第2與方程2 2直線位置關(guān)系

第2章圓與方程INNOVATIVEDESIGN2.2直線與圓的位置關(guān)系成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學(xué)同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤(pán)群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動(dòng)更新，永不過(guò)期課標(biāo)要求1.能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系.2.會(huì)用代數(shù)法和幾何法來(lái)判定直線與圓的三種位置關(guān)系.3.理解一元二次方程根的判定及根與系數(shù)的關(guān)系，并能利用它們解一些簡(jiǎn)單的直線與圓的位置關(guān)系問(wèn)題.素養(yǎng)要求通過(guò)直線與圓的位置關(guān)系的判斷，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識(shí)探究?jī)?nèi)容索引互動(dòng)合作研析題型關(guān)鍵能力提升拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成WENTIDAOXUEYUXIJIAOCAIBIBEIZHISHITANJIU問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材必備知識(shí)探究11.思考

(1)直線與圓的位置關(guān)系有哪幾種判定方法？提示

代數(shù)法與幾何法兩種.(2)如何利用直線和圓的方程判斷它們之間的位置關(guān)系？提示

轉(zhuǎn)化為它們的方程組成的方程組有無(wú)實(shí)數(shù)解、有幾個(gè)實(shí)數(shù)解.

2.填空直線與圓的位置關(guān)系及判斷 (直線：Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為0)，圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2)210<＝>>＝<溫馨提醒

(1)采用幾何法判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，必須準(zhǔn)確計(jì)算出圓心坐標(biāo)、圓的半徑及圓心到直線的距離.(2)利用代數(shù)法判斷直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，不必求出方程組的實(shí)數(shù)組，只需將直線方程代入到圓的方程中，并消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)關(guān)于x(或y)的一元二次方程，由Δ與0的大小關(guān)系判斷方程組解的個(gè)數(shù)，進(jìn)一步判斷兩者的位置關(guān)系.3.做一做直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是(

)A.相切 B.相交但直線不過(guò)圓心C.直線過(guò)圓心

D.相離BHUDONGHEZUOYANXITIXINGGUANJIANMENGLITISHENG互動(dòng)合作研析題型關(guān)鍵能力提升2例1

已知圓的方程是x2＋y2＝2，直線y＝x＋b，當(dāng)b為何值時(shí)，圓與直線相交、相切、相離？題型一直線與圓位置關(guān)系的判定②代入①，整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0，③方程③的根的判別式Δ＝(2b)2－4×2(b2－2)＝－4(b＋2)(b－2).當(dāng)－2<b<2時(shí)，Δ>0，方程組有兩組不同實(shí)數(shù)解，因此直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線與圓相交；當(dāng)b＝2或b＝－2時(shí)，Δ＝0，方程組有一組實(shí)數(shù)解，因此直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線與圓相切；當(dāng)b<－2或b>2時(shí)，Δ<0，方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，因此直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)，直線與圓相離.綜上，當(dāng)－2<b<2時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)b＝－2或b＝2時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)b>2或b<－2時(shí)，直線與圓相離.∴b>2或b<－2.綜上，當(dāng)－2<b<2時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)b＝－2或b＝2時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)b>2或b<－2時(shí)，直線與圓相離.直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷.(2)代數(shù)法：根據(jù)直線方程與圓的方程組成的方程組解的個(gè)數(shù)來(lái)判斷.思維升華訓(xùn)練1

a為何值時(shí)，直線4x－3y＋a＝0與圓x2＋y2＝100分別有如下關(guān)系：(1)相交；(2)相切；(3)相離？消去y，得25x2＋8ax＋a2－900＝0.Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90000.(1)當(dāng)直線和圓相交時(shí)，Δ＞0，即－36a2＋90000＞0，得－50＜a＜50；(2)當(dāng)直線和圓相切時(shí)，Δ＝0，即a＝50或a＝－50；(3)當(dāng)直線和圓相離時(shí)，Δ＜0，即a＜－50或a＞50.法二(幾何法)圓x2＋y2＝100的圓心為(0，0)，半徑r＝10，例2

過(guò)點(diǎn)M(2，4)向圓(x－1)2＋(y＋3)2＝1引切線，求其切線的方程.題型二直線與圓相切的有關(guān)問(wèn)題解由于(2－1)2＋(4＋3)2＝50>1，故點(diǎn)M在圓外.當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程是y－4＝k(x－2)，所以切線方程為24x－7y－20＝0.又當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，直線x＝2與圓相切.綜上所述，所求切線方程為24x－7y－20＝0或x＝2.遷移1

若將例2中的點(diǎn)M的坐標(biāo)改為(1，－2)，其他條件不變，又如何求其切線方程？解由于(1－1)2＋(－2＋3)2＝1，故點(diǎn)M在圓上，設(shè)圓的圓心為C，則C(1，－3)，顯然CM的斜率不存在.∵圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑，∴所求切線的斜率k＝0，∴切線方程為y＝－2.遷移2

若例2中的條件不變，如何求其切線長(zhǎng)？1.過(guò)圓外一點(diǎn)圓的切線方程的兩種求解方法 (1)幾何法：設(shè)出切線的方程，利用圓心到切線的距離等于半徑，求出未知量的值.此種方法需要注意斜率不存在的情況，要單獨(dú)驗(yàn)證，若符合題意，則直接寫(xiě)出其切線方程. (2)代數(shù)法：設(shè)出直線的方程后與圓的方程聯(lián)立消元，利用Δ＝0求未知量的值.若消元后的方程是一元一次方程，則說(shuō)明要求的兩條切線中有一條切線的斜率不存在，可直接寫(xiě)出其切線的方程.思維升華2.求過(guò)一點(diǎn)圓的切線方程時(shí)，若點(diǎn)在圓上，則切線只有一條；若點(diǎn)在圓外，則切線有兩條.訓(xùn)練2

(1)過(guò)圓x2＋y2－2x－4y＝0上一點(diǎn)P(3，3)的圓的切線方程為(

) A.2x－y＋9＝0 B.2x＋y－9＝0 C.2x＋y＋9＝0 D.2x－y－9＝0B∴切線方程為y－3＝－2(x－3)，即2x＋y－9＝0.(2)由直線y＝x＋1上任一點(diǎn)向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則該切線長(zhǎng)的最小值為(

)C題型三直線截圓所得弦長(zhǎng)問(wèn)題求直線與圓相交時(shí)弦長(zhǎng)的兩種方法：思維升華圖1圖2訓(xùn)練3

(1)過(guò)點(diǎn)(3，1)作圓(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的長(zhǎng)為_(kāi)_______.解析設(shè)點(diǎn)A(3，1)，易知圓心C(2，2)，半徑r＝2.當(dāng)弦過(guò)點(diǎn)A(3，1)且與CA垂直時(shí)為最短弦，(x－2)2＋(y＋1)2＝4解析設(shè)圓的半徑為r，由條件，∴r2＝2＋2＝4，得r＝2.∴圓的方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝4.課堂小結(jié)1.牢記1個(gè)知識(shí)點(diǎn)直線與圓的位置關(guān)系.2.重點(diǎn)掌握3種規(guī)律方法(1)直線與圓位置關(guān)系的判斷方法.(2)求圓的切線方程的方法.(3)求直線與圓相交時(shí)弦長(zhǎng)的方法.3.注意1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)在解決直線與圓位置關(guān)系問(wèn)題時(shí)易漏掉斜率不存在的情況.TUOZHANYANSHENFENCENGJINGLIANHEXINGSUYANGDACHENG拓展延伸分層精練核心素養(yǎng)達(dá)成31.直線3x＋4y＋12＝0與圓(x－1)2＋(y＋1)2＝9的位置關(guān)系是(

)A.過(guò)圓心

B.相切C.相離

D.相交但不過(guò)圓心D2.已知圓(x－2)2＋y2＝9，則過(guò)點(diǎn)M(1，2)的最長(zhǎng)弦與最短弦的弦長(zhǎng)之和為(

)A.4 B.6C.8 D.10DCD4.(多選)平行于直線2x＋y＋1＝0且與圓x2＋y2＝5相切的直線的方程可以是(

)CD5.若直線l：x－3y＋n＝0與圓x2＋y2＋2x－4y＝0交于A，B兩點(diǎn)，A，B關(guān)于直線3x＋y＋m＝0對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m的值為(

) A.1 B.－1 C.－3 D.3A解析由題意得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5，所以圓心C的坐標(biāo)為(－1，2)，由題意可得直線3x＋y＋m＝0過(guò)圓心，所以3×(－1)＋2＋m＝0，解得m＝1.6.若直線y＝kx與圓x2＋y2－6x＋8＝0相切，且切點(diǎn)在第四象限，則k＝

________.7.直線y＝x＋2被圓M：x2＋y2－4x－4y－1＝0所截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_______.8.圓x2＋y2－4x＋6y－12＝0過(guò)點(diǎn)(－1，0)的最大弦長(zhǎng)為_(kāi)_______，最小弦長(zhǎng)為_(kāi)_______.10解析

圓的方程x2＋y2－4x＋6y－12＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝25.所以圓心為(2，－3)，半徑長(zhǎng)為5.因?yàn)?－1－2)2＋(0＋3)2＝18＜25，所以點(diǎn)(－1，0)在已知圓的內(nèi)部，則最大弦長(zhǎng)即為圓的直徑，即最大值為10.9.已知曲線C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0.(1)當(dāng)m為何值時(shí)，曲線C表示圓？解由C：x2＋y2＋2x＋4y＋m＝0，得(x＋1)2＋(y＋2)2＝5－m，由5－m>0，得m<5，∴當(dāng)m<5時(shí)，曲線C表示圓.(2)若直線l：y＝x－m與圓C相切，求m的值.解得m＝±3，滿足m<5.∴m＝±3.10.已知圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一點(diǎn)P(4，－1)，過(guò)點(diǎn)P作直線l.(1)當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，求直線l的方程；解

圓C的圓心為(2，3)，半徑r＝2.當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝4，此時(shí)圓C與直線l相切；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0，所以此時(shí)直線l的方程為3x＋4y－8＝0.綜上，直線l的方程為x＝4或3x＋4y－8＝0.(2)當(dāng)直線l的傾斜角為135°時(shí)，求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng).CAC13.已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直線l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R). (1)求證：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；證明l的方程可化為