2023年數(shù)學(xué)中考一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練-圓的綜合題

備考2023年中考數(shù)學(xué)《圓的綜合題》專題訓(xùn)練一、綜合題1．如圖，在Rt中，，以斜邊上的中線為直徑作⊙O，與交于點(diǎn)M，與的另一個(gè)交點(diǎn)為E，過(guò)點(diǎn)M作⊙O的切線交于點(diǎn)N．（1）求證：；（2）若⊙O的直徑為5，，求的長(zhǎng)．2．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為AB上方的圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線l，過(guò)點(diǎn)A作直線l的垂線AD，交⊙O于點(diǎn)D，連接OC，CD，BC，BD，且BD與OC交于點(diǎn)E.（1）求證：△CDE≌△CBE；（2）若AB＝6，填空：①當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度是時(shí)，△OBE是等腰三角形；②當(dāng)BC＝時(shí)，四邊形OADC為菱形.3．請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù).阿基米德折弦定理阿基米德（Archimedes，公元前287~公元212年，古希臘是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子.阿拉伯Al-Biruni（973年-1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al-Biruni譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理.阿基米德折弦定理：如圖1，和是的兩條弦（即折線是圓的一條折弦），，是的中點(diǎn)，則從點(diǎn)向所作垂線的垂足是折弦的中點(diǎn)，即，下面是運(yùn)用“補(bǔ)短法”證明的部分證明過(guò)程.證明：如圖2，延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使得，連接DA，DB，DC和DF.∵是的中點(diǎn)∴…任務(wù)：（1）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫出該證明的剩余部分：（2）填空：如圖3，已知等邊內(nèi)接于，，為上一點(diǎn)，.于點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是.4．如圖，△ABC內(nèi)接于半徑為的⊙O，AC為直徑，AB＝，弦BD與AC交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠PAD＝∠ABD，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BD于點(diǎn)F，連接OF.（1）求證：AP是⊙O的切線；（2）求證：∠AOF＝∠PAD；（3）若tan∠PAD＝，求OF的長(zhǎng).5．如圖，是的外接圓，是的直徑，點(diǎn)在上，平分，過(guò)點(diǎn)的切線交直徑的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接、．（1）求證：．（2）若的半徑長(zhǎng)為，，寫出求線段長(zhǎng)的思路（不用求出結(jié)果）．6．在圓O中，點(diǎn)A，B，C均在⊙O上，請(qǐng)僅用無(wú)刻度直尺按要求畫圖：（1）在圖1中，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)作一銳角，使該銳角與∠CAB互余；（2）在圖2中，弦AD∥BC且AD≠BC，過(guò)點(diǎn)A作一直線將△ABC的面積平分．7．△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，⊙O是△ABC的外接圓．（1）如圖①，過(guò)A作MN∥BC，求證：MN與⊙O相切；（2）如圖②，∠ABC的平分線交半徑OA于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)D．求⊙O的半徑和AE的長(zhǎng)．8．如圖，半徑為7的上有一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為半徑上一點(diǎn)，且最大為10，以為邊向外作正方形，連接．（1）請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)；（2）過(guò)點(diǎn)作，且，連接，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的長(zhǎng)度會(huì)發(fā)生變化嗎？變化請(qǐng)說(shuō)明理由，不變化請(qǐng)求出的長(zhǎng)；（3）當(dāng)點(diǎn)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫的長(zhǎng)；（4）請(qǐng)直接寫出的最大值和最小值．9．如圖，AC是⊙O的直徑，P是⊙O外一點(diǎn)，連結(jié)PC交⊙O于B，連結(jié)PA、AB，且滿足PC=50，PA=30，PB=18.（1）求證：△PAB∽△PCA；（2）求證：AP是⊙O的切線.10．如圖，內(nèi)接于⊙O，∠BAC＝45°，AD⊥BC，垂足為D，BD＝6，DC＝4.（1）求⊙O的半徑；（2）求AD的長(zhǎng).11．如圖，是⊙O的內(nèi)接三角形，是⊙O的直徑，點(diǎn)B是⊙O上的一點(diǎn)，，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，射線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，；（1）求證：是⊙O的切線；（2）若，求的長(zhǎng)．12．如圖如圖1，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，閱讀以下作圖過(guò)程，并回答下列問(wèn)題：作法如圖2.1.作直徑AF.2.以F為圓心，F(xiàn)O為半徑作圓弧，與⊙O交于點(diǎn)M，N.3.連結(jié)AM，MN，NA.（1）求∠ABC的度數(shù).（2）△AMN是正三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）從點(diǎn)A開(kāi)始，以DN長(zhǎng)為半徑，在⊙O上依次截取點(diǎn)，再依次連結(jié)這些分點(diǎn)，得到正n邊形，求n的值.13．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)問(wèn)題如圖，點(diǎn)D在上，且，，點(diǎn)A是線段上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在上，且，和相交于點(diǎn)F，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng).（1）點(diǎn)A在上的不同位置時(shí)，畫出相應(yīng)圖形，測(cè)量線段的長(zhǎng)度，得到下表的幾組對(duì)應(yīng)值01.02.03.04.05.06.07.08.09.010.010.09.08.07.06.05.04.03.02.01.0010.08.46.85.23.93.12.72.62.52.2001.2.23.24.04.44.44.13.62.70當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為.（2）將線段的長(zhǎng)度作為自變量x，和的長(zhǎng)度都是x的函數(shù)，分別記為和，并在平面直角坐標(biāo)系中畫出了函數(shù)的圖象，如圖所示，請(qǐng)?jiān)谕蛔鴺?biāo)系中畫出函數(shù)的圖象；（3）繼續(xù)在同一坐標(biāo)系中畫出所需的函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象直接寫出：當(dāng)為等腰三角形時(shí)，線段長(zhǎng)度的近似值（結(jié)果保留一位小數(shù)）.14．如圖，在中，，與，分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，平分，連接.（1）求證：是的切線；（2）若，的半徑是1，求圖中陰影部分的面積.15．如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，且DE=OE.（1）求證：∠BAC=3∠ACD；（2）點(diǎn)F在弧BD上，且∠CDF=∠AEC，連接CF交AB于點(diǎn)G，求證：CF=CD；（3）①在（2）的條件下，若OG=4，設(shè)OE=x，F(xiàn)G=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②求出使得y有意義的x的最小整數(shù)值，并求出此時(shí)⊙O的半徑.16．如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，點(diǎn)O在對(duì)角線BD上(不與點(diǎn)B、D重合)，以O(shè)為圓心，QB為半徑作圓O交BD于點(diǎn)E．（1）sin∠ABD；（2）若圓O經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，求圓O的面積；（3）若圓O與ΔACD的邊所在直線相切，求OB的長(zhǎng)．17．如圖，已知，，，，其內(nèi)有一個(gè)圓心角為扇形，半徑．（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，當(dāng)E、F在邊上，扇形與相切時(shí)，①優(yōu)弧上的點(diǎn)與的最大距離為，，S扇形EOF=；②當(dāng)時(shí)，優(yōu)弧上的點(diǎn)與點(diǎn)D的最小距離為；（2）思考：如圖2，當(dāng)時(shí)，扇形在內(nèi)自由運(yùn)動(dòng)①當(dāng)扇形與的兩條邊同時(shí)相切時(shí)，求此時(shí)兩切點(diǎn)之間的距離是多少？②與垂直時(shí)，扇形▲（填“有可能”或“不可能”）與的邊切于點(diǎn)F；（3）拓展：如圖3，將扇形的圓心O放在的中點(diǎn)處，點(diǎn)E在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在外，當(dāng)優(yōu)弧與的邊有六個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫出r的取值范圍：．18．如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是∠BAC的平分線，經(jīng)過(guò)B點(diǎn)的圓O與AE相切于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)F，F(xiàn)B恰好為圓O的直徑，連接BM.（1）求證：BM平分∠ABC.（2）若BC=4，設(shè)BM=x，OB=y.①試求y與x的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)x=時(shí)，求sin∠BAC的值.（3）BE+EM=，求當(dāng)圓O的半徑最小時(shí)△ABC的面積.19．如圖，已知在平行四邊形ABCD中，AB＝10，BC＝16，cosB＝，點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，以CP為半徑的圓C與邊AD交于點(diǎn)E、F（點(diǎn)F在點(diǎn)E的右側(cè)），射線CE與射線BA交于點(diǎn)G．（1）當(dāng)圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，求CP的長(zhǎng)（2）聯(lián)結(jié)AP，當(dāng)AP//CG時(shí)，求弦EF的長(zhǎng)（3）當(dāng)△AGE是等腰三角形時(shí)，求圓C的半徑長(zhǎng)．20．（提出問(wèn)題）如圖1，直徑垂直弦于點(diǎn)E，，，點(diǎn)P是延長(zhǎng)線上異于點(diǎn)D的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)Q，連結(jié)交于點(diǎn)F，則點(diǎn)F的位置隨著點(diǎn)P位置的改變而改變.（1）（特殊位置探究）當(dāng)時(shí)，求和線段的長(zhǎng)；（2）（一般規(guī)律探究）如圖2，連結(jié)，.在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)，.①求證：；②求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式：（3）（解決問(wèn)題）當(dāng)時(shí)，求和的面積之比.（直接寫出答案）

答案解析部分1．【答案】（1）證明：連接OM，如圖1，∵M(jìn)N是⊙O的切線，∴OM⊥MN，∴∠OMN=90°，∵OC＝OM，∴∠OCM＝∠OMC，在Rt△ABC中，CD是斜邊AB上的中線，∴CD＝AB＝BD，∴∠DCB＝∠DBC，∴∠OMC＝∠DBC，∴OM∥BD，∴∠OMN=∠MNB=90°，∴MN⊥BD；（2）解：連接DM，CE，∵CD是⊙O的直徑，∴∠CED＝90°，∠DMC＝90°，即DM⊥BC，CE⊥AB，由（1）知：BD＝CD＝5，∴M為BC的中點(diǎn)，∵sinB＝，∴cosB＝，在Rt△BMD中，BM＝BD?cosB＝4，∴BC＝2BM＝8，在Rt△CEB中，BE＝BC?cosB＝，∴ED＝BE﹣BD＝﹣5＝．【解析】【分析】（1）先求出∠OCM＝∠OMC，再求出OM∥BD，最后求解即可；

（2）先求出cosB＝，再求出BC＝2BM＝8，最后利用銳角三角函數(shù)求解即可。2．【答案】（1）證明：∵過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線l，∴OC⊥l，∵AD⊥l，∴OC∥AD，∵AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為AB上方的圓上一動(dòng)點(diǎn)，∴AD⊥BD，∴BD⊥OC，∴DE＝BE，∴△CDE≌△CBE（SAS）；（2）π；3【解析】【解答】解：（2）①連接OD，當(dāng)△OBE是等腰三角形時(shí)，∵BE⊥OE，∴OE＝BE，∴∠OBE＝∠EOB＝45°，∵AD∥OC，∴∠A＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴∠COD＝45°，∵AB＝6，∴AO＝3，∴的長(zhǎng)度＝＝π，故答案為π；②∵四邊形OADC為菱形，∴OA＝OC＝AD＝CD＝3，∵△CDE≌△CBE，∴CD＝BC，∴BC＝3，故答案為3.【分析】（1）由已知可得CE⊥BD，則可知DE＝BE，所以△CDE≌△CBE（SAS）；（2）①連接OD，由已知可證明△ABD是等腰直角三角形，求得∠COD＝45°，即可求的長(zhǎng)度；②由已知可得OA＝OC＝AD＝CD＝3，再由△CDE≌△CBE，則CD＝BC.3．【答案】（1）證明：∵是的中點(diǎn)∴∵，AE=CF∴∴在和中∴∴∴（2）【解析】【解答】解：（2）如圖，在BD上截取BF=CD，連接AF，AD，根據(jù)題意得，AB=AC，，在△ABF和△ACD中，∴△ABF≌△ACD∴AF=AD∵AE⊥BD∴FE=DE∴CD+DE=BF+FE=BE∵∴∴BD+CD=2BE=∵是等邊三角形，且AB=BC=6∴的周長(zhǎng)為：故答案為：.【分析】（1）利用弧的中點(diǎn)，可證得AD=DC，利用SAS證明△ADE≌△CDF，利用全等三角形的性質(zhì)可證得DE=DF，∠F=∠DEA=90°；再利用HL證明△BDE≌△BDF，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，可得到EB=FB，由此可證得結(jié)論；

（2）在BD上截取BF=CD，連接AF，AD，利用SAS證明△ABF≌△ACD，利用全等三角形的性質(zhì)可證得AF=AD，再證明CD+DE=BE，利用解直角三角形求出BE的長(zhǎng)；從而可求出BD+CD的長(zhǎng)，利用等邊三角形的性質(zhì)可求出BC的長(zhǎng)，然后求出△BDC的周長(zhǎng).4．【答案】（1）證明：∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC＝90°，即∠ABD+∠CBD＝90°，∵，∴∠CAD＝∠CBD，∵∠PAD＝∠ABD，∴∠PAD+∠CAD＝∠ABD+∠CBD＝90°，即PA⊥AC，∵AC是⊙O的直徑，∴AP是⊙O的切線；（2）證明：∵在Rt△ABC中，，∴sinC＝，∴∠C＝45°，∵，∴∠ADB＝∠C＝45°，∵AF⊥BD，∴∠FAD＝∠ADB＝45°，∴FA＝FD，連接OD，

∵OA＝OD，OF＝OF，F(xiàn)A＝FD，∴△AOF≌△DOF（SSS），∴∠AOF＝∠DOF，∴∠AOD＝2∠AOF，∵，∴∠AOD＝2∠ABD，∴∠AOF＝∠ABD，∵∠ABD＝∠PAD，∴∠AOF＝∠PAD；（3）解：延長(zhǎng)OF交AD于點(diǎn)G，∵OA＝OD，∠AOG＝∠DOG，∴OG⊥AD，∵tan∠PAD＝，∠AOF＝∠PAD，∴tan∠AOF＝，在Rt△AOG中，AO＝，設(shè)AG＝x，∴AG2+OG2＝AO2，x2+（3x）2＝（）2，解得：x＝，∴AG＝，OG＝，∵∠FAD＝45°，OG⊥AD，∴∠AFG＝∠FAD＝45°，∴FG＝AG＝，∴OF＝OG﹣FG＝.【解析】【分析】（1）利用直徑所對(duì)的圓周角是直角，可證得∠ABC=90°，可得到∠ABD+∠CBD＝90°，利用同弧所對(duì)的圓周角相等，可證得∠CAD＝∠CBD，由此可證得PA⊥AC，然后利用切線的判定定理可證得結(jié)論；

（2）在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出∠C=45°，利用同弧所對(duì)的圓周角相等得∠ADB=45°，由AF⊥BD，可證得AF=FD；連接OD，利用SSS證明△AOF≌△DOF，利用全等三角形的性質(zhì)可推出∠AOD＝2∠AOF；再利用圓周角定理去證明∠AOF＝∠ABD，結(jié)合∠ABD＝∠PAD，可證得結(jié)論；

（3）延長(zhǎng)OF交AD于點(diǎn)G，利用等腰三角形的性質(zhì)可證得OG⊥AD，利用解直角三角形可得到AG與OG的比值，設(shè)AG=x，可表示出OG的長(zhǎng)，利用勾股定理可得到關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，可求出AG，OG的長(zhǎng)；然后證明FG=AG，利用OF=OG-FG，代入計(jì)算求出OF的長(zhǎng).5．【答案】（1）證明：連接，是的切線，，，，是的直徑，，，，，平分，，（2）解：連接，是的直徑，，，，在中，，平分，，，又，，，，，，，．【解析】【分析】（1）連接OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥CE，根據(jù)圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)得到∠CAB=∠BCE，由角平分線的定義得∠CAD=∠CAB，等量代換得到結(jié)論；（2）連接BD，根據(jù)圓周角定理得到∠ADB=90°，房間勾股定理得到BD=8，求得OH=3，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論。6．【答案】（1）解：如圖1，∠BCE為所作；理由：，是直徑，，，∠BCE與∠CAB互余；（2）解：如圖2，直線AF為所作．理由：，，，，，垂直平分，則是的中線，將△ABC的面積平分．【解析】【分析】（1）根據(jù)，可得，再結(jié)合，可得，從而可得∠BCE與∠CAB互余；

（2）根據(jù)要求作出圖形即可。7．【答案】（1）證明：作直徑AD，連接DC，∵AB＝AC且MN∥BC，∴∠B＝∠ACB＝∠NAC，∵∠D＝∠B，∴∠D＝∠NAC，∵AD是直徑，∴∠D＋∠DAC＝90°，∴∠NAC＋∠DAC＝90°，∴∠OAN＝90°，又∵點(diǎn)A在⊙O上，∴MN與⊙O相切（2）解：作直徑AF，EG⊥AB，連接OB、OC，∵OB＝OC，AB＝AC∴O、A在BC的垂直平分線上，即AF垂直平分BC，∵BD平分∠ABC，EG⊥AB，F(xiàn)H⊥BC，∴EG＝EH，BG＝BH＝6，在Rt△ABH中，∵AB＝10，BH＝6，∴由勾股定理得AH＝8，設(shè)⊙O的半徑為x，在Rt△OBH中，由勾股定理得：(8－x)2＋62＝x2，∴x＝，即⊙O的半徑為，∵AB＝10，BG＝6，∴AG＝4，由△AGE∽△AHB得：，代入解得：AE＝5.【解析】【分析】（1）作直徑AD，連接DC，根據(jù)等腰三角形和平行線的性質(zhì)得到∠B=∠ACB=∠NAC，求得∠D=∠NAC，根據(jù)圓周角定理得到∠OAN=90°，于是得到結(jié)論；

（2）作直徑AF，EG⊥AB，連接OB、OC，根據(jù)線段垂直平分線的判定定理得到A、O在BC的垂直平分線上，即AF垂直平分BC，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到EG=EH，BG=BH=6，再利用勾股定理和相似三角形的性質(zhì)求解即可。8．【答案】（1）解：如圖1所示，連接OB，則，當(dāng)且僅當(dāng)B點(diǎn)在O點(diǎn)左邊且B、O、A三點(diǎn)共線時(shí)“=”成立；∴AB的最大值為OA+OB；∴7+OA=10，∴OA=3．（2）解：FD的長(zhǎng)度不變，值為7．理由：如圖1，∵AF⊥OE,∴∠OAB+∠BAF=90°又∵正方形ABCD中有∠BAD=90°，∴∠BAF+∠FAD=90°，∴∠OAB=∠FAD，∵OA=FA，AB=AD，∴（SAS）∴FD=OB=7，∴FD的長(zhǎng)不變，為7．（3）解：或理由：當(dāng)點(diǎn)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，如圖2所示的兩種情況，對(duì)于每種情況都有OB=7，OA=3，∴∴，∵∴當(dāng)B點(diǎn)在OE上方時(shí)，；當(dāng)B點(diǎn)在OE下方時(shí)，．（4）解：的最大值為12，最小值為2理由：如圖3，延長(zhǎng)AF到G使AG=4，連接BG，∵∠BAD=∠GAE=90°，∴∠BAG=∠DAE，又∵AG=AE=4，AB=AD，∴∴DE=BG，連接OB，OG，∴∵，所以當(dāng)B點(diǎn)位于圖中B1處時(shí)，BG最大，此時(shí)，當(dāng)點(diǎn)B為于圖中B2處時(shí)，BG最小，此時(shí)，綜上所述，BG的最大值為12，最小值為2．【解析】【分析】（1）連接OB，利用三角形三邊關(guān)系定理可知當(dāng)且僅當(dāng)B點(diǎn)在O點(diǎn)左邊且B、O、A三點(diǎn)共線時(shí)成立；可得到AB的最大值就是OA+OB，利用AB的最大值為10，可求出OA的長(zhǎng).

（2）利用垂直的定義可證得∠OAB+∠BAF=90°，再利用正方形的性質(zhì)可證得∠BAF+∠FAD=90°；再利用余角的性質(zhì)可推出∠OAB=∠FAD，利用SAS可證得△OAB≌△FAD，利用全等三角形的性質(zhì)可推出FD=OB，由此可得到FD的長(zhǎng)，即可作出判斷.（3）利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，可求出AD，AE的長(zhǎng)，再分情況討論：當(dāng)B點(diǎn)在OE上方時(shí)，利用BE=AD-AE，可求出DE的長(zhǎng)；當(dāng)B點(diǎn)在OE下方時(shí)，利用DE=AD+AE可求出DE的長(zhǎng).

（4）延長(zhǎng)AF到G使AG=4，連接BG，易證△BAG≌△DAE，利用全等三角形的性質(zhì)可證得DE=BG；連接OB，OG，利用勾股定理求出OG的長(zhǎng)，利用三角形的三邊關(guān)系定理可得到當(dāng)B點(diǎn)位于圖中B1處時(shí)，BG最大，求出BG的長(zhǎng)；當(dāng)點(diǎn)B為于圖中B2處時(shí)，BG最小，然后求出BG的長(zhǎng).9．【答案】（1）證明：∵PC=50，PA=30，PB=18，∴.∴.又∵∠APC=∠BPA，∴△PAB∽△PCA.（2）證明∵AC是⊙O的直徑，∴∠ABC=90°.∴∠ABP=90°.又∵△PAB∽△PCA，∴∠PAC=∠ABP.∴∠PAC=90°.∴PA是⊙O的切線.【解析】【分析】（1）根據(jù)△PAB與△PCA的對(duì)應(yīng)邊成比例，夾角相等證得結(jié)論；

（2）欲證明AP是⊙O的切線，只需證得∠PAC=90°，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得出∠ABC=90°，故∠ABP=90°，然后根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等得出∠PAC=∠ABP=90°，從而即可解決問(wèn)題.10．【答案】（1）解：如圖1，連接OB、OC，∵BD＝6，DC＝4，∴BC＝10，由圓周角定理得，∠BOC＝2∠BAC＝90°，∴OB＝BC＝5；（2）解：如圖2，連接OA，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，∴BF＝FC＝5，∴DF＝1，∵∠BOC＝90°，BF＝FC，∴OF＝BC＝5，∵AD⊥BC，OE⊥AD，OF⊥BC，∴四邊形OFDE為矩形，∴OE＝DF＝1，DE＝OF＝5，在Rt△AOE中，AE＝＝7，∴AD＝AE+DE＝12.【解析】【分析】（1）根據(jù)圓周角定理得到∠BOC＝90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計(jì)算，求出OB；

（2）連接OA，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AD于E，OF⊥BC于F，根據(jù)垂徑定理求出DF，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出OF，根據(jù)勾股定理求出AE，結(jié)合圖形計(jì)算得到答案.11．【答案】（1）證明：連接，∵，∴，∵是的直徑，∴，∵，∴；∵，∴；∵，∴，即：；∴；∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)H，∵，∴，∴是等腰直角三角形；∴；∵，∴；∴；∵，過(guò)圓心O，∴，在中，；∴．【解析】【分析】（1）先求出，再求出，最后證明求解即可；

（2）先求出，再證明，最后利用銳角三角函數(shù)進(jìn)行計(jì)算求解即可。12．【答案】（1）解：∵正五邊形ABCDE.∴，∴，∴（2）解：△AMN是正三角形，理由如下：連結(jié)ON，F(xiàn)N，由作圖知：FN=FO∵ON=OF，∴ON=OF=FN∴△OFN是正三角形，∴∠F=60°.∴∠AMN=∠F=60°.同理，∠ANM=60°.∴∠MAN=60°，即∠AMN=∠ANM=∠MAN∴△AMN是正三角形.（3）解：∵△AMN是正三角形，∴.∵，∴，∴.【解析】【分析】（1）根據(jù)正五邊形的性質(zhì)，可得各邊所對(duì)的弧相等，即可求得弧ACE的度數(shù)，再根據(jù)弧、圓心角及圓周角定理可求出∠ABC的度數(shù)；（2）△AMN是正三角形.由以F為圓心，F(xiàn)O為半徑作圓弧，與⊙O交于點(diǎn)M，N，易得ON=OF=FN，即△OFN是正三角形，則∠AMN=∠F=60°，同理求得∠ANM=60°，即可判定△AMN是正三角形；（3）由等邊三角性質(zhì)及弧、圓心角及圓周角定理可求出弧AN=120°，又弧AD的度數(shù)為144°，再又弧DN的度數(shù)等于弧AD和弧AN度數(shù)之差，即弧DN=24°，再由360÷24°即可求出n值.13．【答案】（1）（2）解：的圖象如圖所示；（3）解：的圖象如圖所示；當(dāng)線段、、出現(xiàn)兩條相等時(shí)，線段的長(zhǎng)度約或或.【解析】【解答】解：（1），在與中，過(guò)點(diǎn)D作，是等腰三角形故答案為：.【分析】（1）根據(jù)三角形外角性質(zhì)解得，繼而證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，最后由等腰三角形的三線合一性質(zhì)及余弦的定義解題；（2）由表中的數(shù)據(jù)，描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)的圖象即可；（3）在坐標(biāo)系中畫出、所表示的圖象，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，即兩個(gè)函數(shù)的圖象相交時(shí)，點(diǎn)M、N、P、Q滿足要求所對(duì)的鞥準(zhǔn)備即為AB的長(zhǎng)，用圖象法解題.14．【答案】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，與相切于點(diǎn)，，平分，，在和中，，，，是的半徑，又，是的切線（2）解：如圖，設(shè)分別交于點(diǎn)，連接，的半徑是1，，與相切于點(diǎn)，，，四邊形是矩形，，，，，在和中，，，，，，則圖中陰影部分的面積為【解析】【分析】（1）過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，連接OE，利用切線的性質(zhì)可證得OE⊥BC，利用角平分線的定義可證得∠OBD=∠OBE，利用AAS證明△OBD≌△OBE，利用全等三角形的性質(zhì)可證得OD=OE，然后利用切線的判定定理可證得結(jié)論.

（2）利用已知條件易證四邊形OECF是矩形，利用矩形的性質(zhì)可求出CE的長(zhǎng)，從而可求出BC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)；再利用HL證明△OAD≌△OAF，由此證得∠OAD=∠OAF，再求出∠AOB的度數(shù)；然后根據(jù)陰影部分的面積=△AON的面積-扇形MDON的面積，然后利用三角形和扇形的面積公式，可求出陰影部分的面積.15．【答案】（1）證明：如圖1中，連接OD，OC，設(shè)∠D=x.∵ED=EO，∴∠D=∠EOD=x，∵OD=OC，∴∠D=∠OCD=x，∴∠CEO=∠D+∠EOD=2x，∠COB=∠OEC+∠OCD=3x，∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，∵∠A+∠ACO=∠COB=3x，∴∠A=∠ACO=x，∴∠ACD=x，∴∠BAC=3∠ACD；（2）證明：連接CO，延長(zhǎng)CO交DF于T.由（1）可知，∠AEC=180°-2x，∵∠AEC=2∠CDF，∴∠CDF=90°-x，∴∠CDF+∠DCO=90°，∴CT⊥DF，∴DT=TF，∴CD=CF；（3）解：①連接CO，延長(zhǎng)CO交DF于T，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥CD于M，ON⊥CF于N.由（2）可知，CD=CF，CT⊥DF，∴∠DCO=∠FCO，∵ON⊥CF，OM⊥CD，∴OM=ON，∵∠GEC=∠GCE，∴GE=GC=x+4，∴CD=CF=CG+FG=x+y+4，∵ED=OE=x，∴EC=CD-DE=y+4，∵，∴，∴y=x2+x-4.②設(shè)OA=OB=R，當(dāng)y＞0時(shí)，x2+x-4＞0，解得x＞2-2或x＜-2-2，∴x的最小整數(shù)值為3，∴CG=7，F(xiàn)G=，∵AG?GB=CG×FG，∴（R+4）（R-4）=7×，∴R=（負(fù)根已經(jīng)舍去），∴此時(shí)⊙O的半徑為.【解析】【分析】（1）連接OD，OC，設(shè)∠D=x，易得∠D=∠EOD=x，∠D=∠OCD=x，結(jié)合外角的性質(zhì)可得∠CEO=2x，∠COB=3x，則∠A=∠ACO=x，∠ACD=x，據(jù)此證明；

（2）連接CO，延長(zhǎng)CO交DF于T，由（1）可知∠AEC=180°-2x，結(jié)合已知條件可得∠CDF=90°-x，則∠CDF+∠DCO=90°，推出CT⊥DF，然后結(jié)合等腰三角形的判定定理進(jìn)行證明；

（3）①連CO并延長(zhǎng)交DF于T，過(guò)O作OM⊥CD于M，ON⊥CF于N，由(2)知CD=CF，CT⊥DF，則∠DCO=∠FCO，由角平分線性質(zhì)得OM=ON，推出GE=GC=x+4，則CD=CF=x+y+4，EC=y+4，然后根據(jù)△OCE、△OCG的面積公式就可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式；

②設(shè)OA=OB=R，令y>0，求出x的范圍，據(jù)此可得x的最小整數(shù)值為3，然后求出CG、FG，根據(jù)AG?GB=CG×FG可得R的值.16．【答案】（1）（2）解：連接OA，有OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵∠OAB+∠OAD=90°，∠OBA+∠ODA=90°，∴∠OAD=∠ODA，∴OA=OD，∴OB=OD=BD=5，∴圓O的面積=25π；（3）解：若圓O與AD相切，設(shè)切點(diǎn)為F，連接OF，則OF=OB，∴∠OFD=90°∵∠BAD=90°，∴∠BAD=∠OFD，∴AB∥OF，∴△OFD∽△BAD，∴，即，∴OB=；若圓O與CD相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為G，連接OG，則OG=OB，∴OG⊥CD于G，∴∠OGD=∠C=90°，∴OG∥BC，∴△OGD∽△BCD，∴，即，∴OB=；若圓O與AC相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)H，連接OH，設(shè)AC、BD相交于Q，則OH=OB，∴BQ=BD=5，∴OQ=5－OB，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥AC于P，∵AD×DC=DP×AC，∴DP=，∵∠OQH=∠DQP，∠OHQ=∠DPQ，∴△OHQ∽△DPQ，∴，∴，∴OB=；綜上，OB的長(zhǎng)為或或．【解析】【解答】解：（1）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∴BD==10，∴sin∠ABD，故答案為：；【分析】（1）利用勾股定理求得BD的長(zhǎng)，根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可求解；

（2）求得圓的半徑為OB=OD=BD=5，即可求解；

（3）分圓O與AD相切，圓O與CD相切時(shí)，圓O與AC相切時(shí)，利用相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可。17．【答案】（1）6；4；；（2）解：①或者理由：（i）如圖當(dāng)扇形與、邊相切時(shí)（當(dāng)扇形與、邊相切時(shí)），過(guò)點(diǎn)O做，，連接，易證，，，為等邊三角形，（ii）當(dāng)扇形與、邊相切時(shí)（當(dāng)扇形與、邊相切時(shí)），同理可求得，②有可能（3）【解析】【解答】解：（1）①設(shè)切點(diǎn)為H，連接OH并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，HG即為扇形EOF上的點(diǎn)到BC的最大距離，如圖所示；扇形與相切，OH⊥AD，又四邊形ABCD是平行四邊形，HG⊥BC，，，，其內(nèi)有一個(gè)圓心角為扇形，，，，，即，，；故答案為，，；②設(shè)切點(diǎn)為H，連接OH并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，連接OD、AE，交扇形EOF于點(diǎn)M，即MD為扇形EOF上的點(diǎn)到D的最短距離，如圖所示：由①得，EG=FG，，，，AE⊥BC，，，在中，，即，；故答案為；（2）②有可能；如圖所示：根據(jù)與垂直時(shí)，假設(shè)扇形與的邊切于點(diǎn)F，OE⊥AD，OF⊥CD，∠DEO+∠DFO=180°，∠D+∠O=180°，與∠B=∠D=60°，∠EOF=120°相符，故答案為有可能；(3)；因?yàn)閷⑸刃蔚膱A心O放在的中點(diǎn)處，點(diǎn)E在線段上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F在外，當(dāng)優(yōu)弧與的邊有六個(gè)交點(diǎn)時(shí)，故當(dāng)優(yōu)弧恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C時(shí)，如圖所示：由題意可得，當(dāng)半徑小于這個(gè)值時(shí)圓與四邊形就有六個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)與AD邊相切時(shí)，由題意得，當(dāng)半徑大于這個(gè)值時(shí)圓與四邊形也有六個(gè)交點(diǎn)；故答案為．【分析】（1）①過(guò)點(diǎn)O做垂線，利用解直角三角形求解即可；求出半徑再利用扇形面積計(jì)算公式求面積；②利用勾股定理求出線段長(zhǎng)度，再利用線段的加減進(jìn)行計(jì)算即可。（2）①根據(jù)題意先求出兩個(gè)切點(diǎn)，再利用勾股定理求解即可；②利用平行四邊形的性質(zhì)及結(jié)合圖像判斷即可；（3）畫出草圖，結(jié)合圖像去求解。18．【答案】（1）證明：∵AB=AC，AE平分∠BAC，

∴AE⊥BC，

∵AE是圓O的切線，

∴OM⊥AE

∴BC∥OM，

∴∠OMB=∠MBC

∵OM=OB

∴∠OMB=∠OBM，

∴∠MBC=∠OBM，

∴BM平分∠ABC.（2）解：①連接MF，

∵AC=AB，AE⊥BC，

∵∠MBF=∠MBE

∴BE=BC=2

∵BF是直徑，

∴∠BMF=∠MEB=90°，

∵∠MBF=∠MBE

∴△BFM∽△BME，

∴

∴x2=2×2y

∴

②過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，

∵

∴

在Rt△BEM中，，

∵OM∥BE

∴△AOM∽△ABE

∴即

解之：

∴

∵即

解之：

在Rt△ABH中

.（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OH垂直BC于點(diǎn)H，則四邊形OMEH是矩所以EH=OM.OH=ME.設(shè)圓O的半徑為r，BE=t，則OB=OM=r，OH=ME=-t.所以BH=t-r.在RTOBH中，即，所以當(dāng)t=2時(shí)，r有最小值此時(shí)【解析】【分析】（1）利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)，易證AE⊥BC，利用切線的性質(zhì)可得到OM⊥AE，由此可推出BC∥OM，再利用平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，去證明∠MBC=∠OBM，由此可證得結(jié)論。

（2）①連接MF，利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)求出BE的長(zhǎng)；再利用圓周角定理證明∠BMF=∠MEB=90°，利用有兩組對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似，可證得△BFM∽△BME；然后利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，就可求出y與x之間的函數(shù)解析式；②過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AC于點(diǎn)H，由x的值可求出BM，OB的長(zhǎng)，利用勾股定理求出ME的長(zhǎng)，再利用OM∥BE證明△AOM∽△ABE，利用相似三角形的對(duì)應(yīng)