（人教A版）2021年新高一數學暑假講義-第三講 集合之間的關系（一）（教師版）

第三講：集合之間的關系(一)

W【學習目標】

1.理解子集、真子集、集合相等、空集的概念;

2.能用符號和Venn圖表達集合間的關系；

3.掌握列舉有限集的所有子集的方法.

解【基礎知識】

一、子集、真子集、集合相等

1.子集、真子集、集合相等的相關概念

定義符號表示圖形表示

如果集合A中的任意一個元素都是集

AQB

子集合8中的元素，就稱集合A是集合3（^0）

（或8口4）

的子集

如果集合但存在元素x68,

AUB

真子集且出,就稱集合A是集合8的真子

（或3BA）

集

如果集合A的任何一個元素都是集合

B的元素，同時集合B的任何一個元

集合相等A=B

素都是集合A的元素，那么集合A與

集合B相等

二、子集的性質

(1)任何一個集合是它本身的子集,即AUA.

(2)對于集合A,B,C,如果AUB,且BUC,那么AUC.

三、空集

1.定義：不含任何元素的集合叫做空集,記為巴

2.規(guī)定：空集是任何集會的子集.

學【考點剖析】

考點一：簡單集合間關系的判斷

k1k1

八―例1.設集合〃={X|X=7+：?￡Z},N={X|X|X=：+不ZEZ},則M，N的關系為（）

LEI3663

A.MqNB.M=NC.MD.MeN

【答案】A

【詳解】

k1k12^+1

集合M={x|x=—+—,ZEZ}中的元素，滿足%=勺+:=」^,keZ、

36366

k\k1斤+2

集合N={x|x|%=:,ZEZ}中的元素，滿足x=5+：=keZ,

63636

???2Z+1表示所有的奇數，Z+2表示所有的整數：

:.MjN

故選：A.

變式訓練1：集合M=k|x=2",〃eN},N={x|x=2〃,〃cN},則集合"與N的關系是（）

A.M=NB.NjMC.AfQ=0D.MgN且.NgM

【答案】D

【詳解】

因為leM，leN且OeN,O^M,所以M（zN且N（zM.

故選：D.

7/TTTTTT

變式訓練2：若集合M={x|x=h2—2,左eZ},N={x|x=旌蘭+2,ZeZ},則（）

2442

A.M=NB.M=NC.N三MD.Mp|N=0

【答案】B

【詳解】

77'JI

k--------=（2^-1）--,keZ時，2攵一1取得所有奇數，

244

'Ji'）1

k--+-^（k+2）--,ZeZ時，Z+2取得整數

424

因此MqN.

故選:B.

變式訓練3：設集合P={y|y=x2+i},M={Ny=x2+i},則集合用與集合P的關系是（）

A.M=PB.PGMC.MVPD.PUM

【答案】D

【詳解】

「=卜}=爐+1}={田丁21}=[1，M），M=崗），=》2+1}=火，

所以PUM.

故選：D.

考點二：集合之間的關系

例2：下列六個關系式：①{兄。}={d。}；②{a,例三協,。}；③0={0}；④{0}=0；⑤01{0}；

⑥0G{（）}.其中正確的個數是（）

A.1B.3C.4D.6

答案：C

解析：①正確，集合中元素具有無序性；②正確，任何集合是自身的子集；③錯誤，。表示空集，而{0}

表示的是含0這個元素的集合，是元素與集合的關系，應改為0€{0};④錯誤，。表示空集，而{0}表示

含有一個元素。的集合，并非空集，應改為0c{0}：⑤正確，空集是任何非空集合的真子集；⑥正確，是

元素與集合的關系.

變式訓練1：以下六個關系式：0e{0},{0}30,0.3/Q,OeN,{a,b}^{b,a},

{x|V—2=o,xeZ}是空集，錯誤的個數是（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【詳解】

根據元素與集合間的關系可判定0e{0}、OeN正確，0.3任。不正確，根據集合與集合之間的關系可判定

{O}o0,{a,b}^{b,a},{x|/-2=0,》62}是空集正確

故選：D

變式訓練2：下列寫法：(1){0}e{2,3,4);(2)0o{O};(3){-1,0,1}={0,-1,1}：(4)Oe0,

其中錯誤寫法的個數為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【詳解】

由集合與集合的關系可知，（1）錯誤；空集是任何集合的子集，（2）正確；由集合的無序性以及集合相等

的定義可知，（3）正確；空集是不含任何元素的集合，（4）錯誤；

故選：B

變式訓練3已知集合4=@|/=4},①2qA；②{-2}eA；③。叫A；④{—2,2}=A；⑤一2G4則

上列式子表示正確的有幾個（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【詳解】

'.1A=x2=41={-2,2},故④正確，

，2eA,故①錯誤；—2eA，故⑤正確；{一2}14,故②錯誤；0=4,故③正確.

所以正確的有3個.

故選：C.

考點三：確定集合的子集、真子集

例2.設4={%|（》2—16）（/+5》+4）=0},寫出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集.

解：由（x2—16）（x2+5x+4）=0,得（x—4）（x+l）（x+4）2=0,

解方程得x=—4或x=—1或x=4.

故集合A={-4,-1,4）.

山0個元素構成的子集為0;

由1個元素構成的子集為{-4},{一1},{4}；

由2個元素構成的子集為{-4,-1）,{-4,4},{-1,4}；

由3個元素構成的子集為{-4,-1,4}.

因此集合A的子集為0,{-4},{一1},{4},{-4,-1},{-4,4}.{-1,4},{-4,-1,4}.

真子集為0，L4},{-1},{4},{-4,-1},{-4,4}.{-1,4}.

變式訓練1：集合{1,2}的子集有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

答案：A

解析：集合{1,2}的子集有。，{1},{2},{1,2},共4個.

變式訓練2：寫出集合{a,。,c}的所有子集，并指出其中的真子集的個數.

解：集合{a,b,c）的子集有0,{a},,（c）,（a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c},其中除{a,b,c}外,

都是{a,b,c）的真子集，共7個.

考點四：子集、真子集的個數

d」4.集合A={a,h,c,d}非空子集的個數是（）

A.13B.14C.15D.16

【答案】C

【詳解】

,集合A={a,b,c,d}中有4個元素,

.??非空子集的個數為：24-1=15,

故選：C.

變式訓練1：已知集合用={0,1,2},則M的子集有（）

A.3個B.4個C.7個D.8個

【答案】D

【詳解】

因為集合M={0,1,2}共有3個元素，所以子集個數為23=8個.

故選：D.

變式訓練2：若集合A={xeZ|—1<x<2）,則A的真子集個數為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【詳解】

因為集合4={xeZ|—l<x<2},所有集合人={0,1},

所以A的真子集個數為：22—2=3.

故選：C

變式訓練3：已知集合4={42*—[42,xeZ},則集合A的子集個數為（）

A.0B.1C.2D.4

【答案】D

【詳解】

A=|x||2x-l|<2,xeZ}=jx|-^<x<|,xez|={O,l},共兩個元素

則集合A的子集個數為2?=4

故選：D

考點三：子集、真子集的個數

任[例4.已知集合滿足{l,2}qAq{l,2,3},則集合A可以是（）

A.{3}B.{1,3}C.{2,3}D.{1,2}

【答案】D

【詳解】

???{1,2}口41{1,2,3},

二集合A可以是{1,2},{1,2,3）.

故選：D.

變式訓練1：設全集Q={x|2f-5x?0,xeN},且PqQ,則滿足條件的集合P的個數是（）

A.3B.4C.7D.8

【答案】D

【詳解】

由不等式2f—5x<0,解得04x?|,即°=卜疝2—5%〈0,%€玨={0,1,2}

又由?！闝，可得滿足條件的集合P的個數為23=8.

故選：D

變式訓練2：已知{出2-3》+2=0}141{1,2,3,4,5,6},則集合A的個數為（）

A.18B.16C.15D.8

【答案】B

【詳解】

?.?｛X|X2-3X+2=0｝=｛1,2｝,所以，｛1,2｝q｛1,2,3,4,5,6｝,

則滿足條件的集合A有:｛1,2｝、｛1,2,3｝、｛1,2,4｝、｛1,2,5｝、｛1,2,6｝、｛1,2,3,4｝、｛1,2,3,5｝、｛1,2,3,6｝、

｛124,5｝、｛1,2,4,6｝、｛1,2,5,6｝、｛1,2,3,4,5｝、｛1,2,3,4,6｝、｛1,2,3,5,6｝、｛1,2,4,5,6｝,｛1,2,3,4,5,6｝,

共16個，

故選：B.

變式訓練3：已知集合4=｛小2-3%+2=0｝,8=｛x[0<x<6,xeN｝,則滿足的集合C的

個數為()

A.7B.6C.5D.8

【答案】A

【詳解】

解：A=｛X|X2_3X+2=O｝=｛],2｝,8=｛x|0<x<6,xeN｝=｛l,2,3,4,5｝,

AcCB,

則集合C的個數與集合｛3,4,5｝的真子集個數一樣，即有23-1=7個.

故選：A.

考點四：集合相等

例4.已知集合A=｛O,a+b,j-｝,B=｛0,1-),1｝,(。，/?€7?),若71=3，則。+26=()

A.-2B.2C.-1D.1

【答案】D

【詳解】

?.?集合A=",a+%),8=｛0,l—仇1｝,且A=B，

a+b=\—b^—=1,或a+Z?=l,3=l一

bb

先考慮。+匕==1,解得a=b=1,

h3

此時A=[o,|』1,B=滿足題意，

a+2h=l；

再考慮。+〃=1,@=l-b,解得a=O,b=1,

h

此時A={0,1,0},3={0,0,1},不滿足題意，

綜上，a+2b=\

故選：D

變式訓練1：下列集合與集合A={2,3}相等的是（）

A.{（2,3）}B.{（x,y）|x=2,y=3}

C.{x*_5%+6=0}D.{x=2,y=3}

【答案】C

【詳解】

集合A表示數字2和3的集合.

對于A：集合中的元素代表點（2,3）,與集合A不同，A錯誤；

對于B：集合中的元素代表點（2,3）,與集合A不同，B錯誤；

對于C：山％2_5%+6=0得：x=2或x=3，與集合A元素相同，C正確；

對于D：表示兩個代數式的集合，與集合A不同，D錯誤.

故選：C.

變式訓練2:已知a,beR,若{。,一,1}={。2,4+慶0},則〃2021+/?2021的值為（）

a

A.-1B.0C.1D.—1或0

【答案】A

【詳解】

由且QHO，則2=0,

IaJa

:.b=0,于是〃2=1，解得。=1或。=一1.

根據集合中元素的互異性可知夕=1應舍去，

因止匕。=—1,

故〃2。21+62021=（7）202,02021=—].

故選：A.

變式訓練3：已知aeR,h&R,若集合信,幺1}={"，。一"0},則/。2。+伯+1產。的值為（）

a

A.2B.1C.-2D?-1

【答案】A

【詳解】

由題意，集合*,，1}={。2,。一40},可得3=0,即匕=0，

除=1

所以{。,0,1}={/,0,0},可得[二，解得a=T,

所以a2O2O+（b+1）2020=（-1）2020+（0+1產。=2,

即。2。2。+9+1）2。2。的值2.

故選：A.

【真題演練】

1、【2012新課標，文1］已知集合A={x|%2-x-2<0},B={X|-1<%<1},則()

A.At)8B.Bt)AC.A=BD.AQB=0

【答案】B

【解析】A=(-1,2),故BUA,故選B.

2、【2015重慶，理1】已知集合4={1,2,3},5={2,3},則（）

A.A=BB.An_8=0C.AUBD.B\jA

【答案】D

【解析】由于26426及3€43€氏1641史8,故人、8、（：均錯，D是正確的，選D.

3、【2012大綱，文1】已知集合4={兀I%是平行四邊形},B={x|x是矩形},C={x|x是正方形},

￡>={xI%是菱形},則()

A^BB.CQBC.DJCD.AND

【答案】B【解析】?.?正方形一定是矩形，是8的子集，故選3.

4、[2012年湖北，文1】己知集合4={*|/-3工+2=0,X€用，B={x|O<x<5,xeN}-,則滿足條件

A=的集合。的個數為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】求解一元二次方程，A={x|x2-3x+2=O,xeR}={l,2},易知

5={X[0<X<5,XGN}={1,2,3,4}.因為=所以根據子集的定義，集合C必須含有元素1,

2,且可能含有元素3,4,原題即求集合{3,4}的子集個數，即有2?=4個.故選D.

當堂小結】

1、知識清單:

(1)子集、真子集、空集、集合相等的概念及集合間關系的判斷.

(2)求子集、真子集的個數問題.

2、方法歸納：分類討論.

L^J【過關檢測】

1、下列各式中，正確的是()

?{0}e{0,l,2};②{0,1,2}12,1,0}；③0=0,1,2}；?0={0};⑤{0,1}={(0,1)}；⑥0={0}.

A.①②B.②⑤C.④⑥D.②③

【答案】D

【詳解】

①集合之間沒有屬于、不屬于關系，錯誤.

②{0,1,2},{2,1,0}是相等的,故{0,1,2}=2,1,0}成立，正確.

③空集時任何集合的子集，正確.

④0,{0}不相等,錯誤.

⑤{0,1},{(0,1)}集合研究的元素不一樣，沒有相等或包含關系，錯誤.

@0e{0},元素與集合只有屬于、不屬于關系，錯誤.

故選：D

2、給出下列關系式：①g=Q；②0q{x|爐+x+i=o}；③{(l,-4)}q{(x,y)|y=f_2x_3}；④

{x[2<x}=[2,+8),其中正確關系式的個數是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【詳解】

2

對于①§eQ，元素與集合間的關系為屬于關系，不是包含關系，故①錯誤：

對于②空集是任何集合的子集，故②正確；

對于③，{(l,-4)k{(x,y)|尸》2一2%一3}點(1,-4)為拋物線”犬一2無一3上的點，故③正確；

對于④{x[2<x}=[2,+8),故④錯誤；

所以正確的個數為2個.

故選：C.

3、下列關系式中正確的個數是()個

①geQ;②6eR;③OeN*;④4eZ；⑤{0}={小2=q；⑥0§{0}

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【詳解】

①Q為有理數集，所以;eQ正確；

②H為實數集，所以不正確；

③N*為正整數集，所以OeN*不正確；

④Z為整數集，所以;reZ不正確；

⑤{小2=x}={小2—X=o}={0,1},故{0}={小2=x}不正確;

⑥。是不含任何元素的子集，是任一非空集合的真子集，所以0￡｛0｝正確.

綜上，正確的只有①⑥，共2個.

故選：B.

4、給出下列說法:①②0g｛0,1,2｝；③｛1｝口｛0,1,2｝；④｛0,1,2｝=｛2,0/｝.其中正確的個數為

（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【詳解】

對于①，由元素與集合的關系可知正確；

對于②，由空集是任意集合的子集知正確；

對于③，根據集合間的關系知正確；

對于④，由集合中元素具有無序性知正確.

故選：D.

5、在①1=0,1,2｝；②｛1｝"0,1,2｝；③｛0,1,2｝工｛0,1,2｝；④0=0｝上述四個關系中，錯誤的個數

是（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】B

【詳解】

解：“=”表示集合與集合間的關系，所以①錯誤；

集合｛0,1,2｝中元素是數，⑴不是集合｛0,1,2｝元素,所以②錯誤;

根據子集的定義，｛0,1,2｝是自身的子集，

空集是任何非空集合的真子集，所以③④正確；

所表示的關系中，錯誤的個數是2.

故選：B.

6、已知集合2=｛1,2,3,4｝,則滿足｛l,2｝qQ鼠P的集合。的個數是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【詳解】

解：由題題意可知,滿足條件的集合Q有口,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}共4個.

故選：D.

7、以下六個命題中：0e{0}；{0}30；0.3eQ；OGN；[a,b]^{b,a}；{x|/一2=0,%62}是空

集.正確的個數是（）

A.4B.3C.5D.2

【答案】C

【詳解】

根據元素與集合間的關系可判定0e{0}、OeN正確，03任。不正確，根據集合與集合之間的關系可判定

{0}。0、{a,b}q{b,a}、{乂M-2=0,xez}是空集正確.

故選：C.

8、已知集合4="次2-3九+2=0,xeR},3={x|0<x<6,xeN},則滿足條件AgCq3的集合C

的個數為（）

A.3B.4C.8D.16

【答案】C

【詳解】

A={x|%2—3x+2=0,xeR}={1,2}

3={x|0<x<6,xeN}={l,2,3,4,5}

由則集合C中必有元素1,2,而元素3,4,5可以沒有，可以有1個，或2個，或3個.

即滿足條件的集合C為：{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,234},

{1,24,5},{1,2,3,5},{1,2,4,3,5}共8個

故選：C

9、若{1,2}cMc{0,1,2,3,4},則滿足條件的集合M的個數為（）

A.7B.8C.31D.32

【答案】B

【詳解】

由題意，因為{1,2}=M={0,1,2,3,4},

所以集合Af中至少含有1，2兩個元素，至多含有0,1,2,3,4

這5個元素，因此集合M的個數即為集合［0,3,4}的子集個數，即為23=8個.

故選：B.

10、已知集合M滿足{1}1用？{1,2,3},則滿足條件的集合M的個數是（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【詳解】

因為集合〃滿足{1}￡例？{1,2,3},

所以滿足條件的集合〃有：{1},{2},{1,2}，

即集合M的個數是3,

故選：B.

14、下列集合與集合A={1,3}相等的是（）

A.（1,3）B.{（1,3）}

C.|x|x2-4x+3=o1D.{（x,y）|x=l,y=3}

【答案】C

【詳解】

A項不是集合，B項與D項中的集合是由點坐標組成，

C項：％2_以+3=0，即（x—3）（x—1）=0,解得x=3或x=l,

集合忖/_?+3=0}即集合{1,3},

因為若兩個集合相等，則這兩個集合中的元素相同，

所以與集合A={1,3}相等的是集合卜卜2一以+3=0},

故選：C.

b,

15、已知aeR,beR,若集合{。,一,1}={/,。+九0},則儲叫+從（）19的值為（）

a

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】B

【詳