2022年數(shù)學(百色專用)一輪復習教學案-教材知識特訓3平行線與角的平分線的幾大模型

教材知識特訓三平行線與角的平分線的幾大模型平行線的兩線一點模型【例1】請你探究出圖1至圖4各圖中∠B，∠D與∠BED之間的數(shù)量關(guān)系：圖1中，∠BED＝_∠B＋∠D__；圖2中，∠BED＝_360°－∠B－∠D__；圖3中，∠BED＝_∠D－∠B__；圖4中，∠BED＝_∠B－∠D__．【解析】本題考查了平行線的性質(zhì)，此類題目解題關(guān)鍵是作輔助線，即過拐點作平行線．過點E作射線EF∥AB，由平行于同一條直線的兩條直線平行，可得AB∥CD∥EF，再由平行線的性質(zhì)即可一一解答．平行線的兩線多點模型【例2】已知AB∥CD.(1)如圖1，探究∠B，∠D，∠E與∠F之間的數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，直接寫出∠B，∠D，∠E與∠F之間的數(shù)量關(guān)系；(3)如圖3，你可以得到什么結(jié)論？(直接寫出結(jié)論)【解析】類同【例1】作輔助線，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：(1)過點E作射線EM∥AB，過點F作射線FN∥AB.∵AB∥CD，∴AB∥EM∥FN∥CD.∴∠1＝∠B，∠2＝∠3，∠4＝∠D.∴∠B＋∠DFE＝∠BEF＋∠D；(2)圖2中，180°＋∠F＝∠B＋∠E＋∠D；(3)∠E1＋∠E2＋…＋∠En＝∠F1＋∠F2＋…＋∠Fn－1＋∠B＋∠D.【例3】圖①中A1M∥A2N，圖②中A1M∥A3N，圖③中A1M∥A4N，圖④中A1M∥A5N，…，則圖中的∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠An＋1＝__180n__°(用含n的代數(shù)式表示).【解析】分別求出圖①、圖②、圖③中這些角的和，探究規(guī)律后，依據(jù)規(guī)律解決問題即可．圖①中，∠A1＋∠A2＝180°＝1×180°；圖②中，∠A1＋∠A2＋∠A3＝360°＝2×180°；圖③中，∠A1＋∠A2＋∠A3＋∠A4＝540°＝3×180°；……圖中，∠A1＋∠A2＋∠A3＋…＋∠An＋1＝n·180°.三角形內(nèi)外角平分線所夾角模型模型點撥：通過角的平分線的性質(zhì)，常用三角形的內(nèi)角和定理與三角形的外角的性質(zhì)，找到探求的兩個角之間的數(shù)量關(guān)系，理解其推算過程，碰到類似題型快速而準確求解，也可以逆推進行驗算．【例4】(1)如圖1，在△ABC中，點O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點，試寫出∠BOC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系：__∠BOC＝90°＋eq\f(1,2)∠A__；(2)如圖2，點O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點，試寫出∠BOC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系：__∠BOC＝eq\f(1,2)∠A__；(3)如圖3，點O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點，試寫出∠BOC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系：__∠BOC＝90°－eq\f(1,2)∠A__．角平分線性質(zhì)模型如圖，點P是∠MON的平分線上一點，過點P作PA⊥OM于點A，PB⊥ON于點B.結(jié)論：PA＝PB.模型點撥：過角平分線上的點向兩邊作垂線，利用角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等，構(gòu)造此類模型，為邊相等、角相等、三角形全等創(chuàng)造更多的條件，進而可以快速找到解題的突破口．【例5】如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠1＝∠2，CD＝15，BD＝25，求AC的長．【解析】過點D作DE⊥AB，垂足為E，由角平分線的性質(zhì)可知CD＝DE，根據(jù)勾股定理可得出BE的長，再推出Rt△ACD≌Rt△AED，可得出AC＝AE，根據(jù)勾股定理即可解答．【解答】解：過點D作DE⊥AB，垂足為點E.∵∠1＝∠2，∠C＝90°，∴CD＝DE＝15.在Rt△BDE中，BE＝eq\r(BD2－DE2)＝eq\r(252－152)＝20.∵CD＝DE，AD＝AD，∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL).∴AC＝AE.∵AB2＝AC2＋BC2，即(AC＋20)2＝AC2＋(15＋25)2，∴AC＝30.角平分線與平行線模型如圖，點P是∠MON的平分線上一點，過點P作PQ∥ON，交OM于點Q.結(jié)論：△POQ是等腰三角形(PQ＝OQ).模型點撥：有角平分線時，常過角平分線上一點作角一邊的平行線，構(gòu)造等腰三角形，為證明結(jié)論提供更多的條件，體現(xiàn)了角平分線與等腰三角形之間的密切關(guān)系．【例6】(1)已知：在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，過點D作EF∥BC，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點(如圖1).圖中共有_______個等腰三角形，分別是_________________________；EF與BE，CF之間的數(shù)量關(guān)系是________________________；(2)若將(1)中“在△ABC中，AB＝AC”改為“若△ABC為不等邊三角形”，其余條件不變(如圖2)，則圖中共有_______個等腰三角形，分別是_________________；EF與BE，CF之間的數(shù)量關(guān)系是_________；(3)已知：如圖3，點D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，過點D作DE∥BC，分別交AB，AC于E，F(xiàn)兩點，則EF與BE，CF之間有何數(shù)量關(guān)系？寫出你的結(jié)論，并加以證明．【解析】本題關(guān)鍵是推出DE＝BE和CF＝DF.(1)(2)根據(jù)角平分線的定義可得∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD，然后得出∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD，再根據(jù)等角對等邊可得BE＝DE，CF＝DF，然后解答即可；(3)由(2)知BE＝ED，CF＝DF，然后利用等量代換即可得出BE，CF，EF之間的數(shù)量關(guān)系．【解答】解：(1)5；△ABC，△AEF，△DEB，