2020年考研數(shù)學(xué)模擬試題及答案解析一

2020年考研數(shù)學(xué)模擬試題及答案解析一

卷面總分：100分答題時(shí)間：90分鐘試卷題量：25題

—、單選題（共22題，共88分）

1.

1-8衛(wèi)*〉0

/⑴=CIX

"xwO

若函數(shù)在x=0處連續(xù)，則（）

A.ab=l/2

B.ab=-l/2

C.ab=0

D.ab=2

2.

設(shè)二階可導(dǎo)函數(shù)/（X）滿足/⑴=/（7）=lJ（°）=7且/⑴＞（），則（）

j1y（x）f/.v>o

A.

B.

J"'油<￡/（'）△

3.

設(shè)數(shù)列D"；收斂，則（）

當(dāng)limsin工=0時(shí)，liinx”=0

A."Th”―

當(dāng)lim（xn+=0時(shí)，limX"=0

B.J-b1

當(dāng)lim（工+x/）=0時(shí)，limx=0

C"for

當(dāng)liin（-\,+sin工）=0時(shí)，］im-v,=0

D〃-??“ta

4.

微分方程的特解可設(shè)為（）

A/+e218cos2*+Csin2、）

A.

Axe-cos2戈+0sin2-r）

B.

Ae2x+xe2'（Bcos2-<+Csin2、）

C.

Are"+e2x（Bcos2r+Csin2.t）

5.

2

設(shè)f(x,y)具有一階偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意的(x,y)

都有“(=')>()."(、')>0，則

dxdy

A.f(0,0).>f(1,1)

B.

f(0,0)<f(1,1)

C.f(0,l)>f(l,0)

D.f(0,l)<f(l,0)

6.

甲乙兩人賽跑，計(jì)時(shí)開(kāi)始時(shí)，甲在乙前方10(單位：m)處，圖中實(shí)線表

示甲的速度曲線v=vl(t)(單位：m/s),虛線表示乙的速度曲線v=v2(t),

三塊陰影部分面積的數(shù)值依次為10,20,3,計(jì)時(shí)開(kāi)始后乙追上甲的時(shí)刻記為t0

(單位：s),則()

A.t0=10

B.

3

15<t0<20

C.tO=25

D.tO>25

7.

設(shè)A為三階矩陣,P為可逆矩陣使得P-1AP=O12

’0、

設(shè)A為三階矩陣，P=（a].a〉aJ為可逆矩陣，使得P‘AP=1，則4a1,%.%）=（）

7

A必+Ct2

B,處+2/

C處+%

D?i+2%

8.

'20O''210"'10o'

A=021.B—020.c=020

001001002

設(shè)矩陣d1j1，則（）

A.A與C相似，B與C相似

B.A與C相似，8與C不相似

C.A與C不相似，B與C相似

4

D.A與C不相似，B與C不相似

9.

/：(0.0)=3/'(0,0)=1

設(shè)f（x,y）在點(diǎn)（0,0）附近有定義，且，則

A."一。.。）=3八+心.

曲面z=/(*,y)在(0,(),/((),()))處"去向法為{3.I1}.

B.

[z=f(x,V)「

曲線I在(O.O./(O.O))處砒晌量為{LO.3}.

Iy=()

fz=/（.V.V）"

曲線在（（）.（）,./（（）?（）））處砒晌量為13.0.1}.

y=o

10.

設(shè)f（0）=0，則f（x）在x=0處可導(dǎo)充要條件為（）

-cosh)存在.

jolr

lini-J-/)存在.

B.h-^h

lin】k/(力一sinh)存在.

C.1一“l(fā)r

（如存在.

11.

5

設(shè)A,8=,則人與8=（）

I1IH「400O-

111,0000，…?

設(shè)八=,B=，則A與Z?

1I10000

1IIj0000

A.合同且相似.

B.合同但不相似.

C.不合同但相似.

D.不合同且不相似.

12.

將一枚硬幣重復(fù)擲n次，以X和丫分別表示正面向上和反面向上（D次數(shù)，則

X和Y相關(guān)系數(shù)等于（）

A.-1

B.0

C.1/2

D.1

13.

當(dāng)XTO時(shí)，與根號(hào)x等價(jià)的無(wú)窮小量是（）

6

B.

Icos^/x.

D.

14.

!'=2+ln(l+t>,)

曲線x,漸近線的條數(shù)為()

A.0

B.1

G2

D.3

15.

如圖，連續(xù)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[-3,-2],[2,3]上的圖形分別是直徑為1

的上、下半圓周，在區(qū)間【-2,0],[0,2]的圖形分別是直徑為

貝U下列結(jié)論正確的是()

.'(3)=-；尸(-2).

A.4

飛)=滔2).

R4

?(-3)=9(2).

7

5

16.

設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是()

若1皿3存在，則和)=0.

A.一"工

B.若呼幺盧格,則加印

若1血止2存在，則f，@存化

c.—

么上■上2存在，則r(0)存在

若lim-

D.一x

17.

設(shè)隨機(jī)變量(x,Y)服從二維正態(tài)分布，且X與丫不相關(guān)，f(x)f(y)XY分

別表示X，丫的概率密度，則在丫=y的條件下，X的條件概率密度f(wàn)X|Y(X|Y)

為()

A./、(、)?

A(y).

DB.

c/>(-v)A(y).

ACO

D./>")

18.

8

設(shè)函數(shù)〃X)在(0,田)上具有二階劇，且廠(a)＞0.令"，=/(")("=L2,…,)，則下列結(jié)論正確

的是()

若“1＞電，則｛〃”｝必收斂.

_若，，1＞電，則｛“"｝必發(fā)散

B.

C若則｛"“｝必收斂

口若〃1＜嶺，則｛"力必發(fā)散

19.

設(shè)曲線L:f(x,y)=l(f(x,y)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))，過(guò)第II象限內(nèi)的點(diǎn)M和第

IV象限內(nèi)的點(diǎn)N,T為L(zhǎng)上從點(diǎn)M到點(diǎn)N的一段弧，則下列小于零的是()

.(A)fZUV)dv.

(B)f

B.?

c(C)￡/(?")日、

(D)[/：(工+/：*」＞.

D.Jz

20.

設(shè)向量組如生。V線性無(wú)關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是()

g一色，七一%心一a

9

%十七:七+七:七+a1

B.

C的一2生.c(2—2a3:4—2幽.

(X[+2a”a,+2a；.+2缶.

D.

21.

-1-12000

設(shè)矩陣I71’則A與B()

A.合同且相似.

B.合同，但不相似.

C.不合同，但相似

D.既不合同，又不相似.

22.

某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標(biāo)的概率為p(0<p<l),則此

人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為()

A.3/噂

B.

C3/r(l-/>)2.

6p1(l-p)2.

io

二、填空題（共2題，共8分）

23.

x=t+e'i/2v

確JE,則nl丁-

y=sintdx-

設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程'

24.

曲線y=x(l+arcsin2/x)的斜漸近線方程為

三、問(wèn)答題（共1題，共4分）

25.

’0100、

A=°01:,則的秩為L(zhǎng)

000

設(shè)矩陣卜00以請(qǐng)瑜正。

11

答案解析

一、單選題

1A

1r

lim--c°‘'=lim——=—.Q/"(-<,)在x=0處連續(xù)二—=>，力=1.選A.

uaxJOax2a2〃2

2B

/(x)為偶函數(shù)時(shí)滿足題設(shè)條件，此時(shí)「/(、)，&=￡/(叼右，排除C.D.

取/(x)=2/-1滿足條件，貝打：/(')公=/：(2/一1)公=-：<(),選B.

3D

t解析】特值法：(A)取X”=兀，Wlimsin.r=O,limv=兀，A錯(cuò)；

/I—f!—>00

取當(dāng)=一1,排除B.C.所以選D.

4A

【解析】特征方程為：22-42+8=0=>4二=2±2，

2x2x22x

Qf(-V)=+cos2-V)=e+ecos2、,y*=Ae\y^=xe(Bcos2*+Csin2-'),

故特解為：V*=v*+y*=Ae2<+xe-'(Bcos21+Csin2.v),選c.

5D

12

t解析】小？〉0.91<0,n/(K.Y)是關(guān)于工的單調(diào)遞增函數(shù)，是關(guān)于.V的單調(diào):

所以有/(0,1)</(1,!)</(1,0),故答案選D.

6C

【解析】從o到八這段時(shí)間內(nèi)甲乙的位移分別為jj(皿則乙要追上甲，則

Jv2(t)-V](t>//=10,當(dāng)/=25時(shí)滿足,故選C.

7B

t解析】

‘°]f°]f°

P'AP=1n4P=P

=>ASiaa)=(462，。J

\)\r\

因此B正確。

8B

【解析】由|AE-A|=o可知A的特征值為2,2.1,

U00、

因?yàn)?-“2￡-4)=1,，人可相似時(shí)角化，即A?020

<0o2,

由|2￡一回=0可知B特征值為2,2,1.

因?yàn)?-《2七-6)=2,...13不可相似對(duì)角化,顯然C可相似對(duì)角化，二A~C,但B不相

9C

13

關(guān)于(A).涉及可微與可偏導(dǎo)內(nèi)關(guān)系.由/(-v,y)在(()。存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)M/(-v.y)在(().(),處可

微.因此(A)不一定成立.

關(guān)于⑻只能假設(shè)/(戈，V)在10.0存在偏導(dǎo)數(shù)竺四.絲里不保證曲面Z=./(-V..V)在

Ndy

(().()./.(().()))存在切平面若存在時(shí).法向量n=±J,"""",一I,=±{3.1,1}與(3.1.1}不

共線.因而(B)不成立.

X=/,

關(guān)于(C).該曲線內(nèi)參數(shù)方程為?)?=().它在點(diǎn)(0.0./(。。))處內(nèi)切向量為

Z=/(/,()),

{/4/(/.())}%={1.0,￡(().())}=[1.0.3}.

CU

因此.(c)成立.

10B

14

,..,「J(.V)J(A)f(.V)

(3)t分析】當(dāng)/(())=0時(shí)./(())=ohm

x-t0XIA.V10-.t

、「Iri/、t/(1-COs/OI-COS//,I..f")

天于(A)：hmx/(1-cos〃)=hm-------------....—————/f=I-cos//-hm------,

hw力-?(?i-cos^h。=2。dt

由此可知lim-lr/(l-cos/03o￡(())3.

若/(X)在X=0可導(dǎo)=>(A)成立辰之若(A)成立=>/.(())3xr(。歸如/(X)=14I滿

足(A).但/(0)不二

關(guān)于(0):若/(A)在*=。可導(dǎo).一

I..「,f(2h)f(h)「

lim(/(2A)-/(/0l=lim［23--=，］=2f(())-/(0).

Tflh-tO2A//

=>①)成立辰之(D)成立nlim(/(2//)-/(/?))=()X/(A)在x=0連續(xù).X/(*)在*=0可

Jo

?A4.1K工()

導(dǎo)如八、)=「滿足(D).但r(.T)在x=()處不連續(xù).因而「(0)也不m.

0,A=()

再看(c)：

..I.I,...-sin/if(h-sinh)h-sinh/(0,皆6們卻niH\

加】］―/ll(h〃-sin〃)=hm—廠-----------------=hm—-------------(巖匕們都3時(shí)).

/廠…/廠"一sinA/廠z

注意.易求得lim匕”=0.因而.若/(())mn(C)成立.反之若(C)成立《lim」史(即

D/r/-M)/

/(0)m).因?yàn)橹灰?。有?任有(c)成立.如/(.r)=MI滿足(C).但/(())不三

t

因此.只能選(B).

11A

15

(4)【分析】由I4E-A析4^=0.知矩陣特征值是4.0.0Q.又因A是實(shí)對(duì)稱矩陣/

必能相似對(duì)角化.所以人與對(duì)角矩陣§相似.

作為實(shí)對(duì)稱矩陣.當(dāng)八：4時(shí)知八與3有相同內(nèi)特征值從而二次型/A'與有相同內(nèi)

正負(fù)慣性指數(shù).因此八與8合同.

所以本題應(yīng)當(dāng)選(A).

注意.實(shí)對(duì)稱矩陣合同時(shí).它們不一定相似.但相似時(shí)一定合同.例如

A「I01=8-I。］

八二與4=.

02］03

它們內(nèi)特征值不同.故八與B不相似.但它們內(nèi)正慣性指數(shù)均為2.負(fù)慣性指數(shù)均為。.所以八與8合

同.

12A

(>)［分析］解本題內(nèi)關(guān)鍵是明確x和丫內(nèi)關(guān)系:x+丫=〃.即丫=〃一x.在此基礎(chǔ)上利用性質(zhì):

相關(guān)系數(shù)小,內(nèi)絕對(duì)值等于1②充要條件是隨機(jī)變量x與丫之間存在線性關(guān)系即y=〃x+〃(其

中凡〃是常數(shù)).旦當(dāng)〃>。時(shí).p*=1：當(dāng)"<()時(shí).p“=-1.由此便知P”=-1.應(yīng)選(A).

事實(shí)上.Cov(X,Y)=Co\(Xji-X)=-DX.DY=D(n-X)=DX.由此由相關(guān)系數(shù)內(nèi)定

Cov(XK)-DX

義式有p“=iii：=-L

/y［DX>fDYjDXjDY

13B

當(dāng)X->(),時(shí)，右I/(e'sI)~y/x；Jl+志:

1cos卜.利用排除法知應(yīng)選(B).

14D

16

【分析】先找出溫義點(diǎn)，確定其是否為對(duì)應(yīng)垂直珈近線；再考慮水平睇漸近線。

【詳解】因?yàn)閘imj+ln(l-e')]=x，斫以、=0為垂直漸近線；

TX

又吧[；+皿1-。')]=0,所以y=o為水平新近線；

、人」11Infl+e1)ln(l+e')e*

步,lim—=lim[—H------------]=lim-----------=lim-------=1，

x廠xx+e

lim[\-1-A]=lim[--ln(l+^')-v]=+￡')—、]

iT*cci>icoXi—?=

=tli?m*C5[In-(1+L)-a]=I，limln(l+L)=0,

于是有斜漸近線：y=工故應(yīng)選⑼.

15C

【誤解】根健積分的幾何意義，知F⑵為半徑是1的半圓面租：氣2)=4，

X

H3)是兩個(gè)半圓面積之差：卜(3)=；叮?f-萬(wàn)?(；)1=：萬(wàn)=>(2),

LL<54

尸(-3)=/■'/(%1==<7(3、=尸(3)

因此應(yīng)選K).

16D

I詳解】(A),⑻兩項(xiàng)中分母的極B聯(lián))o,因此分子的極限也必須為o,均可推導(dǎo)出710)=0.

若1△!!存在，則/(0)=0j，(0)=km1'(。―/⑼=1L12=0,可見(jiàn)(C)也正確，

1m11m

JOxTX-0TX

故應(yīng)選(D).事實(shí)上，可舉反例：/(x)=N在六0足連續(xù)，且

lun[。f⑶=lim止L"=0存在，但/(.r)=忖在x=O處不可導(dǎo)。

17A

【詳解】因(工,匕服從二維正態(tài)分布，且工與y不相關(guān)，故x與y相互獨(dú)立，于是

=因此選(A).

18D

【詳解】設(shè)M=X:,則f(x)在(0.+8)上具有二階導(dǎo)數(shù)，且/"(▲)>0/4</，但

M}={")發(fā)散，排除(C)；設(shè)/w=：,則/w在9+8)上具有二階導(dǎo)數(shù)，且

r(-v)>0j/l>H：，但{""}={1收斂，排除⑻；又若設(shè)/(x)=-lna，則/w在(0,+8)上

具有二階導(dǎo)數(shù)，且/"(x)>0j，i>%，但{""}={一ln〃}發(fā)散，排除(A).故應(yīng)選2).

17

19B

【詳解】設(shè)M、N點(diǎn)的