2022高考（課標(biāo)全國卷）數(shù)學(xué)押題模擬卷01

2022高考（課標(biāo)全國卷）押題模擬卷01

（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第n卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自

己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。

2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂

黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效。

3.回答第H卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第I卷

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.（2021?山東泰安高三第三次調(diào)考）cos2--sin2-=（）

88

A.0B.也C.1D.一也

22

【答案】B

【解析】根據(jù)余弦的二倍角公式可得cos2工一sin2^=cos^=也，故選B.

8842

2.（2021?廣東惠州市高三一模）已知集合"={0,1,2,3},N={XX2=I},則"p|N=

（）

A.{1}B.{-1,1}C.{1,0}D.{-1,1,0}

【答案】A

【解析】?源={小2=1}={_1,1},...用口77={1},故選人.

2+4/

3.（2021?陜西西安中學(xué)高三三模）在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)^一對應(yīng)的點(diǎn)位于（）

1+z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

2+4i（2+4z）（l-z）6+2i..

【解析】二二.、.、=-7-=3+，,對應(yīng)點(diǎn)為（3,1）在第一象限.故選A.

1+z（l+z）（l-z）2

4.（2021?江西九江高三第三次調(diào)研）設(shè)a=In2,b=（下產(chǎn),c=（近嚴(yán)，則下列關(guān)系

中正確的是（）

A.b>a>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>c>a

【答案】D

【解析】Qa=ln2<lne=l,h=（^）°'>（^）°1=c>（V2）0=1.：.b>c>a.故選

D.

5.（2021?貴州安順市高三零模）如圖所示的算法框圖思路源于我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算

術(shù)》中的“更相減相術(shù)”，執(zhí)行該算法框圖，若輸入的。、匕分別為36、96,則輸出的。=

（）

I開始）

/輸入a,”

A.0B.8C.12D.24

【答案】C

【解析】第一步：初始值a=36,。=96；此時〃b；進(jìn)入循環(huán)；

第二步：a=36<96,計算。=96-36=60,此時36H60,進(jìn)入循環(huán)；

第三步：a=36<60,計算6=60—36=24,此時36/24,進(jìn)入循環(huán)；

第四步：a=36>24,計算a=36-24=12,此時12w24,進(jìn)入循環(huán)；

第五步：a=12<24,計算。=24-12=12,此時12=12,結(jié)束循環(huán)，輸出a=12.

故選：C.

6.（2021?甘肅蘭州高三段考）已知向量“花滿足￡=（4,0）出=（租,1）,且同=則￡3

的夾角大小為（）

九乃加?3兀

A.—B.—C.—D.—

4324

【答案】A

【解析】?.?同=4,「.4加=4,解得:m=\,即4=（11）,

一tU-b4>/2兀

cos<a,">=麗萬=下-,所以M和B的夾角大小為點(diǎn).故選A.

7.（2020?湖北黃岡高三期末）已知數(shù)列｛勺｝中第15項《5=256,數(shù)列｛〃｝滿足

log^!+log2Z?2+??.+log2fe14=7,且4+1=a“也,則4=（）

I

A.-B.1C.2D.4

2

試卷第2頁，總16頁

【答案】C

【解析】因為數(shù)列也｝滿足10g24+log2b2+…+10g2%=7,所以有4也也…%=27,

又4"+1=。"所以3L=b“，于是有@■x%x&x…x4=444,…偽，所以

ana\443ai2a\

—=27,故4=2.故選C.

q

8.（2021?山東高三聯(lián)考）由倫敦著名建筑事務(wù)所Sfey“Smdio設(shè)計的南非雙曲線大教堂驚艷

世界，該建筑是數(shù)學(xué)與建筑完美結(jié)合造就的藝術(shù)品.若將如圖所示的大教堂外形弧線的一

22

段近似看成雙曲線［-二=1（。＞0力＞0）下支的一部分，且此雙曲線的下焦點(diǎn)到漸近線

a~b-

的距離為2,離心率為2,則該雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=±A/3XB.y=+---xC.y=±xD.y=±2x

3

【答案】B

22

【解析】因為與一二=1(。＞0力＞0),

a方

所以下焦點(diǎn)為(o,—C),漸近線方程為y=±%,即ax+by=Q,

be

則下焦點(diǎn)到依士力=o的距離為dI------------=b=2,

yja2+b2

=2,解得2=有，即0=也,

又因為e=?—=

ah3

所以漸近線方程為：y=±^-X,故選：B

3

9.（2021?安徽金安六安一中高三質(zhì)檢）銳角△ABC中，內(nèi)角A,8,C的對邊分別為a,b,c,

且滿足（。一。）（sinA+sin8）=（c—Z?）sinC,若。=百，則b+c的取值范圍是（）

A.(3,4]c.(3,35/3]D.(3,6]

【答案】B

[解析】因為(。一0)(sinA+sin8)=(c-。)sinC

222222

由正弦定理可得a-b^c-bc＞即b+c-a^bc，

7171

所以cosA="+c--'「=',又Ae(0,,所以A二一

2hc23

bca5/3

2

由正弦定理可知sin8sinCsinAJG,所以匕=2sinB,c=2sinC,

2

-fij]=2Isinfi

則b+c=2(sinB+sinC)=2[sinB+sin+—COSJB

2)

273sinlB+^j,

2萬

0<B+C<——

3

TT717171

因為△45C為銳角三角形且A二一所以0<B<-，解得Be

32

0<C<-

2

71712萬

當(dāng)B喉,雪時,B+官,11，

6

所以8+。,=26$巾（8+￡）€（3,26].故選B.

10.（2021?云南大理高中校聯(lián)考）假設(shè)某射手每次射擊命中率相同，且每次射擊之間相互沒

有影響.若在兩次射擊中至多命中一次的概率是或，則該射手每次射擊的命中率為（）

25

試卷第4頁，總16頁

【答案】C

【解析】設(shè)該射手射擊命中的概率為〃，兩次射擊命中的次數(shù)為X,則X~B（2,p）,

由題可知：尸（X=O）+P（X=1）=￡,即回〃o（i_p）2+c；p（]_〃）=!|,

3

解得〃=《?故選C.

11.（2021?福建德化高三第二次質(zhì)檢）定義在R上的函數(shù)/（力滿足〃x）=〃x+2）,

當(dāng)x?3,5]時/（力=2-卜一4|,則（）

B./(sinl)>/(cosl)

D./(sin2)>/(cos2)

【答案】C

【解析】設(shè)則X+4W[3,5],所以〃工+4）=2-卜+4-4|=2-|乂

又/（x+2）=〃。所以〃x）=〃x+4）=2-國其圖象如下圖所示

因為（＜1、，.岑＜cosl＜sinl＜l,所以/（sinl）＜/（cos1）,B選項不正確;

因為si吟考若T，不%眇伐）所以

八八ZT.71

因為sin2=sin（萬一2）,cos2=-sin2----0<2----<zr-2<—

22

所以0<sin12-1^<sin2=sin（1一2）<1

/（cos2）=/-sin2-y11=/sin（2-列>/（sin（左一2））=/（sin2）所以,D選

項不正確；故選C.

12.（2020?福建泉州高三期末）如圖，正三棱柱ABC-ARC中，BCJAg、點(diǎn)。為AC

中點(diǎn)，點(diǎn)E為四邊形BCG片內(nèi)（包含邊界）的動點(diǎn)則以下結(jié)論錯誤的是（）

A.DA=~（A^A~B^A+BC）

B.若DE〃平面A8BM，則動點(diǎn)E的軌跡的長度等于立AC

2

C.異面直線A。與BG，所成角的余弦值為亞

6

D.若點(diǎn)E到平面ACGA的距離等于KIEB,則動點(diǎn)E的軌跡為拋物線的一部分

2

【答案】A

【解析】對于選項A,Ab^\A-ByA+BC^,選項A錯誤；

對于選項B,過點(diǎn)。作AA的平行線交AG于點(diǎn)。.

以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，麗，麗，西分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Qxyz.

設(shè)棱柱底面邊長為。，側(cè)棱長為8，則A0,0

（2）

試卷第6頁，總16頁

C,|-pO^所以晅鬲

I22J1122J

因為DE〃平面ABgA,則動點(diǎn)E的軌跡的長度等于忸聞選項B正確.

對于選項C,在選項A的基礎(chǔ)上，在［不。,。］,80,^~a,0,。（0,0,0）,G—

k22J

所以方=值0,01，西=，］聿,當(dāng)力,

<2）?（222J

,所以異面直線8G，D4所成角的

余弦值為亞，選項C正確.

6

對于選項D,設(shè)點(diǎn)E在底面ABC的射影為石1，作￡1尸垂直于AC，垂足為F,若點(diǎn)E到平

面ACGA的距離等于走E8，即有E1F=^EB，又因為在ACE1尸中，

22

E1F=—E1C）得EB=E1C,其中E1C等于點(diǎn)E到直線CC1的距離，故點(diǎn)E滿足拋物

2

線的定義，另外點(diǎn)E為四邊形BCG用內(nèi)（包含邊界）的動點(diǎn)，所以動點(diǎn)E的軌跡為拋物線

的一部分,故D正確.

故選A.

第H卷（非選擇題）

二、填空題

13.（2021.山東煙臺高三第四次質(zhì)檢）在新高考改革方案中，要求每位高中生必須在物理、

化學(xué)、生物、政治、歷史、地理6門學(xué)科（3門理科學(xué)科，3門文科學(xué)科）中選擇3門學(xué)科

參加等級考試，小丁同學(xué)理科成績較好，決定至少選擇兩門理科學(xué)科，那么小丁同學(xué)的選科

方案有種.

【答案】10

【解析】選擇兩門理科學(xué)科，一門文科學(xué)科，有C§C；=9種；選擇三門理科學(xué)科，有1種,

故共有10種.

14.（2021?山西省原平市范亭中學(xué)高三月考）一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零

件所花費(fèi)的時間，為此進(jìn)行了8次試驗，收集數(shù)據(jù)如下：

零件個數(shù)1020304050607080

加工時間626875818995102108

2

設(shè)回歸直線方程為y=〃x+a,若方=§，則點(diǎn)（。㈤在直線x-45y-20=0的

方

【答案】右下方

_10+20+30+40+50+60+70+80在

【解析】由題意可得:x=----------------------------------------------=45，

8

62+68+75+81+89+95+102+108=85,則。=9一版=85—^x45=55

故點(diǎn)

2

（久勿為（55,§）在直線1―45y—20=。右下方.

15.（2020?浙江舟山高三期末）已知sina=cosa+-,且ae,則sina=

cos2a

sinfa-^-\-----------,

I4j

…g.4772

【答案】--二匕

55

【解析】由sina=cosa+y,可知sina-cosa=g,

等式兩邊同時平方，結(jié)合sin?a+cos2a=1，可得1-2sinacosa=上，

試卷第8頁，總16頁

12(71

即sinacosa=一，又a￡0,，則sina+cosa=J(sina-cosa)2+4sinacosa

25I

I.14

sina-cosa=—sina=一

解得，;

則7

sina+cosa=—cosa=一

55

由余弦二倍角公式及正弦差角公式展開化簡可得

cos2a_cos2&—sin2a1顯

.（J2=-V2（sina+cosa）=-------

sin|^a--I苛（sina-cosa）5

16.（2021?河北衡水高三第九次調(diào)研）在古代土木工程的計算中，需要研究一些特殊的幾何

體，《九章算術(shù)》記載的塹堵（夕話"曲）就是其中之一.塹堵是指底面為直角三角形且側(cè)棱垂

直于底面的三棱柱，在塹堵ABC—AgG中，AC=A5=A4,=2,E是4G的中點(diǎn)，M

是側(cè)面A叫A內(nèi)（含邊界）的一個動點(diǎn)，若ZEMA,=ZCMA,則CM的最大值是.

【答案】巫

3

【解析】如圖所示，作MN_1明于點(diǎn)N，

A8

設(shè)4V=x(O?xK2),MN=y,

MAACc

由NEMA=ZCMA易得△AMACsAAMAE,得--=--=2,

/W/lj/ijIL

所以M4=2M4「即4+y2=2j(2-x)2+y2,

整理得y2=-x24-yX-y-,

又CM2=AN2+"N2+AC2=X2+2+4=2，.

-33

當(dāng)x=2時，CM取得最大值匹.

3

三、解答題(共0分)

17.(2021?四川省仁壽第一中學(xué)校高三二模)在AABC中，內(nèi)角A,8,C所對的邊分別為

2

,口，o3b

ci,b,ct且1+cosB=----

2ac

(1)證明：成等差數(shù)列；

9

(2)若。=5,cosB=—,求△/15c的面積.

16

筋22,2_120^2

【解析】(1)因為1+COSB=3L,所以1+巴士一L=J

2ac2ac2ac

所以2。。+。？+C2-b2=3b2，即lac+a2+c?2=4/，

所以(a+c)2=4/，所以a+c=?,

所以a,〃,c成等差數(shù)列.

Q/c行

(2)因為cos5=一,8為三角形內(nèi)角，所以sin3=，1一cos?3=、一，

1616

因為川=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB,又a+c=2Z?=l(),

,,9

所以52=l()2—2ac—2ac?一,解得ac=24,

16

所以S=Lacsin6=Lx24x^=^^,

22164

所以△MC的面積為土夕.

4

n7T

18.(2021?四川廣元高三第二次調(diào)研)已知直角△A6C,NA=—,ZC=-,AB=2,

26

D,E分別為AC,8C的中點(diǎn)，將△(以沿折起至△產(chǎn)國,使點(diǎn)P到直線的

距離為

試卷第10頁，總16頁

（1）求證：平面平面ABED;

（2）求二面角A-依—￡的大小.

77JT

【解析】（1）由題意可知,RtZ\A3c中，NA=—，Z-C——，AJ3=2,

AC==一=26BC=-^—=4

所以，71

tan—sin—

66

又D,E分別為AC，BC的中點(diǎn)，則AD=CD=6，BE=CE=2.

將△CDE沿￡）E折起至△PDE后，=（、'）+（"'）'

即P*=AD?+PC?，所以ADJ_PD

因為C￡），￡>E,即PD_L￡>E，又ADcDE=D，所以PD上平面ABED.

因為PDu平面PAD，所以平面B4T>_L平面ABED.

（2）由（1）可知，PD,DA,兩兩垂直，故以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以D4,DE，DP

A（6,o,o）,5（73,2,0）,P（0,0,句,￡（0,1,0）,

則麗=（0,2,0）,而=（6,2,-石），PE=（0,1,-73）.

設(shè)平面APB的法向量為“=（X]，x，zJ,則〈一「1-

、"[PBu=V3%,+2yx-=0,

令玉=1,則Z1=1,即〃=（1,0,1）.

-..PEv=y2-上z2=0,

設(shè)平面P3E的法向量為v=（左,%/,），則〈一；廠

'[PBv=V3X2+2y2->J3Z2=0.

令Z2=l,則為=有，無2=-1，即丫=（一1,6,1）.

兀

即二面角A-PB—E為一.

2

19.(2021?甘肅省民樂縣第一中學(xué)高三段考)一個不透明的袋子中裝有4個形狀相同的小球,

分別標(biāo)有不同的數(shù)字2,3,4,x,現(xiàn)從袋中隨機(jī)摸出2個球，并計算摸出的這2個球上的數(shù)字

之和，記錄后將小球放回袋中攪勻，進(jìn)行重復(fù)試驗.記A事件為“數(shù)字之和為7”.試驗數(shù)

據(jù)如下表：

摸球總次數(shù)1020306090120180240330450

“和為7”出現(xiàn)的頻數(shù)19142426375882109150

“和為7”出現(xiàn)的頻率0.100.450.470.400.290.310.320.340.330.33

(然幽0.33

(1)如果試驗繼續(xù)下去，根據(jù)上表數(shù)據(jù)，出現(xiàn)“數(shù)字之和為7”的頻率將穩(wěn)定在它的概率附

近.試估計”出現(xiàn)數(shù)字之和為7”的概率，并求x的值；

(2)在(1)的條件下，設(shè)定一種游戲規(guī)則：每次摸2球，若數(shù)字和為7,則可獲得獎金7

元，否則需交5元.某人摸球3次，設(shè)其獲利金額為隨機(jī)變量〃元，求〃的數(shù)學(xué)期望和方差.

【解析】(1)由數(shù)據(jù)表可知，當(dāng)試驗次數(shù)增加時，頻率穩(wěn)定在0.33附近，所以可以估計“出

現(xiàn)數(shù)字之和為7”的概率為1,

3

12

???］(4)=鼻=衣，???A事件包含兩種結(jié)果,則有3+4=2+x=7,尤=5,

J4

(2)設(shè)J表示3次摸球中A事件發(fā)生的次數(shù)，則J?8(3.；),EJ=3x；=|,

I22

￡><5=3x-x-=±,

333

則〃=7J_5(3_g)=12f_15,

￡〃=￡。24-15)=12塔-15=-3

D&=0(12^-15)=1440^=96.

20.20.(2021?天津耀華中學(xué)高三二模)已知函數(shù)"X)=x—alnx,g(x)=-(，(。e?-

(1)若L=l,求函數(shù)/(X)的極值；

(2)設(shè)函數(shù)妝x)=f(x)-g(x),求函數(shù)〃(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若在［l,e］上存在瓦，使得/(/)<g(Xo)成立，求"的取值范圍.

【解析】(1)若a=1,/(x)=x-lnx,

試卷第12頁，總16頁

f'(x\=1--=—-,x>0,

xx

/4弓>0得兀>1,/?@<0得0<》<1,

所以〃x)在(0,1)遞減，在(1,+?)遞增，

所以/(x)在x=l處取得極小值1,無極大值；

(2)/z(x)=/(x)-g(x)=x-6?lnx++a

g)=l，_*=x2s；(l+嘰(川乂=(1+吸”〉0

XXXX

〃'(x)的正負(fù)情況與x-(l+?)的正負(fù)情況一致，

當(dāng)a>-l時，〃'(x)<0得(0,1+a),/z'(x)>0得(l+a,+oo),

/z(x)在(0,1+a)上單調(diào)遞減，在(l+a,+8)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a<T時，x-(l+?)>0,〃'(x)>0,〃(x)在(0,+?)上單調(diào)遞增.

(3)在［l,e］上存在一點(diǎn)飛,使得/(Xo)<g(x。)成立，即在［l,e］上存在一點(diǎn)X。，使得

〃(玉))<0,即函數(shù)在［l,e］上的最小值小于零.

由(2)可知：

?l+a>e,即aNe-1時,〃(x)在［l,e］上單調(diào)遞減；所以〃(x)的最小值為〃(e),由

〃(6)<0可得土二，因為上士>>”1,所以。>土二；

e-1e-1e-1

②1+aVl,即a40時,/i(x)在［l,e］上單調(diào)遞增，所以網(wǎng)力最小值為現(xiàn))，由〃⑴<0

可得a<—2；

③當(dāng)l<l+a<e,即0<a<e-l時，可得力(九)最小值為/z(l+a),因為0<ln(l+a)<l,

所以，0<aln(l+a)<a,故〃(l+a)=2+a-aln(l+a)>2,此時，〃(l+a)<0不成

立，

綜上討論可得所求。的范圍是：。>”出或。<一2.

e-1

22

21.(2021?廣東東莞市高三摸底模擬)已知橢圓方程為二+匕=1(()<力<4)，拋物線

6b

方程為/=4hy.過拋物線的焦點(diǎn)作尸軸的垂線，與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為力，拋物

線在點(diǎn),4處的切線經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)F.

（1）求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程；

（2）設(shè)尸為橢圓上的動點(diǎn)，由尸向X軸作垂線P。，垂足為。，且直線/>。上一點(diǎn)M滿

足/?。|=2|時。|,求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線？

【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為（0力），過拋物線的焦點(diǎn)垂直于y軸的直線為），=從

—=4hv

由,".得點(diǎn)力的坐標(biāo)為Qb,b）.....................2分

y=6

由1=4勿得y=Lx2，，/=±x，故"Il產(chǎn)L

4。lb

...拋物線在點(diǎn)力的切線方程為），-/>=X-2力，即x-y-/>=0.........4分

令y=0得x=力，，橢圓的右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（b,0）........5分

又由橢圓方程及0<h<4知，右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為（J6-6,0）.........6分

,6-b=h'解得b=2.....................7分

橢圓方程為E+ii=i，拋物線方程為/=81，................8分

62'

（2）設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（.%,為），點(diǎn)A■/的坐標(biāo)為（x,j），則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（.v,0）,

且x0=x,J。=±勿.由己知知為>0.....................10分

x2y1

將其代入橢圓方程得不+5-=1.....................11分

當(dāng)人=立，即6=捻時，點(diǎn)M的軌跡方程為x2+y2=6,其軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半

徑為新的圓；....................12分

j—X*y2

當(dāng)0<'<立，即6<2■時，點(diǎn)用的軌跡方程為不+方-=1,其軌跡是焦點(diǎn)在y軸上

32萬

的橢圓