對數(shù)函數(shù)課件（第二課時） 2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊

對數(shù)函數(shù)(2)圖象a>10<a<1性

質(zhì)

對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)(4)

0<x<1時,y<0;x>1時,y>0(4)

0<x<1時,y>0;x>1時,y<0(3)過點(1,0),即x=1時,y=0(1)定義域：(0,+∞)(2)值域：Rxyo(1,0)xyo（1,0)(5)在(0,+∞)上是減函數(shù)(5)

在(0,+∞)上是增函數(shù)對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)例1.溶液酸堿度的測量問題：溶液酸堿度pH的計算公式為pH=－lg[H+]，其中[H+]表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升.

（Ⅰ）分析溶液酸堿度與溶液中氫離子濃度之間的關(guān)系？（Ⅱ）純凈水[H+]=10--7摩爾/升，計算純凈水的酸堿度.[-2,+∞)(4,+∞)例2[歸納提升]

1.求形如y＝loga

f(x)(a>0，且a≠1)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的具體步驟是：(1)求定義域；(2)拆分函數(shù)；(3)分別求y＝f(u)，u＝φ(x)的單調(diào)性；(4)按“同增異減”得出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．2．對于形如y＝loga

f(x)(a>0，且a≠1)的復(fù)合函數(shù)的值域的求法的步驟：①求定義域；②分解成y＝logau，u＝f(x)兩個函數(shù)；③求u的取值范圍；④利用y＝logau的單調(diào)性求解．2.已知函數(shù)在[0，1]上是減函數(shù)，則a的取值范圍是（）A.（0，1）B.(1,2)C(0,2)D[2,+∞）鞏固練習(xí)1.求函數(shù)y=loga(ax-1)（a>0且a≠1）的單調(diào)性.[正解]

令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax為減函數(shù)，又根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義域要求u＝2－ax在[0,1]上恒大于零，當(dāng)x∈[0,1]時，umin＝2－a>0，解得a<2.根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”法則，要使f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上為減函數(shù)，則需y＝logau為增函數(shù)，所以a>1.綜上可得1<a<2，故選B．例3.已知(a>0,a≠1)(1)求f(x)的定義域；(2)求使f(x)>0的x取值范圍.解：（1）由>0,得-1<x<11+x1-x故所求的定義域為（-1，1）（2）當(dāng)a>1時，由log>0=log得>1,a1+x1-xa11+x1-x即-1<x<11+x>1-x所以x∈(0,1)當(dāng)0<a<1時,由log>0=log得0<<1,1-xaa11+x1+x1-x即-1<x<11+x<1-x所以x∈(-1,0)

練習(xí).函數(shù)的奇偶性為（）A．奇函數(shù)而非偶函數(shù)B．偶函數(shù)而非奇函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．既奇且偶函數(shù)判斷函數(shù)的奇偶性時，首先要注意求函數(shù)的定義域，函數(shù)具有奇偶性，其定義域必須關(guān)于原點對稱．例4.求函數(shù)的值域思考.已知函數(shù)(1)當(dāng)定義域為R時,求a的取值范圍;(2)當(dāng)值域為R時,求a的取值范圍.

探究：如何由y=2x求出x？

由對數(shù)的定義可得x=log2y。

在指數(shù)函數(shù)y=2x中，x為自變量（），y是因變量（），y是x的函數(shù)，而且在Ｒ上為單調(diào)遞增函數(shù)。在上式中若把y

看成自變量，把x看成因變量，那么x是y的函數(shù)嗎？函數(shù)x=log2y是函數(shù)y=2x的反函數(shù)習(xí)慣上我們通常用x表示自變量，y表示函數(shù)，即寫為

y=log2x。

那么我們就說指數(shù)函數(shù)y=2x與對數(shù)函數(shù)y=log2x互為反函數(shù)。

反函數(shù)的概念從y＝ax(a>0,且a≠1)可以解得：x＝logay.因此指數(shù)函數(shù)y＝ax的反函數(shù)是y＝logax又因為y＝ax的值域為（0，＋∞）所以y＝logax(a>0,且a≠1)的定義域為（0，＋∞）

指數(shù)函數(shù)y＝ax的反函數(shù)是y＝logax(a>0,且a≠1)那么，它們的圖象有什么關(guān)系呢？運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，探索下面幾個問題，親自發(fā)現(xiàn)其中的奧秘吧！P135頁

指數(shù)函數(shù)y＝ax的反函數(shù)是y＝logax(a>0,且a≠1)那么，它們的圖象有什么關(guān)系呢？運用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，探索下面幾個問題，親自發(fā)現(xiàn)其中的奧秘吧！P135頁

問題1在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出指數(shù)函數(shù)y=2x及其反函數(shù)y=log2x的圖象，你能發(fā)現(xiàn)這兩個函數(shù)的圖象有什么特殊的對稱性嗎？

問題2取y=2x圖象上的幾個點，說出它們關(guān)于直線y=x的對稱點的坐標(biāo)，并判斷它們是否在y=log2x的圖象上，為什么？

問題3如果P0（x0，y0）在函數(shù)y=2x的圖象上，那么P0關(guān)于直線y=x的對稱點在函數(shù)y=log2x的圖象上嗎，為什么？

問題4由上述探究過程可以得到什么結(jié)論？

問題5上述結(jié)論對于指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0,且a≠1)，且及其反函數(shù)y＝logax(a>0,且a≠1)

，且也成立嗎？為什么？

列表…3210-1-2-3…y…8421…x…8421…y…3210-1-2-3…x11xyoy=2x及其反函數(shù)y=log2x的圖象（1）互為反函數(shù)的兩個函數(shù)是定義域、值域相互交換，對應(yīng)法則互逆的兩個函數(shù)；（2）由反函數(shù)的概念可知“單調(diào)函數(shù)一定有反函數(shù)”；問題:作出函數(shù)y＝log2x和函數(shù)y＝logx的圖像.互為反函數(shù)的兩個函數(shù)圖像關(guān)于直線y＝x對稱y＝xy＝2xy＝log2x0xy1234567887654321-3-2-1-1-2-3y＝2x

的反函數(shù)為y＝log2xy＝xx08765432112345678-3-2-1-1-2-3y的反函數(shù)為指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)圖象xoy11圖象性

質(zhì)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a≠1)指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)(4)

a>1時,x<0,0<y<1;x>0,y>1

0<a<1時,x<0,y>1;x>0,0<y<1(4)

a>1時,0<x<1,y<0;x>1,y>0

0<a<1時,0<x<1,y>0;x>1,y<0(5)

a>1時,在R上是增函數(shù)；

0<a<1時,在R上是減函數(shù)(5)

a>1時,在(0,+∞)是增函數(shù)；

0<a<1時,在(0,+∞)是減函數(shù)(3)過點(0,1),即x=0

時,y=1(3)過點(1,0),即x=1時,y=0(2)值域：(0,+∞)(1)定義域：R(1)定義域：(0,+∞)(2)值域