2022-2023學(xué)年云南省麗江市成考專升本高等數(shù)學(xué)一自考測(cè)試卷(含答案)

2022-2023學(xué)年云南省麗江市成考專升本高

等數(shù)學(xué)一自考測(cè)試卷（含答案）

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題（50題）

sinx

liinX=a,則a等于（）

A.1B.0C.3D.3

1.

/（x2A）V（^o）

lim-----o--+--：-----------

2.設(shè)f（x0）=l,則i。h等于（）.

A.A.3B.2C.1D.l/2

A.2B.1C.1/2D.-2

A設(shè)：=ln(/+y),則乎等于().

r.fix

A.xJ+y

B.x'+>

c./+y

/+1

D.』+y

..sinx2

lim------

5.-2x

A.A.OB.1/2C.lD.oo

6.卜列命題正確的是（）

QO8

若2|匕|發(fā)散，則必定發(fā)散

A.A.?=*w=1

XX

若收斂，則￡|un|必定收斂

B.〃=1n=I

若工以收斂，則￡（匕+1）必定收斂

C."In=i

若

t|u收斂，則上匕必定收斂

c-n

D.n=I

7m"嚴(yán)=（）。

A-C。吟+/+C

n------COS壬+1十C

B.農(nóng)

C.“sin￡+1+C

Dzsinf+x4-C

8.設(shè)y=2”,則y，等于（）。

A2'x

B.2

C.2xln2

D.-2xln2

'3時(shí),下列變量為無窮小鼠的是

?w-i-1

A,--，「r-

C.2"

9D.nL(-l)"^l]

10.若x—x()時(shí)，a(x)、0(x)都是無窮小(0(x)#O),則x—>x()時(shí)，a(x)/p(x)

A.A.為無窮小B.為無窮大C.不存在，也不是無窮大D.為不定型

U.下列關(guān)于動(dòng)載荷的敘述不正確的一項(xiàng)是()o

A.動(dòng)載荷和靜載荷的本質(zhì)區(qū)別是前者構(gòu)件內(nèi)各點(diǎn)的加速度必須考慮，而

后者可忽略不計(jì)

B.勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)荷因數(shù)為*'"比

C.自由落體沖擊時(shí)的動(dòng)荷因數(shù)為K""/4半

D.增大靜變形是減小沖擊載荷的主要途徑

12.設(shè)f(x)在點(diǎn)xO的某鄰域內(nèi)有定義，且

/(&-2力)/“0)

lim--------------------------=1

1°卜,貝!|f，(xO)等于().

A.-lB.-1/2C.l/2D.1

函數(shù)在點(diǎn)X：處連續(xù)是在該點(diǎn)處可導(dǎo)的

A.充分條件，但不是必要條件

B.必要條件，但不是充分條件

C.充分必要條件

13.D.既非充分也非必要條件

14.

直線/與工軸平行，且與曲線y==一/相切，則切點(diǎn)的坐標(biāo)是

A.(l,l)

C.(0,-1)D.(0,1)

設(shè)外在工=2處可導(dǎo)，且，(2)=2,則！im緇土繪二皿等于

B.1

C.2

15.D.4

16.

ix工20產(chǎn)+1

2.設(shè)義工)=(.g(r)=則八外+以工)的連續(xù)區(qū)間是

|0J<0x了》】

A.(-00,4-co)B.(—8,0)U(0,+8)

C.<-oo,1)11(1.4-0°)D.(-00,0)11(0,1)11(1.+oo)

17.

對(duì)微分方程y''+3y'+2_y=e"",利用待定系數(shù)法求其特解y*時(shí),下面特解設(shè)法正確的是《

A/+=Ae'1By*=(Ax+B)e~lC,y*=j4xe-iD.-Ax2e~x

/<x)在點(diǎn)Xo有定義是lim/(x)存在的

18.一

A.A.充分非必要條件B.必要非充分條件C.充分必要條件D.無關(guān)條件

19.

；疝數(shù)/(、)=,X-I'''則屏V(*)為(

?T

,xz-Ix>l,

A0B.IC.2I).不存在

20.方程y+2y+y=0的通解為

A.cl+c2e-x

B.e-x(cl+C2x)

C.cle-x

D.cle-x+c2ex

設(shè)之=2」、+3J,則(\z等于

八.2d.t^-3,vd,y

B.2rdj+6、yd_y

2d.r6ydy

Il2*dr+3ydy

￡3…

22.級(jí)數(shù)”】n()o

A.絕對(duì)收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.收斂性與k有關(guān)

23.

當(dāng)N-1時(shí)，與H—1是等價(jià)無窮小的是

A./-1B.y(XZ-1)

C.-y(A/X—1)D.4x—1

Lt

24.

設(shè)Z=，+y2-2x+4y+5,則導(dǎo)

A.2x-2B.2y+4

C.2x+2y+2D.2y+4+j^—2x

25.

若f(x)為［如切上的連續(xù)函數(shù)，則/f(x)dx-/f(r)dr

A.小于0B.大于0

C.等于0D.不確定

26.設(shè)M.八為二階線性常系數(shù)微分方程Hi)=0的兩個(gè)特解，則。出+G)式).

A.A.為所給方程的解，但不是通解

B.為所給方程的解，但不一定是通解

C.為所給方程的通解

D.不為所給方程的解

如果「心切(x)+c,則F(x)等于()

A./(*)+cB./(X)C.dxD.，(x)dx

27.

28.

下列極限存在的有

x3-x+7

(力-1)2

11?—1

2x2-x-1

C.limsin3x

r-o-7^

D.lim(x2+1)cos—

AOX

29.設(shè)Y=e-5x,貝ljdy=().

A.-5e-5xdx

B.-e-5xdx

C.e-5xdx

D.5e-5xdx

△+2H,z盧0

設(shè)函數(shù)=<在z=0連續(xù)，則為等于

30.k'7=0

A.e2B.e2C.lD.O

31.

若/(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，下列等式中一定成立的是

A.dj/(x)dx=/(x)dxB.J/V)dx=/(x)

C.￡f/(x)dx=/(x)+CD.fdf(x)=/(x)

e-”dx等于().

A.2e-2x+C

B.i

C.-2e-2x+C

33.設(shè)曲線y=*-e*在麒國(guó)司明小直線/相切，則直線/的制率為(

A.A.ooB.lC.OD.-1

35.方程z=x?+y2表示的曲面是()

A.橢球面B.旋轉(zhuǎn)拋物面C.球面D.圓錐面

36.

設(shè)函數(shù)f(x)=sinx,則不定積分jy'(x)dx=

A.sinx+CB.cosx+C

D.-cosx+C

37.設(shè)z=ysinx,貝等于().

A.A.-cosxB.-ycosxC.cosxD.ycosx

38.

設(shè)J(x)=e3*,則在x=0處的二階導(dǎo)數(shù)f'(0)=

39.函數(shù)y=sinx在區(qū)間［0,n］上滿足羅爾定理的自=

A.A.OB.TT/4C.TT/2D.n

?法樂數(shù)：=、”項(xiàng)年等「().

40.

A.A.

B.3「g

C.

D.3x)一

41.

方程y—y—2y-Q的通解y=

A.Ge-"+G/RGe-"

C.G戶+Cze-*D.CW

42.設(shè)Inx是f(x)的一個(gè)原函數(shù)，則F(x)=()。

B.BX

43.微分方程(y)2=x的階數(shù)為()

A.lB.2C.3D.4

設(shè)z=>x'+siny+3i則二=

44.效

A.A.x2+cosy

B.x2-cosy

C.x2+cosy+l

D.x2-cosy+l

J(2?-l)dx?()

45A,X2+C

B.X2-X+C

C.2x2+x+C

D.2X2+C

46.在特定工作領(lǐng)域內(nèi)運(yùn)用技術(shù)、工具、方法等的能力稱為（）

A.人際技能B.技術(shù)技能C.概念技能D.以上都不正確

47.函數(shù)y=sinx在區(qū)間［0,R上滿足羅爾定理的自等于（）。

A.0

B.4

1T

C.T

D.7T

設(shè),y-/'Q）為（）內(nèi)連續(xù)的偶函數(shù).則.y=的圖形

A.關(guān)于x軸對(duì)稱

B.關(guān)于y軸對(duì)稱

C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

48.D.上述三個(gè)結(jié)論都不正確

49.已知y=ksin2x的一個(gè)原函數(shù)為y=cos2x,則k等于（）。

A.2B.lC.-lD.-2

50.函數(shù)y=ex+e-x的單調(diào)增加區(qū)間是

A.(-oo,+oo)B.(-oo,0]C.(-l,1)D.[0,+oo)

二、填空題（20題）

lim.二三二1

51.求百工

4].L+COSX-

3/??Y

設(shè)2=大％皿>?,則中=

53.31

設(shè)區(qū)域0：/+/Wa：（a>0）,>M0,則，dxd）化為極坐標(biāo)系下的表達(dá)式為.

54."

計(jì)算f=dx=?

55.」西

56.

級(jí)數(shù)￡意的收斂區(qū)間是________.

n=l3

57.

設(shè)1=交換積分次序，則有I=

58.

設(shè)？上/。時(shí)./<]；='"'￡>F(.JC)在點(diǎn)x*=0處連續(xù)?當(dāng)x/0時(shí).FJ)=/(x)<

F(O)=.

59.

設(shè)Z=42-y2,則稱=?

fdxfdy=.

60.Jo---------------

61.

faf2az-x^

設(shè)1=JodxJI”工,y)dy,則轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)后，T=.

62.

設(shè)/1(x,y)=x+(y-l)arcsinx,則f：(x,1)=

63.

通過點(diǎn)(1,2〉的積分曲線y=卜/"的方程是

64.函數(shù)f(x)=x3-12x的極小值點(diǎn)x=.

設(shè)N=,4+2,則段|=

65."打'

66.

函數(shù)f(x)=6/*也的上凹區(qū)間是.

微分方程y'=e'的通解是.

67.

霹級(jí)數(shù)'的收斂半度為___________.

VO*M?I,

69.

設(shè)/（X）為連續(xù)函數(shù)，且在點(diǎn)Xo可導(dǎo)，則lim/"匕"城=

FX-XQ

70.不定積分/心產(chǎn)

三、計(jì)算題（20題）

71.計(jì)算

72.求微分方程、"+3<+2>=0的通解.

73計(jì)算jairsin4dx.

74.求-階線性微分方程滿足初始條件y=0的特解.

75.設(shè)平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為仁x2+y2*,x>0,y>0,

其面密度

u（x,y）=2+y2,求該薄板的質(zhì)量m.

76.

設(shè)區(qū)域D為:7+y44,）20,Vx2+y2dxdj.

求解級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間(不考慮端點(diǎn)).

77.

78.求微分方程y”-4y，+4y=e-2x的通解.

79.已知某商品市場(chǎng)需求規(guī)律為Q=100e025P,當(dāng)p=10時(shí)，若價(jià)格上漲

1%,需求量增(減)百分之幾？

80.求函數(shù)y=x-lnx的單調(diào)區(qū)間，并求該曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線1的

方程.

81.計(jì)算/中也

82.求曲線'=3+2在點(diǎn)(1,y處的切線方程.

83.當(dāng)x—*0時(shí)f(x)與sin2x是等價(jià)無窮小量，貝!)

84.證明：當(dāng)X>1時(shí).x>l+lnx.

85.將f(x)=e-2X展開為x的箱級(jí)數(shù).

86.求函數(shù)f(x)=x￡3x+l的單調(diào)區(qū)間和極值.

87.設(shè)z=z（x.y）是由方程*，戶e'=0所確定的隱函數(shù),求言

88.研究級(jí)數(shù)X（T）"'3的收斂性（即何時(shí)絕對(duì)收斂，何時(shí)條件收斂，何

時(shí)發(fā)散，其中常數(shù)a>0.

89.設(shè)拋物線Y=Lx2與x軸的交點(diǎn)為A、B,在拋物線與x軸所圍成的

平面區(qū)域內(nèi)，以線段AB為下底作內(nèi)接等腰梯形ABCD（如圖2-1所

示）.設(shè)梯形上底CD長(zhǎng)為2x,面積為

S（x）.

⑴寫出S（x）的表達(dá)式；

⑵求S（x）的最大值.

90.求函數(shù)一的單調(diào)區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).

四、解答題（10題）

91.

計(jì)算二重積分/-jj—dxdy,其中D是由y2=%、y=1和x=4所圍

的平面區(qū)域（在第一象限）.

求函數(shù)」ixu|；ln汲的極值點(diǎn)與極值，并指出曲線的凸凹區(qū)間.

92.2

-x-sinx

求lim------：—.

93.I廠

94.用鐵皮做一個(gè)容積為V的圓柱形有蓋桶，證明當(dāng)圓柱的高等于底面

直徑時(shí)，所使用的鐵皮面積最小。

95.

求［arctanxdx.

研究y=3/-8/+6/+5的增減性、極值、極值點(diǎn)、曲線y=/（x）的

hU?

凹凸區(qū)間與拐點(diǎn).

Q7求InI的極值與極值點(diǎn)

計(jì)算二重積分/=jjxdxdy,其中。是由y=x,,=0和刀=1所圍

D

的平面區(qū)域（在第一象限）.

7O*

99.

判定身（一D"二的斂散性?

■■1n

將函數(shù)f（x）=hu展開成（x-l）的塞級(jí)數(shù),并指出收斂區(qū)間.

100.

五、高等數(shù)學(xué)（0題）

101.下列命題不正確的是（）。

A.兩個(gè)無窮大量之和仍為無窮大量

B.上萬個(gè)無窮小量之和仍為無窮小量

C.兩個(gè)無窮大量之積仍為無窮大量

D.兩個(gè)有界變量之和仍為有界變量

六、解答題（0題）

求微分方程r-4/+4y=e"，滿足初始條件切刃=1、”日=1

102的特解.

參考答案

1.A

2.B

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的定義.

由題設(shè)知F（xO）=L又由題設(shè)條件知

/（%。+2月）y（%。）2[/（xo+2/z）V（^o）]0

lim------：-------=lim------------------2f（%0）=2,

A—ohA-*OZn

可知應(yīng)選B.

3.A

本題考查了等價(jià)無窮小的代換的知識(shí)點(diǎn)。

當(dāng)a:f0時(shí)，ln(1+)?fez,故lim1r

x-*0JC

/口【解析)意=，一?(八”=《二，因此選及

4.BaxX+yx+y

5.A

22

當(dāng)XTO時(shí),sin/?/,因此lim吧土=lim±-=lim￡=0,故選A.

“TO2xXT。2x*T02

6.D

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)和絕對(duì)收斂的概念.

由絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)“絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)必定收斂”可知應(yīng)選D.

Z7f(T)”一

由于調(diào)和級(jí)數(shù)"=1"發(fā)散，而萊布尼茨級(jí)數(shù)￡=1”收斂，可知小B都不正確.

008

2u“l(fā)imu=0lim(u+1)=1戶0>("”+1)

由于當(dāng)"=1收斂時(shí)"一=",因此"一8",由級(jí)數(shù)發(fā)散的充分條件知"='發(fā)散.可知C不正確.

7.D

/g1(sin:+1jdr=(sin:4*l)r+c

8.D

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的鏈?zhǔn)椒▌t。

由于y=2x

Y'=2fn2(-x)'=-2-xin2.

考生易錯(cuò)誤選C,這是求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)丟掉項(xiàng)而造成的!因此考生

應(yīng)熟記：若y=f(u),u=u(x),則

(lydydiz

dxdudx

不要丟項(xiàng)。

9.A

10.D

根據(jù)無窮小運(yùn)算性質(zhì),當(dāng)xTx0,a(x)、尸(X)是無窮小時(shí)，學(xué)

p(x)

2

為不定型.例如當(dāng)x—>0時(shí)，a,(x)=x?a2(x)=x?ay(x)=2x?則

lim也

為非零數(shù)值:

(X)

..a[(X)

lim———為無窮小;

1?(x)

迫

lim為無窮大.

i%(x)

則吧籌不存在,也不為無窮尢

若記a,=xsin—,

x

11.C

12.B

由導(dǎo)數(shù)的定義可知

-2[/(A-2A)V(?O)]

1=limO=-2f'(x),

A-*O0

/**(x0)=-----

可知2,故應(yīng)選B。

13.B

14.C

15.B

16.C

17.C解析

/+3r+2=O特征根為(=-l,r3=-l.由此可見a=-l<③丁"=/一1=)是特征根.于是

可設(shè)y*=0。-*=，應(yīng)選C.

18.D

lim/(x)是/(x)在點(diǎn)xo的去心鄰域(,Xg-6,xo)U(x0,x0+力

內(nèi)的概念，與f(x)在點(diǎn)xo處是否有定義無關(guān).

19.D

--力的知識(shí)點(diǎn)為極限與左極限.右極限的關(guān)系.

方分段函數(shù).點(diǎn).1=I為/(W的分段點(diǎn),且在、=I的兩側(cè)JC)的表達(dá)式不相同.

號(hào)左投限與右極限?

lim/(x)=lim-1.

?-?It-4l-x9I

liin/(x)=lim(r-I)=0,

.?*1??

，r)k)?從而知H哂a)不存在.故應(yīng)選I)

20.B

21.C

22.A

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與條件收斂。

~-=々,設(shè)%=5,則vvn=v5為2=3

由于“nnh=,H=*"的p

級(jí)數(shù)，可知為收斂級(jí)數(shù)。

2_Ly(-])7

可知"=|收斂，所給級(jí)數(shù)]/絕對(duì)收斂，故應(yīng)選A。

23.B

z=x2+y2-2x+4y+5

■=2y+4,故選B.

24.B解析：方

25.C解析：

由于〃x)為口,加上的連續(xù)函數(shù)，因此ff(x)dx存在，它為一個(gè)確

定的常數(shù).由定積分與變量無關(guān)的性質(zhì)，可知J：〃x)dx=C/Q)d/,因此選C.

26.B

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為線性常系數(shù)微分方程解的結(jié)構(gòu).

已知八.n為二階線性常系數(shù)齊次微分方程r*/>,/'+/>：.?=0的兩個(gè)解，由解的結(jié)構(gòu)定理可包

c,?1+cJ?,為所給方程的解.因此應(yīng)排除D.又由解的結(jié)構(gòu)定理可知.當(dāng)%.外線性無關(guān)時(shí).Cj,+

C,y5為,"+A>'+p,y=0的通解,因此應(yīng)該選B.

本題中常見的偌誤是isc.這是由于忽略r線性常系數(shù)微分方程哪的結(jié)構(gòu)定理中的條件所

導(dǎo)致的錯(cuò)誤.新的結(jié)構(gòu)定理中指出：“若，，.力為二階線性常系數(shù)微分方程，=o的兩個(gè)

然管不本的待解.則Gx-Gy,為所給證分方程的通帆其中G.G為任超常數(shù)由于所給命J8

市應(yīng)行而出’,.八為線性無關(guān)的特解,可知G，,+Qi不一定為方程的通解.但是由解的結(jié)構(gòu)定

理知G…必為方程的解.因此應(yīng)選B.

27.B

28.D

294由于y=e-"，=-5e"，,從而dy=y,dx=-5e','<h.故選A.

【評(píng)析】基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式與導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則是常見的試

題，一定要熟記基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式.對(duì)簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，應(yīng)

該注意由外到里，每次求一個(gè)層次的導(dǎo)數(shù)，不要丟掉任何一個(gè)復(fù)合層次.

30.A

由lim，1+2z=lim(1+27)+=lim(1+2x)h'2=e2,

。j—*0j-?0

又因/(0)=A?/(H)在工=0處連續(xù).故A=c2.

31.A解析：

若設(shè)五'(x)=f(x),由不定積分定義知，|/(x)dx=F(x)+C.從而

有：dJ/(x)dx=d[F(x)+C]=Fz(x)dx=f(x)dx,故A正確.

B中應(yīng)為Jr(x)dx=f(x)+C；

C中應(yīng)為j/(x)dx=/(x)；

D中應(yīng)為Jdf(x)=f(x)+C.

32.D卜"*=卜”(_2x)=_/e“，+C,因此選D.

33.C

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

由于ynxY,y'=l-e＜，=0.由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知.曲線＞=在點(diǎn)(0.-1)處切線

I??0

斜率為0.因比選C.

34.D

枳分區(qū)域如右圖中陰影部分所示.

D可以表示為

lWx《2,iWyWx或lWyW2,yWxW2.

對(duì)照所給選項(xiàng)，知應(yīng)選D.

35.B旋轉(zhuǎn)拋物面的方程為z=x2+y2.

36A解析.由不定積分性質(zhì)Jf'x)心=/Xx)+C,可知選A.

37.C

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為高階偏導(dǎo)數(shù).

由于z=ysinx,因此

dz

—=ycosX.

dx)

2

dz

----------=COSX.

dxdy

可知應(yīng)選C.

38.C解析：f(x)=e"，-(")=%"，//)=%歸了'(0)=9,因此選C.

39.C

y=sinx在［0,兀］上連續(xù),在(0,兀)內(nèi)可導(dǎo),sin0=sin^=0,可

知丫=5加在［0,n］上滿足羅爾定理，由于(sinx)，=cosx,可知g=兀/2

時(shí)，cos^=0,因此選C。

40.D

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算.

九

z二y

是關(guān)于y的塞函數(shù)，因此

a二.”?|

-=3xy.

打

故應(yīng)選D.

41.C

42.C

［解析］由原函數(shù)概念，bu是/(x)的個(gè)原函數(shù)時(shí)，有/(x)=(lnx)

/，(X)=BI=-7,

43.A

44.A

z="+siny+3,求生時(shí)，只需將x認(rèn)定為常量,因此+cosy,故選A.

dydy

45.B本題考查的知識(shí)點(diǎn)為不定積分運(yùn)算.

|(2x-1)dx=2Jrdx-|d.r=x'-x+C.

因此選B.

46.B解析：技術(shù)技能是指管理者掌握和熟悉特定專業(yè)領(lǐng)域中的過程、慣

例、技術(shù)和工具的能力。

47.C

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為羅爾定理的條件與結(jié)論。

由于八"inx在［0.宣］上連續(xù).在(O.ir)內(nèi)可導(dǎo).H丫1“0=。=>1,.「可知y=sinx在［O.ir］

上滿足羅爾定理,因此必定存在f€(O.tr).使丫］.尸。5,“=<'。"=0.從而應(yīng)有^=J-

故知應(yīng)選C.

48.B

49.D

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為可變限積分求導(dǎo)。

由原函數(shù)的定義可知(cos2x)，=ksin2x,而(cos2x)，=(-sin2x>2,可知k=-

2o

5O.Dy=ex+ex,則歹=6*-鏟,當(dāng)x>0時(shí)，，>0,所以y在區(qū)間［0,+℃)上

單調(diào)遞增.

51.

1.一X-11.—1

lim----------------=lim—：—

jr*0X■r-O1八

=0o

52.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為用洛必達(dá)法則求未定型極限.

..e'+cosx-2..r*-sinx.

lim----------------=hm------：-----=1

53.3x2siny

54.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為二重積分的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)轉(zhuǎn)化問題。

由于+>'wM.>*0可以表示為

Owewir.OWrWa,

因此Jdxd.v=|<1。1rdr.

55.

解法1令而，則x=/,&r=2Kk當(dāng)”1時(shí)J=l;當(dāng)x=4時(shí)，，=2?

于是1,21dl=2Je*d/=2e*!=2(e2-e).

解法2J3dx=2J酋dy/x=2/=2(e2-e).

cofl1

V—,a

nl1r

q"】,11

lim=lim—=litn--=—=p

/1TBn-?-1Rf833

7i

F

56(33)(33)解析:因此,收斂半徑H二=3,收斂區(qū)間為一，3).

57.

?紜

dx2f(x,y)dy

0

本題考查了交換積分次序的知識(shí)點(diǎn)。

=J/(N,y)dN的積分區(qū)域D卜N，3)I0<=

N所以

(，3)|0&z&4,]24?&4z),I=2/(x，3>)dy.

58.

務(wù)=(*2-y2)；=_2y

59.-2y-2y解析:力

60.2

61.

i>r/(rcosO9rsin^)rdr

j阿I/(rcosff,rsin^)rdr

62.

H(x,y)=l+(y-l).了二，故f；(x,1)=1.

63.y=x3+l

64.2

2

本題考查了函數(shù)的極值的知識(shí)點(diǎn)。f，(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),當(dāng)x=2或

x=-2時(shí),P(x)=0,當(dāng)x<-2時(shí),r(x)>0；當(dāng)-2VxV2時(shí),f*(x)V0;當(dāng)x>2

時(shí)f(x)>0,因此x=2是極小值點(diǎn)，

65.1/z

本題考查了二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的知識(shí)點(diǎn)。

由Z=。）則李必—+—

24，壽

H'+yZ=1

(/+/)+"+'

66.(-oo2)(-oo,2)

f'(x)=e4x-?八x)=(4-2x)/2

令f'(x)=O,由4-2x=0得x=2.當(dāng)x<2時(shí)，/^)>0;當(dāng)x>2時(shí)，f\x)<0,故

/(X)的上凹區(qū)間是(7,2).

y=e，+C

［解析］/=e*.分離變累，得dy=e'dx

5兩邊枳分：y=e*+C.此即為通解.

67.

68.

戊-

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為寨級(jí)數(shù)的收斂半徑.

注意此處事級(jí)數(shù)為缺項(xiàng)情形.

RX'

''jy<i即『<2時(shí)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,可知心氏

69.1

70.

jJnl3x-lI+C.

本題考查的知識(shí)點(diǎn)為不定積分的換元積分法.

<lx=4-f,—<1(3x-I)=—InI3x-II+C.

3J3x-I3

71.

【解析】令，=4,則x=J,(k=2tdt.當(dāng)x=0時(shí)，，=0;當(dāng)人二1時(shí)，2二1

依X

=2(re［：-/e4)=2(e-e］：)=2.

72.

【解析】特征方程為M+3r+2=0.

特征根。=~2,心=-1.

方程的通解為y=C,JYJe二

73.

設(shè)u=arcsinx,t/=1,則

arcsinxdx=xarcsinx-iAx

J/l-J

=xarcsinz?-x2)*Td(l-x2)

=xarcsinx+v1-x+C.

74.由一階線性微分方程通解公式有

<,M,'

y=eP(J9(x)eP""*dx+C)

=e^lJxe-H^dx+C)

=e'"<卜?e''"'dx+C)=■*(jx?：dx+Cj=*(x+C),

將yI…=0代人上式,可得C=-l.因此所求特解為，?=/-*?

75.由二重積分物理意義知

m:卜(x,y)dcr=/)dxdy=|ddjr'dr=-^ir.

76.

解利用極坐標(biāo)，區(qū)域D可以表示為

2

Ju+ydxdy=J/1dr

=r

8

=J:軸=Tn

解利用極坐標(biāo)，區(qū)域D可以表示為

O&J&n.O&廠42,

2

0+1y2dzdy=J曲]rJr

=『/%

Jo6o

K

=J[oyvdd=-31-.

由2|x:|<!可解得11

卜方9

故所給級(jí)數(shù)收斂區(qū)間為

78.解：原方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為yM-4y'+4y=0,

特征方程及特征根為/-"+4=0,門.2=2,

2

齊次方程的通解為r=(C,+C2)e,.

在自由項(xiàng)/(x)=e,中,a=-2不是特征根，所以設(shè)_/=4-"，代入原方程，忖

,1

A=——.

16

故原方程通解為y=(G+G)e"+U".

IO

人)=-P筆涵-25)=0.25/>

79.需求規(guī)律為Q=100ep225P7<10>2.5...當(dāng)p=10時(shí)

價(jià)格上漲1%需求量減少2.5%需求規(guī)律為Q=100ep225p,

-P=o.25p

???當(dāng)P=10時(shí)，價(jià)格上漲1%需求量減少

2.5%

80.

y=x-lnx的定義域?yàn)?0,?8),yr=1--.

當(dāng)“二1時(shí)，y'=0；當(dāng)x>l時(shí)函數(shù))"-In式單調(diào)增加.

當(dāng)0<x<l時(shí),>'<0,函數(shù)y=*-ln”單調(diào)減少.

曲線y=z-lnx在點(diǎn)(1」)處的切線方程為，-1=0.

81.

fl+Inx.f1.fIn?.

J----------dx=j—ax+Jdx

=Inx+Jinxdlnx=Inx**-Inx)2?C.

或jL+%q.=[(]+Inx)dlnx=J(1Inx)d(1Inx)

—--(1+Inx)2+C,

82.曲線方程為>=J+2,點(diǎn)（1,3）在曲線上.

>'=，因此所求曲線方程為、-3=-2（x-l）,或?qū)憺?x+y-5=0.

如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)F（xO）存在，貝！）表明曲線y=f（x）在點(diǎn)

（xO,fxO））處存在切線，且切線的斜率為f，（xO）.切線方程為

廠/（%）==/'（勺）（"-%）?

如果1（4。）射0,則曲線片/（口在點(diǎn)（々/（0））處的法線方程為

(]一/).

如果廣（以）=0.則”“心）為曲線K=/（x）在點(diǎn)（即J（區(qū)））處的水平切線.

83.由等價(jià)無窮小量的定義可知?jiǎng)t切=L

84.

設(shè)/(jO=x->ln".則的定義域?yàn)?0..8).

/*(*)=1-堂-,

令yJ0得x=l.

當(dāng)X>1時(shí)，(x)=l-y>0.可知/(X)單周增加.

由于/(l)=o,可知當(dāng)X>1時(shí)J(x)"(l)=o.從而x-l-lnx>0.即

x>1+lnX.

85.

【解析】由于。*=￡*(-8<*<+8),可得

不打！

e=>-----.一=>-----:---(-?<x<^?).

n?*7?n!

86.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

(-00,4-00)J'(x)=3X!-3.

令/'(*)=0,得駐點(diǎn)x.=-1,x,=1,列表得

X(-8)-1(-i.i)t(1,+8)

/,(?)0-0

/(-n=3川)…

A*)

z為極大值為極小值z(mì)

函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-8,-1],[1,+?).

函數(shù)/(%)的雎兩減區(qū)間為[-11].

"-1)=3為極大值./?")=-1為極小值.

注意

如果將(-8,-1］寫成(-8.-I),將［I,+8)寫成(1,+8),格［-1,1］寫成(-1,1)也對(duì).

87.

利用隱函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)公式，記

F(x,y,z)=x2+/-€*,

則

￡=2x,F：=-e*.

―e)―z二一—F—：―-2x.

axF：e'

88.

【解析】記”.=（-1廣」,則2d，從而知y??.?=y為P級(jí)數(shù)，且

nnn

當(dāng)a>l時(shí)，V4收斂，因此f（-］尸二絕對(duì)收斂.

???nH

當(dāng)OvaWl時(shí)，V4發(fā)放.注意到此時(shí)f（-1）-'2為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，

771nrrin

u.l=1>—*—

I(n+1)-

lim141=lim—=0,

fi

■.

由萊布尼茨定理可知當(dāng)0<aWl時(shí)，￡（-1廠’二收斂，故此時(shí)￡（-1廠,口條件收斂.

??In771n

89.

由['=I'解得X=±1,則A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為

ly=O

A(-l.O)和8(l.0).H8=2.

(1)S(x)=y(2+2x)(l-x2)=(l+x)(I-*1).

(2)S，⑴=.3/2+],令S(G=0,即(3E)Q+[)=0,得孫=鼻=_1(舍去).

S'(x)|j(-6*-2)]=-4<0,則sg)嶗為極大值.根據(jù)實(shí)際問題,S旁為最大值.

90.

f(x)的定義域?yàn)?-8,0)U(0.+8).

/'(x)=2x+§J"(x)=2-；.

XX

令/'(*)=0得”7;令廣6)=0.得3》.

列表：

X(-8.-1)-1(-1.0)0（0萬）(蘇.+8)

尸-0

，?.-0?

拐點(diǎn)

y\uZuZnZu

為極小值(5,0)

函數(shù)/（X）的單調(diào)減少區(qū)間為（-8,-1）；單調(diào)增加區(qū)間為（-1,0）u（0.+8）；極小值為

/（-1）=3.

曲線y=/（x）的凹區(qū)間為（-8,O）U（蘇.+8）：凸區(qū)間為（0,蘇）；拐點(diǎn)為（萬.0）.

說明

由于/（外在點(diǎn)工=0處沒有定義.因此/（，）的單調(diào)增加區(qū)間為（-1.0）30,+8）,不

能寫為（0,+8）!

91.

解。的圖形見圖中陰影部分.

由y2=x得y=V7.

dx=—Ix—1,Inx

5:可學(xué)”法H22x22

=^2-1ln4^1-0^=|-ln2.

如果選擇先對(duì)X積分，后對(duì)y積分的二次積分次序，運(yùn)算時(shí)將出現(xiàn)分部積分，運(yùn)算較復(fù)雜.

92.

/'(x)=lnx,令/(x)=lnx=0得駐點(diǎn)與=1,又/"(功=工，/"(1)=1>0

X

故X。是/(X)的極小值點(diǎn)，極小值為：

rlJ1

/(I)=\xlntdt=iZlnZ-ti|i=-iln2-li

*252

因/"(X)=2>0,X>0i,曲線是上凹的

X

93.

「x-sinx..1-cosx..sinx6

hm----=—=hm-----------=lim------=0.

?TOx”I2X2

94.

設(shè)圓柱形的底面積半徑為r,高為力，則V=他".

所用鐵皮面積S=2m■?+2m7i,

令第=4m—2位=0,

2r=h.

翳=4Q0.

于是由實(shí)際問題得，S存在最小值，即當(dāng)圓柱的高等于地面的直徑

時(shí)，所使用的鐵皮面積最小。

設(shè)圓柱形的底面積半徑為廣,高為力，則V=

所用鐵皮面積S=2^+2nrh,

令第=此一2位=0,

2r-h.

翳=4Q0.

于是由實(shí)際問題得，s存在最小值，即當(dāng)圓柱的高等于地面的直徑

時(shí)，所使用的鐵皮面積最小。

解farctanxdx=^arcianx-2dx

=xarctanx-；ln(l+.，)+C.

=xarctimx----

95.2

解farctanrdx=xurcianx-八+2d無

=Aarcianx-^ln(l+.rz)+C.

xarctimx---

2

96.本題考查的知識(shí)點(diǎn)為導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

y的定義域?yàn)?-8,+8).

y'=12『-24x2+\2x=\2x(x-1)2.

令y'=0,可得駐點(diǎn)％=0,%=l.

y"=36x2-48x+12

=12(3/-4x+1)=12(3x-l)(x-1).

令y”=0,可得力=[-，工4=1.

列表可得

1

X(-8,0)01i(1,+8)

(°-T)3(T-)

y*-0+++0+

)"+++0―0+

拐點(diǎn)

極小值拐點(diǎn)

y、U/u6嗎)znZU

5(1.6)

單調(diào)增加區(qū)間為(0,+8)；

單調(diào)減少區(qū)間為(一8,0)；

極小值為5,極小值點(diǎn)為x=0；

曲線的凹區(qū)間為（-8,（1,+00）;

的線的凸區(qū)間為（"」）；

曲線的拐點(diǎn)為（打郢，（1,6）.

注上述表格填正確，則可得滿分.

這個(gè)題目包含了利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性；求函數(shù)的極值與極值

點(diǎn)；求曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn).

97.

解:y=>|。/的定義域?yàn)?>?

y=2rlnxi-T-x（2lnr?-］）

令『=。得駐點(diǎn)?、丁?=。（含掉）

當(dāng)0<二《*時(shí).六二0；當(dāng)，,Vr時(shí),>'>0,可知，為yuflnx的極小值點(diǎn)

極小值為/（，+）=-￡

解。的圖形見圖中陰影部分.

伽岫=J；dxJ；皿=?；騞x=J：x&

D

98.

99.

解對(duì)參數(shù)P分類討論，令/=3

IV

(1)當(dāng)pV0時(shí)=8,故原級(jí)數(shù)發(fā)散；

(2)當(dāng)p=0時(shí)=1,故原級(jí)數(shù)也發(fā)散,

⑶當(dāng)0<?&1時(shí)