一條漸近線方程，右焦點為，所以右焦點到漸近線的距離，又因為，所以，則依題意可得，由離心率，解得，所以雙曲線的方程為.（2）如圖所示，由（1）知，，設直線的方程：，由得，因為直線與雙曲線的右支交于兩點，所以解得，，所以，設，且，所以，即，所以，又因為，所以，由，得，所以，同理可得，由得，所以，同理可得，所以，令，由，得，所以，令，因為在區(qū)間上為增函數(shù)，所以的取值范圍為，又因為，所以的取值范圍為.廣東省深圳市2022-2023學年高二下學期期末數(shù)學試題本試卷共22小題，滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答題前，考生請務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名?準考證號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型（A）填涂在答題卡相應位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的〖答案〗信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗，〖答案〗不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，〖答案〗必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的〖答案〗，然后再寫上新的〖答案〗；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的〖答案〗無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回.一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由集合，根據(jù)集合交集的概念與運算，可得.故選：B.2.若復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則的共軛復數(shù)（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意，，所以的共軛復數(shù).故選：C.3.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A．4.已知，若，則（）A.1 B.-1 C.4 D.-4〖答案〗C〖解析〗因為，所以，解得：.故選：C.5.白酒又名燒酒?白干，是世界六大蒸餾酒之一，據(jù)《本草綱目》記載：“燒酒非古法也，自元時創(chuàng)始，其法用濃酒和糟入甑（蒸鍋），蒸令氣上，用器承滴露”，而飲用白酒則有專門的白酒杯，圖1是某白酒杯，可將它近似的看成一個圓柱挖去一個圓臺構成的組合體，圖2是其直觀圖（圖中數(shù)據(jù)的單位為厘米），則該組合體的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題可知圓柱部分的底面半徑，高為，所以圓柱的體積為，圓臺部分上底面半徑為，下底面半徑為，高為，所以圓臺部分的體積為，則該組合體的體積為.故選：D.6.已知正實數(shù)m，n滿足，則下列不等式恒成立的為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗對于A，，當且僅當時，取等號，所以，故A錯誤；對于B，因為，所以，所以，當且僅當時，取等號，所以，故B錯誤；對于C，，當且僅當，即時，取等號，所以，故C正確；對于D，因為，所以，所以，當且僅當時，取等號，所以，故D錯誤.故選：C.7.已知橢圓的右焦點為，過原點的直線與交于兩點，若，且，則的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖，設橢圓的左焦點為，由橢圓的對稱性可得，所以四邊形為平行四邊形，又，所以四邊形為矩形，所以，由，得，又，所以，在中，由，得，即，所以，即的離心率為.故選：A.8.已知點在直線上運動，若過點恰有三條不同的直線與曲線相切，則點的軌跡長度為（）A.2 B.4 C.6 D.8〖答案〗D〖解析〗由題意，設點，過點的直線與曲線相切于點，∴，的方程為，∴，化簡得，設，∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∵若過點恰有三條不同的直線與曲線相切，，∴滿足條件的恰有三個，∴，即，∴點的軌跡長度為8.故選：D.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.某校舉辦數(shù)學文化節(jié)活動，10名教師組成評委小組，給參加數(shù)學演講比賽的選手打分.已知各位評委對某名選手的打分如下：則下列結(jié)論正確的為（）A.平均數(shù)為48 B.極差為9C.中位數(shù)為47 D.第75百分位數(shù)為51〖答案〗BC〖解析〗對于A項，平均數(shù)為，故A項錯誤；對于B項，極差為，故B項正確；對于C項，這組數(shù)從小到大排序為：、、、、、、、、、，所以中位數(shù)為.故C項正確；對于D項，因為，所以第75百分位數(shù)為49.故選：BC.10.已知函數(shù)的圖像關于直線對稱，則（）A. B.在區(qū)間單調(diào)遞減C.在區(qū)間恰有一個極大值點 D.在區(qū)間有兩個零點〖答案〗AC〖解析〗函數(shù)關于直線對稱，所以，解得，因為，所以，所以．則，故A正確；當時，則，所以函數(shù)在區(qū)間上先增后減，故B不正確；令，則，又，所以可得是函數(shù)的極大值點，即在區(qū)間恰有一個極大值點，故C正確；令，則，又，所以可得是函數(shù)的零點，即在區(qū)間恰有一個零點，故D不正確.故選：AC.11.已知拋物線的焦點為，準線為，過的一條直線與交于，兩點，若點在上運動，則（）A.當時，B.當時，C.當時，三點的縱坐標成等差數(shù)列D.當時，〖答案〗ACD〖解析〗對于選項A：如圖所示，由拋物線定義可知，若，則，故選項A正確；對于選項B：如圖所示，當時，為正三角形，所以直線的傾斜角為，設直線的方程為，由可得，，所以，故選項B錯誤；對于選項C：過點作直線垂直于，垂足分別為，作的中點N，如圖所示，由選項B可知，又因為，所以，由拋物線定義可知，所以，所以M為的中點，所以三點的縱坐標成等差數(shù)列，故選項正確；對于選項D：如圖所示，設，直線的斜率為，直線的斜率為，則，由B項可知，由選項C可知，所以，所以，所以，又因為，所以，且，由基本不等式可得，當且僅當時等號成立.故選項D正確.故選：ACD.12.在四面體中，有四條棱的長度為1，兩條棱的長度為，則（）A.當時，B.當時，四面體的外接球的表面積為C.的取值范圍為D.四面體體積的最大值為〖答案〗ABD〖解析〗選項，當時，易知與分別為等腰三角形、等邊三角形，如圖1，作中點，，因為，平面，所以平面，又平面，所以，故選項正確；選項，當時，易知四面體的所有對棱相等，如圖2，可將四面體補為長方體，其中四面體的各條棱為該長方體各面的對角線，所以四面體的外接球即為該長方體的外接球，易知長方體的外接球的直徑即為長方體的體對角線，設該長方體的三條棱的長度分別為，則，將三式相加可得，得到外接球的半徑為，所以四面體的外接球的表面積為，故選項B正確；選項C，由上分析知：四面體有兩種情況，不妨假設情況如下，當時，作的中點，則在中，由三角形性質(zhì)可得，得到；當時，作的中點，則在中由三角形性質(zhì)可知，得到，所以，故選項錯誤；選項D，當時，若四面體的體積最大，則底面上的高為1，即平面，此時四面體體積的最大值為，當時，由C分析知：，則的面積為，四面體的體積為，當且僅當，即時取等號，又，所以四面體體積的最大值為，故選項D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.的展開式中常數(shù)項是___________（用數(shù)字作答）〖答案〗15〖解析〗展開式的通項，令，解得，所以常數(shù)項是.故〖答案〗為：15.14.記為等比數(shù)列的前項和，若，，則__________.〖答案〗〖解析〗設等比數(shù)列的公比為，由，即，解得，所以.故〖答案〗為：.15.已知定義在上的函數(shù)，滿足，當時，，若方程在區(qū)間內(nèi)有實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗當時，則，所以，即，當時，則，所以，即，則，當時，則，所以，即，畫出的圖象如下：由圖象可知，當時，方程在區(qū)間內(nèi)有實數(shù)解，所以實數(shù)的取值范圍為.故〖答案〗為：.16.已知線段是圓上的一條動弦，且，設點為坐標原點，則的最大值為__________；如果直線與相交于點，則的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗設為中點，則，點的軌跡方程為，，則最大值為，由直線，，可得且過定點過定點，點的軌跡是以為直徑端點的圓，其方程為，，，，，的最小值為.故〖答案〗為：；.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知數(shù)列滿足.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.（1）證明：，數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，，則；（2）解：，，；綜上，，.18.記的內(nèi)角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，且，求的面積.解：（1）由正弦定理及，得，又，，，.（2）記的面積為，由余弦定理，及，可得，將代入上式，得，故，.19.如圖，已知三棱錐的三個頂點在圓上，為圓的直徑，是邊長為2的正三角形，且平面平面.（1）證明：平面平面；（2）若，點為的中點，點為圓上一點，且與位于直徑的兩側(cè)，當平面時，求平面與平面的夾角的余弦值.（1）證明：的中點為等邊三角形，，平面平面，平面平面平面，平面，為圓的直徑，，又平面PAC，平面，平面PAC；平面平面平面；（2）解：連接OE，OF，由三角形中位線的性質(zhì)可知，又平面平面平面，平面平面平面，平面平面，平面平面，由題可知，則，取中點，連接，則平面平面，由（1）可知平面，即PM，MO，AC兩兩垂直，以M為原點，如下圖：建立空間直角坐標系，，，設平面的一個法向量，則，即，令，則，由（1）可知平面的一個法向量，設平面與平面的夾角為，則，平面與平面的夾角的余弦值為.20.甲參加某多輪趣味游戲，在兩個不透明的盒內(nèi)摸球.規(guī)定在一輪游戲中甲先在盒內(nèi)隨機取出1個小球放入盒，再在盒內(nèi)陏機取出2個小球，若每輪游戲的結(jié)果相互獨立，且每輪游戲開始前，兩盒內(nèi)小球的數(shù)量始終如下表（小球除顏色外大小質(zhì)地完全相同）：紅球藍球白球盒221盒221（1）求在一輪游戲中甲從兩盒內(nèi)取出的小球均為白球的概率；（2）已知每