用于相位突變界面的廣義反射與折射定律

用于相位突變界面的廣義反射與折射定律

費馬原理是光的直線傳播規(guī)律、反射定形規(guī)律和折射規(guī)律的必然結(jié)果?？梢哉f，后者是第一個必然結(jié)果，也就是說，由費馬原理可采用光的直線傳播規(guī)律、反射定法和折射規(guī)律。折射定律和反射定法是幾何光學(xué)的基礎(chǔ)，具有非常重要的物理意義。通常，假設(shè)影響光傳播的因素是環(huán)境。反射角和折射角的大小與光在兩種介質(zhì)中傳播的速度有關(guān)。光在介質(zhì)中的速度由媒體本身的光學(xué)屬性決定。換言之，光的傳播方式是由兩種介質(zhì)的光學(xué)屬性影響和決定的，并且與中間的界面無關(guān)。在這種處理問題的模型中，假設(shè)物質(zhì)界面是理想的，它不改變光和信息的邊界。隨著納米加工技術(shù)的發(fā)展,出現(xiàn)了具有與傳統(tǒng)材料不同的反常性質(zhì)的超材料(metamaterial),通過在材料的關(guān)鍵物理尺度上的結(jié)構(gòu)進(jìn)行有序設(shè)計,從而突破某些表觀自然規(guī)律的限制,獲得超出自然界固有的普通性質(zhì)的超常材料功能.現(xiàn)今發(fā)展出的超材料有:“左手材料”、光子晶體、“超磁性材料”等.不同的超材料有不同的特殊性質(zhì),具有非常廣闊的應(yīng)用前景.其中,超界面(metasurface)是超材料應(yīng)用的一個重要領(lǐng)域,它通過在納米尺度的人工操作,使界面具有與傳統(tǒng)界面不同的新特性,利用超界面可以實現(xiàn)對光波的任意控制,具有重要的應(yīng)用價值.科學(xué)家們已經(jīng)設(shè)計應(yīng)用超界面來實現(xiàn)對光波偏振態(tài)和波前的隨意控制,超界面還可以實現(xiàn)完全透射、增強(qiáng)天線輻射性能、超吸收等功能.利用超界面設(shè)計的光學(xué)器件具有輕薄的特點,在軍事上具有重要的應(yīng)用價值.隨著超界面的發(fā)展與實現(xiàn),各種超表面被理論設(shè)計和實驗實現(xiàn).與理想的邊界不同,超界面可以改變光波的波前、相位和偏振態(tài),這就使得光的傳播不再遵循普通的反射與折射定律.因此,針對這種新興超界面,利用不同的方法推導(dǎo)廣義的反射定律和折射定律就顯得非常必要.本文基于費馬原理和麥克斯韋方程組,通過兩種方法推導(dǎo)了考慮界面上有相位突變的廣義的反射和折射定律,并討論了一些相關(guān)因素對光傳播的影響,探討廣義的反射定律和折射定律的物理內(nèi)涵.1bakdr的相位梯度理論通常,光波的波前是可以利用透鏡、棱鏡、衍射元件如光柵和全息圖等光學(xué)元件通過相位變化的逐漸累積而被調(diào)控的.變換光學(xué)提出以后,控制光波波前的思想得以更進(jìn)一步的發(fā)展,各種控制和變換光波波前的新型的光學(xué)器件被設(shè)計出來,例如,利用超材料使光線反常彎曲,產(chǎn)生了負(fù)折射現(xiàn)象,實現(xiàn)了平面波和球面波的轉(zhuǎn)換等.這些控制光波波前的方法是基于麥克斯韋方程組的坐標(biāo)協(xié)變性和坐標(biāo)變換的思想提出的.與此不同的是,研究者們在光路中引入波長尺度的相位突變可以產(chǎn)生新的控制波前的自由度,同時,光的傳播符合費馬定理.這樣,我們就可以從費馬原理出發(fā)推導(dǎo)出廣義的折射和反射定律.費馬原理是指在A,B兩點之間光波沿著光程∫BABAn(r)dr取極值的方向傳播,其中n(r)是介質(zhì)的折射率.光程對光波來說,體現(xiàn)的是相位的改變,因此,在一般形式中,費馬定理可以理解為在實際光路中光波的相位變化取極值,即光波的相位變化函數(shù)的變分為零,記為∫BABAdφ(r)=0.對于通常的理想界面,可以利用該公式導(dǎo)出常用的反射定律和折射定律.如果在兩介質(zhì)的界面上引入波長尺度的相位突變Φ(rs),它取決于界面上的坐標(biāo)rs.光波在不同路徑上的總相位變化變?yōu)棣?rs)+∫BABAk·dr,其中第一項為由界面引起的位相突變,第二項為光波在傳播路徑上因光程的變化而引入的相位變化,k是光在介質(zhì)中的波矢.由費馬原理可以知道,實際的光路中光波總相位應(yīng)該取極值.這是適用于界面上有相位突變的廣義的費馬原理,利用它可以得到廣義的反射定律與折射定律.在界面上引入相位突變Φ(rs),相位突變量是界面上的位置坐標(biāo)的函數(shù),表現(xiàn)為相位改變不固定.考慮一束平面波以θi角入射到該界面上,定義入射面與界面相交的線為x軸,并假設(shè)在A、B點之間有兩個路徑分別為ADB和AEB(見圖1),他們都與實際光路無限接近,則他們之間的相位差為零.即(k0nisinθidx+Φ+dΦ)-(k0ntsinθtdx+Φ)=0(1)θt為折射角,Φ和Φ+dΦ分別為兩個光路通過界面時相位不連續(xù)產(chǎn)生的相位變化,dx是界面上兩點的距離,ni和nt是兩個介質(zhì)的折射率,k0=2π/λ0,其中λ0為真空中的波長.由式(1)可以看出,只要給出界面上相位改變的函數(shù)和入射角,就很容易確定光波的折射角,得到光波在這種界面上的傳播行為.為了簡化,假設(shè)沿著界面的相位變化率是恒定的,即dΦ/dx為定值,由式(1)可以導(dǎo)出廣義的斯涅耳折射定律ntsinθt-nisinθi=λ02πdΦdx(2)ntsinθt?nisinθi=λ02πdΦdx(2)由式(2)可知,若提供合適的相位梯度dΦ/dx值則折射光束可以有任意的傳播方向.這一修正的斯涅耳定律中非零的相位梯度使得入射角為±θi的光波有不同的折射角.因此,全反射的臨界角也有兩個,假設(shè)nt<ni,則有θtc=arcsin(±ntni-λ02πnidΦdx)(3)θtc=arcsin(±ntni?λ02πnidΦdx)(3)由式(3)可以看出:當(dāng)光波由光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)時,對于有相位突變的界面不僅可能存在兩個全反射臨界角,而且全反射臨界角的數(shù)量和大小與入射媒質(zhì)和出射媒質(zhì)的折射率nt和ni有關(guān),還和入射光的波長λ0和界面上的相位變化梯度dΦ/dx有關(guān).當(dāng)這幾個參數(shù)滿足-ntni-λ02πnidΦdx≥-1?ntni?λ02πnidΦdx≥?1,即dΦdx≤(-nt+ni)2πλ0dΦdx≤(?nt+ni)2πλ0時,界面上存在兩個全反射臨界角,而當(dāng)dΦdx＞(-nt+ni)2πλ0dΦdx＞(?nt+ni)2πλ0時,界面上存在一個全反射臨界角.與通常的折射定律不同的是,當(dāng)光波由光疏介質(zhì)射向光密介質(zhì)(即nt>ni)時,也可能存在一個全反射臨界角,全反射臨界角出現(xiàn)的條件為dΦdx≥(nt-ni)2πλ0dΦdx≥(nt?ni)2πλ0.這些反常的結(jié)果,是相位梯度的引入使得對稱性被破壞所造成的.同理,對于反射,假設(shè)在A、C點之間有兩個路徑分別為AHC和AGC(見圖2),他們都與實際光路無限接近,他們之間的相位差為零,則有(k0nisinθidx+Φ+dΦ)-(k0nisinθrdx+Φ)=0(4)在假設(shè)沿著界面的相位變化率為恒定,即dΦ/dx為定值的情況下,由式(4)可以導(dǎo)出廣義的斯涅耳反射定律sinθr-sinθi=λ02πnidΦdx(5)sinθr?sinθi=λ02πnidΦdx(5)其中θr為反射角.由式(5)可以看出,反射角θr與入射角θi之間的關(guān)系是非線性的,這與傳統(tǒng)的鏡面反射有明顯不同.由該式可知,對于有相位突變的界面來說,存在一個合適的入射角,使得在入射角大于它時,反射光消失.類比于全反射臨界角,該臨界角可以定義為全透射臨界角,其值為θrc=arcsin(±1-λ02πnidΦdx)(6)θrc=arcsin(±1?λ02πnidΦdx)(6)由式(6)可以看出:對于有相位突變的界面存在一個全透射臨界角.不管光波是由光疏媒質(zhì)射向光密媒質(zhì)nt>ni,還是由光密媒質(zhì)射向光疏媒質(zhì)nt<ni,該透射臨界角總是存在的,且該臨界角由入射媒質(zhì)ni、入射光的波長λ0和界面上的相位變化梯度dΦ/dx來決定.2反射定律和折射定律通常,電磁超材料或電磁超表面是由周期排列的微結(jié)構(gòu)構(gòu)成的,微結(jié)構(gòu)的尺寸小于目標(biāo)電磁波的波長,而又遠(yuǎn)大于構(gòu)成物質(zhì)的原子或分子尺寸,因此,對目標(biāo)電磁波來說,電磁超材料或電磁超表面可以被看做均勻材料.基于上面的分析,邊界條件對電磁超界面來說應(yīng)該仍然成立.假定光波的入射面為xOz平面,x軸在兩物質(zhì)的分界面上,入射光波為平面波且波矢為ki入射角為θi,反射光波的波矢為kr,反射角為θr,折射光波的波矢為kt,折射角為θt,如圖3所示.由電場強(qiáng)度的切向分量連續(xù)可得Eix+Erx=Etx(7)其中Eix=Aixe-i[ωit-ki(lix+miy+niz)]Erx=Arxe-i[ωrt-kr(lrx+mry+nrz)+Φ(x)]Etx=Atxe-i[ωtt-kt(ltx+mty+ntz)+Φ(x)]其中l(wèi)α、mα、nα為波矢量ki、kr和kt三個方向余弦.在界面(z=0)上,邊界條件應(yīng)在任意時刻t和任意點(x,y,z)都成立,由t前的系數(shù)相等可得ωi=ωr=ωt,它表明反射波和折射波的頻率與入射波的頻率相等.由x和y前的系數(shù)相等可得kimi=krmr=ktmt(8)kilix=krlrx-Φ(x)=ktltx-Φ(x)(9)由入射波的波矢量ki=ki(sinθi,0,cosθi)可知,mr=mt=0,這表明反射波和折射波的波矢量也在xOz平面內(nèi),即反射光線和折射光線都在由入射光線和反射界面法線所在的入射面內(nèi).對反射波和折射波有l(wèi)r=sinθr,lt=sinθt,代入式(9)可得ωcnisinθix=ωcnisinθrx-Φ(x)=ωcntsinθtx-Φ(x)(10)ωcnisinθix=ωcnisinθrx?Φ(x)=ωcntsinθtx?Φ(x)(10)考慮到式(10)對任意的x都是成立的,則有等式ωcnisinθi=ωcnisinθr-dΦ(x)dx=ωcntsinθt-dΦ(x)dx(11)ωcnisinθi=ωcnisinθr?dΦ(x)dx=ωcntsinθt?dΦ(x)dx(11)由此可得到反射定律和折射定律:反射定律sinθr-sinθi=λ02πnidΦ(x)dx(12)sinθr?sinθi=λ02πnidΦ(x)dx(12)折射定律ntsinθt-nisinθi=λ02πdΦ(x)dx(13)ntsinθt?nisinθi=λ02πdΦ(x)dx(13)對比可以看出,由費馬定律和利用邊界條件推得的用于相位不連續(xù)界面的廣義的反射定律和折射定律完全一致,這說明在超界面存在的界面上,邊界條件仍然成立.進(jìn)一步可利用該廣義的反射定律和折射定律推得相應(yīng)的菲涅耳公式,并分析界面的反射率和透射率.3廣義的折射和反射定律和相控制由廣義的反射和折射定律可知一束光的入射角為θi,則反射角可以表示為θr=arcsin[sinθi+λ02πnidΦdx](14)折射角表示為θt=arcsin[nintsinθi+λ02πntdΦdx](15)式(3)和式(6)分別為使反射光和折射光消失的臨界角,當(dāng)入射角大于θrc時,反射光消失;當(dāng)入射角大于θtc時,折射光消失.對于廣義的折射和反射定律,當(dāng)dΦdx=0時,即界面為通常的理想界面時,式(14)和式(15)退化為通常的折射定律和反射定律.這意味著,廣義的折射和反射定律包含通常的折射和反射定律,換言之,通常的折射和反射定律是廣義的折射和反射定律的一種特殊情況.由式(14)和式(15)可以看出:在界面上引入相位改變后,反射角和折射角的大小除了與入射角有關(guān)以外,還與介質(zhì)的折射率、入射光的波長、界面上的相位梯度有關(guān).這些可以控制的參數(shù)將為隨意的控制光波提供便利.值得說明的是,在上面的推導(dǎo)和討論中,我們假設(shè)相位突變量Φ是界面上位置的連續(xù)函數(shù),并且相位梯度dΦ/dx為常數(shù),因此,入射光波所有的能量都遵循廣義的反射定律和折射定律,全部轉(zhuǎn)移到了反常反射和反常折射當(dāng)中,與光波的偏振狀態(tài)無關(guān).這種由相位不連續(xù)造成的反常折射現(xiàn)象和那些已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的超材料中由負(fù)介電常數(shù),負(fù)磁通率以及介電常數(shù)張量的各向異性所造成的現(xiàn)象是有本質(zhì)不同的.當(dāng)相位梯度dΦ/dx為變量時,入射光波所有的能量仍然遵循廣義的反射定律和折射定律,但會出現(xiàn)分光現(xiàn)象,即光束被分成不同的方向傳播.這一特性使得我們可以通過調(diào)節(jié)dФ/dx的值來控制分光行為,從而利用超界面實現(xiàn)微型的分束器.打破傳統(tǒng)的反射與折射定律,在光路中引入相位突變,廣義的反射與折射定律為人們對波前的設(shè)計和操控打開了一片新天地,這項理論為我們提供了設(shè)計光學(xué)器件的新思路.有研究者用等離子材料制成的V形天線陣列已實現(xiàn)了