2022-2023學(xué)年山東省青島市平度市高一下學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省青島市平度市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試題本試卷共6頁，22題．全卷滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將條形碼粘貼在答題卡指定位置上.2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，請將答題卡上交.一、單項選擇題：本大題共8小題．每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，是空間直角坐標(biāo)系中的兩點，點關(guān)于軸對稱的點為，則兩點間的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以點關(guān)于軸對稱的點，所以.故選：D.2.已知，，則=（）A. B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)復(fù)數(shù)，則，由已知得，解得，則有，，得.故選：A3.已知非零向量，滿足，，若，則（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，所以，又因為，所以，所以.故選：D.4.已知圓錐的母線與底面所成角為，側(cè)面積為，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為圓錐的母線與底面所成角為，則該圓錐的軸截面是正三角形，令圓錐底面圓半徑為，則母線，圓錐側(cè)面積，解得，圓錐的高，所以該圓錐體積為.故選：B5.記的三個內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，，，則的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，，，由余弦定理可得，可得，由三角形的面積公式可得.故選：B.6.為測量山高，選擇點和另一座山的山頂為測量點，若點，，在同一水平面上，從點測得的仰角為60°，的仰角為45°，，從點測得．已知山高，則山高為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，在中，∵，，∴，在中，，，∴，由正弦定理，可得，，在中，，.故選：C7.在正三棱柱中，，，分別是，中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，取的中點，的中點，的中點,易知,,所以異面直線與所成角為或其補(bǔ)角.由正三棱柱的幾何特征可得.,,，,在中，由余弦定理可得,所以異面直線與所成角的余弦值為.故選:A.8.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，又，所以，，所以，所以.故選：C.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分．9.已知向量，，，則（）A.B.C.若，∥，則D.在上的投影向量的坐標(biāo)為〖答案〗BCD〖解析〗因為，，，所以，得，所以，，所以A錯誤，對于B，因為，，所以，因為，所以，所以B正確，對于C，因為，∥，，所以，所以，所以，所以C正確，對于D，因為，，所以在上的投影向量的坐標(biāo)為，所以D正確，故選：BCD10.已知，為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下述正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，，則D.若，，，、則〖答案〗BC〖解析〗對于A，若，，則與相交、平行或異面，故A錯誤；對于B，若，，則，故B正確；對于C，若，，則,若，則，故C正確；對于D，若，則，可能相交，故D錯誤.故選:BC.11.已知函數(shù)，，的最小值為，則（）A.B.，都有C.，，則m的最大值為D.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于原點對稱〖答案〗AD〖解析〗依題意，，顯然函數(shù)的最大值、最小值分別為，因為，則與中一個取2，另一個取，又的最小值為，于是的半周期，即周期，，解得，A正確；于是，而，則直線不是函數(shù)圖象的對稱軸，即，B錯誤；當(dāng)時，，，則，因為，，因此，的最大值為2，C錯誤；因為函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，所以將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于原點對稱，D正確.故選：AD12.如圖甲，在梯形中，∥，，，，，分別為，的中點，將沿折起（如圖乙），使得，則（）A.直線∥平面B.三棱錐的體積為C.直線與平面所成角的正弦值為D.若四棱錐的各頂點都在球的球面上，則球的表面積為〖答案〗ACD〖解析〗因為在梯形中，∥，，，，所以，四邊形為正方形，對于A，取的中點，連接，因為為的中點，所以∥，，因為為的中點，所以，因為∥，，所以∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，因為平面，平面，所以直線∥平面，所以A正確，對于B，因為，，，平面，所以平面，所以，所以B錯誤，對于C，取的中點，連接，則∥，因為，，所以，，因為，平面，所以平面，所以為直線與平面所成角，在中，，則，所以，所以C正確，對于D，連接交于點，過作直線平面，因為平面，四邊形為正方形，所以四棱錐外接球的球心在直線上，設(shè)外接球的半徑為，則，所以四棱錐外接球的表面積為，所以D正確，故選：ACD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.若非零向量、滿足，，則向量、的夾角為____________．〖答案〗〖解析〗因為非零向量、滿足，，則，即，即，即，所以，，因為，故，即向量、的夾角為.故〖答案〗為：.14.在正四棱錐中，，用平行于正四棱錐底面的平面截去一個高為的四棱錐后，所得棱臺的體積為____________．〖答案〗〖解析〗如圖，為底面四邊形對角線的交點，則為正四棱錐的高，，則，設(shè)截取的高為的四棱錐的底面邊長為，則，解得，所以棱臺的體積為.故〖答案〗為：.15.記的三個內(nèi)角的對邊分別為，，，且，，若是的外心，則____________．〖答案〗〖解析〗如圖：

作于，于，

∵圓中，，∴，

因此，

同理可得，

∴.故〖答案〗為:.16.棱長為的正四面體的各頂點都在球心為的球面上，則過點，，的平面截四面體所得截面圖形的面積為____________；球的體積為____________．〖答案〗①.②.〖解析〗如圖將棱長為的正四面體放到正方體中，則正方體的外接球即為正四面體的外接球，正方體外接球的球心在體對角線的交點，體對角線即為外接球的直徑，設(shè)正方體的棱長為，由已知可得，解得，設(shè)正方體外接球的半徑為，則，即，所以外接球的體積，取的中點，連接、，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知即為過點，，的平面截四面體所得截面圖形，又，，所以，即過點，，的平面截四面體所得截面圖形的面積為.故〖答案〗為：；四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知，，且，．（1）求；（2）求．解：（1）因為，所以，又因為，所以由，解得，所以.（2）因為，，所以，又因為，，所以，所以.18.如圖，平行六面體的底面是菱形，，且．（1）證明：平面；（2）求與平面所成角的正弦值.（1）證明：設(shè)，，，則，，，，，因為，所以，因為，所以，又因為，、平面，所以平面.（2）解：設(shè)與平面所成角為，因為平面，則平面的一個法向量為，因為，，，所以，，所以，即與平面所成角的正弦值為.19.已知，，．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若的三個內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，邊上的高，求的面積．解：（1）因為，由，得所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（2）因為，即，又，則，所以，故，因為，所以，又因為，，所以，所以由，，，得，，，所以.20.如圖，在正四梭柱中，已知，三棱錐的體積為．（1）求點到平面的距離；（2）求與平面所成角的正弦值．解：（1）因為為正四棱柱，，所以平面，，所以，所以，如圖以點原點，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，可取，則點到平面的距離；（2）因為且，所以為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，同理可證平面，又平面，所以平面平面，所以是平面的法向量，設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為.21.的三個內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若．（1）求角；（2）若，，，求、．解：（1）因為，由正弦定理可得，即，即，因為，則，所以，，解得，故.（2）因為，則，可得，所以，，所以，，①由余弦定理可得，②聯(lián)立①②可解得.22.如圖，四邊形與均為菱形，，，，記平面與平面的交線為．（1）證明：；（2）證明：平面平面；（3）記平面與平面夾角為，若正實數(shù)，滿足，，證明：．證明：（1）因為為菱形，所以，因為平面，平面，所以平面，又因為平面，平面平面，所以.（2）連接交于點，連接，因為為菱形，所以，為中點，因為，所以，又因為平面，，所以平面，因為平面，所以平面平面（3）因為為菱形，，，所以，，又因為為菱形，所以，因為，，所以，所以，所以，即，又因為，平面，，所以平面，又由（1）知，所以平面，所以即為平面與平面的夾角，在直角中，，所以，所以平面與平面夾角的大小為，因為，所以，兩式相加得，，下面證明：①；②；且等號不同時?。环ㄒ唬夯静坏仁揭驗楫?dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，同理（當(dāng)且僅當(dāng)取等號）所以，即，所以法二：三元均值不等式當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以，同理（當(dāng)且僅當(dāng)取等號）所以，即，所以.山東省青島市平度市2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期末檢測數(shù)學(xué)試題本試卷共6頁，22題．全卷滿分150分．考試用時120分鐘．注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上，并將條形碼粘貼在答題卡指定位置上.2．回答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的〖答案〗標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他〖答案〗標(biāo)號.回答非選擇題時，將〖答案〗寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，請將答題卡上交.一、單項選擇題：本大題共8小題．每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，是空間直角坐標(biāo)系中的兩點，點關(guān)于軸對稱的點為，則兩點間的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以點關(guān)于軸對稱的點，所以.故選：D.2.已知，，則=（）A. B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)復(fù)數(shù)，則，由已知得，解得，則有，，得.故選：A3.已知非零向量，滿足，，若，則（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以，所以，又因為，所以，所以.故選：D.4.已知圓錐的母線與底面所成角為，側(cè)面積為，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為圓錐的母線與底面所成角為，則該圓錐的軸截面是正三角形，令圓錐底面圓半徑為，則母線，圓錐側(cè)面積，解得，圓錐的高，所以該圓錐體積為.故選：B5.記的三個內(nèi)角、、的對邊分別為、、，若，，，則的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，，，由余弦定理可得，可得，由三角形的面積公式可得.故選：B.6.為測量山高，選擇點和另一座山的山頂為測量點，若點，，在同一水平面上，從點測得的仰角為60°，的仰角為45°，，從點測得．已知山高，則山高為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，在中，∵，，∴，在中，，，∴，由正弦定理，可得，，在中，，.故選：C7.在正三棱柱中，，，分別是，中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，取的中點，的中點，的中點,易知,,所以異面直線與所成角為或其補(bǔ)角.由正三棱柱的幾何特征可得.,,，,在中，由余弦定理可得,所以異面直線與所成角的余弦值為.故選:A.8.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為，所以，又，所以，，所以，所以.故選：C.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分．9.已知向量，，，則（）A.B.C.若，∥，則D.在上的投影向量的坐標(biāo)為〖答案〗BCD〖解析〗因為，，，所以，得，所以，，所以A錯誤，對于B，因為，，所以，因為，所以，所以B正確，對于C，因為，∥，，所以，所以，所以，所以C正確，對于D，因為，，所以在上的投影向量的坐標(biāo)為，所以D正確，故選：BCD10.已知，為兩條不同的直線，，為兩個不同的平面，則下述正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，，，則D.若，，，、則〖答案〗BC〖解析〗對于A，若，，則與相交、平行或異面，故A錯誤；對于B，若，，則，故B正確；對于C，若，，則,若，則，故C正確；對于D，若，則，可能相交，故D錯誤.故選:BC.11.已知函數(shù)，，的最小值為，則（）A.B.，都有C.，，則m的最大值為D.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于原點對稱〖答案〗AD〖解析〗依題意，，顯然函數(shù)的最大值、最小值分別為，因為，則與中一個取2，另一個取，又的最小值為，于是的半周期，即周期，，解得，A正確；于是，而，則直線不是函數(shù)圖象的對稱軸，即，B錯誤；當(dāng)時，，，則，因為，，因此，的最大值為2，C錯誤；因為函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，所以將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于原點對稱，D正確.故選：AD12.如圖甲，在梯形中，∥，，，，，分別為，的中點，將沿折起（如圖乙），使得，則（）A.直線∥平面B.三棱錐的體積為C.直線與平面所成角的正弦值為D.若四棱錐的各頂點都在球的球面上，則球的表面積為〖答案〗ACD〖解析〗因為在梯形中，∥，，，，所以，四邊形為正方形，對于A，取的中點，連接，因為為的中點，所以∥，，因為為的中點，所以，因為∥，，所以∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，因為平面，平面，所以直線∥平面，所以A正確，對于B，因為，，，平面，所以平面，所以，所以B錯誤，對于C，取的中點，連接，則∥，因為，，所以，，因為，平面，所以平面，所以為直線與平面所成角，在中，，則，所以，所以C正確，對于D，連接交于點，過作直線平面，因為平面，四邊形為正方形，所以四棱錐外接球的球心在直線上，設(shè)外接球的半徑為，則，所以四棱錐外接球的表面積為，所以D正確，故選：ACD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.若非零向量、滿足，，則向量、的夾角為____________．〖答案〗〖解析〗因為非零向量、滿足，，則，即，即，即，所以，，因為，故，即向量、的夾角為.故〖答案〗為：.14.在正四棱錐中，，用平行于正四棱錐底面的平面截去一個高為的四棱錐后，所得棱臺的體積為____________．〖答案〗〖解析〗如圖，為底面四邊形對角線的交點，則為正四棱錐的高，，則，設(shè)截取的高為的四棱錐的底面邊長為，則，解得，所以棱臺的體積為.故〖答案〗為：.15.記的三個內(nèi)角的對邊分別為，，，且，，若是的外心，則____________．〖答案〗〖解析〗如圖：

作于，于，

∵圓中，，∴，

因此，

同理可得，

∴.故〖答案〗為:.16.棱長為的正四面體的各頂點都在球心為的球面上，則過點，，的平面截四面體所得截面圖形的面積為____________；球的體積為____________．〖答案〗①.②.〖解析〗如圖將棱長為的正四面體放到正方體中，則正方體的外接球即為正四面體的外接球，正方體外接球的球心在體對角線的交點，體對角線即為外接球的直徑，設(shè)正方體的棱長為，由已知可得，解得，設(shè)正方體外接球的半徑為，則，即，所以外接球的體積，取的中點，連接、，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知即為過點，，的平面截四面體所得截面圖形，又，，所以，即過點，，的平面截四面體所得截面圖形的面積為.故〖答案〗為：；四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知，，且，．（1）求；（2）求．解：（1）因為，所以，又因為，所以由，解得，所以.（2）因為，，所以，又因為，，所以，所以.18.如圖，平行六面體的底面是菱形，，且．（1）證明：平面；（2）求與平面所成角的正弦值.（1）證明：設(shè)，，，則，，，，，因為，所以，因為，所以，又因為，、平面，所以平面.（2）解：設(shè)與平面所成角為，因為平面，則平面的一個法向量為，因為，，，所以，，所以，即與平面所成角的正弦值為.19.已知，，．（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若的三個內(nèi)角，，的對邊分別為，，，，，邊上的高，求的面積．