陜西省商洛市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）【含答案】

陜西省商洛市高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）一、單選題1．（3分）設(shè)集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣6）＞0}，B＝{x|2﹣x＞0}，則A∩B＝（）A．{x|x＞6} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＜1} D．{x|2＜x＜6}2．（3分）＝（）A． B．1 C． D．i3．（3分）某地有兩個國家AAAA級旅游景區(qū)﹣﹣甲景區(qū)和乙景區(qū)．相關(guān)部門統(tǒng)計了這兩個景區(qū)2019年1月至6月的月客流量（單位：百人），得到如圖所示的莖葉圖．關(guān)于2019年1月至6月這兩個景區(qū)的月客流量，以下結(jié)論錯誤的是（）A．甲景區(qū)月客流量的中位數(shù)為12950人 B．乙景區(qū)月客流量的中位數(shù)為12450人 C．甲景區(qū)月客流量的極差為3200人 D．乙景區(qū)月客流量的極差為3100人4．（3分）若x，y滿足約束條件且z＝x+2y，則（）A．z的最大值為6 B．z的最大值為8 C．z的最小值為6 D．z的最小值為85．（3分）已知兩個單位向量，的夾角為60°，向量，則＝（）A． B． C． D．76．（3分）已知α，β是兩個不同的平面，m，l是兩條不同的直線，且α⊥β，m?α，α∩β＝l，則“m⊥l”是“m⊥β”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．（3分）在等比數(shù)列{an}中a1+a2＝1，a4+a5＝27，則{an}的前5項和為（）A．29 B． C．30 D．8．（3分）若函數(shù)f（x）＝e2x+mx﹣m在[0，1]上為減函數(shù)，則m的取值范圍為（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣2] C．（﹣∞，﹣e2] D．（﹣∞，﹣2e2]9．（3分）已知函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．（﹣∞，﹣3]，[0，3] B．[﹣3，0]，[3，+∞） C．（﹣∞，﹣5），[0，1） D．（﹣1，0]，（5，+∞）10．（3分）已知函數(shù)f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的圖象關(guān)于直線x＝對稱，則ω的最小值為（）A． B． C． D．11．（3分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的每個頂點都在球的O球面上，若球O的表面積為12π，則該四棱柱的側(cè)面積的最大值為（）A． B． C．16 D．1812．（3分）已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線與x軸的交點為K，P為拋物線C上一點，且P在第一象限：當(dāng)取得最小值時，點P的坐標(biāo)為（）A． B．（1，2） C． D．（4，4）二、填空題13．（3分）（﹣3）5的展開式中x2的系數(shù)為．14．（3分）已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，點A在雙曲線C的左支上，且|AF1|＝12，則|AF2|＝．15．（3分）已知f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)0≤x＜4時，f（x）＝2x﹣3，當(dāng)x≥4時，f（x）＝21﹣2x，則不等式f（x）＞5的解集為．16．（3分）在數(shù)列{an}中，a1＝3，且．（1）{an}的通項公式為；（2）在a1、a2、a3、…、a2019這2019項中，被10除余2的項數(shù)為．三、解答題17．a(chǎn)、b、c分別為△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊，已知atanB＝3bsinA．（1）求cosB；（2）若a＝3，，求△ABC的面積．18．某省新課改后某校為預(yù)測2020屆高三畢業(yè)班的本科上線情況，從該校上一屆高三（1）班到高三（5）班隨機(jī)抽取50人，得到各班抽取的人數(shù)和其中本科上線人數(shù)，并將抽取數(shù)據(jù)制成下面的條形統(tǒng)計圖．（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖，估計本屆高三學(xué)生本科上線率；（2）已知該省甲市2020屆高考考生人數(shù)為4萬，假設(shè)以（1）中的本科上線率作為甲市每個考生本科上線的概率．①若從甲市隨機(jī)抽取10名高三學(xué)生，求恰有8名學(xué)生達(dá)到本科線的概率（結(jié)果精確到0.01）；②已知該省乙市2020屆高考考生人數(shù)為3.6萬，假設(shè)該市每個考生本科上線率均為p（0＜p＜1），若2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市，求p的取值范圍．可能用到的參考數(shù)據(jù)：取0.364＝0.0168，0.164＝0.0007．19．已知橢圓的焦距為，短軸長為．（1）求Ω的方程；（2）若直線y＝x+2與Ω相交于A、B兩點，求以線段AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．20．如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分別為AC，AB的中點，F(xiàn)為CD的中點，G在線段BC上，且BG＝3CG．將△ADE沿DE折起，使點A到A1的位置（如圖2所示），且A1F⊥CD．（1）證明：BE∥平面A1FG；（2）求平面A1FG與平面A1BE所成銳二面角的余弦值．21．已知函數(shù)f（x）＝2ln（x+1）+sinx+1．（1）求曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；（2）證明：x≥1+lnx；（3）證明：f（x）≤（x+1）2esinx．22．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），曲線C的參數(shù)方程為（m＞0，n＞0，α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，且曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝8sinθ．（1）求a，m，n的值；（2）已知點P的直角坐標(biāo)為（0，1），l與曲線C交于A，B兩點，求|PA|+|PB|．23．已知函數(shù)f（x）＝3|x+1|﹣|2x﹣4|．（1）求不等式f（x）＞3的解集；（2）若對任意x∈R，不等式f（x）﹣|x﹣2|≤t2﹣8t恒成立，求t的取值范圍．參考答案解析一、單選題1．（3分）設(shè)集合A＝{x|（x﹣1）（x﹣6）＞0}，B＝{x|2﹣x＞0}，則A∩B＝（）A．{x|x＞6} B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＜1} D．{x|2＜x＜6}【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．【解答】解：因為A＝{x|（x﹣1）（x﹣6）＞0}＝{x|x＜1或x＞6}，B＝{x|2﹣x＞0}＝{x|x＜2}，所以A∩B＝{x|x＜1}．故選：C．【點評】本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．2．（3分）＝（）A． B．1 C． D．i【分析】利用復(fù)數(shù)的除法和加法法則可計算出所求復(fù)數(shù)．【解答】解：．故選：A．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的除法與加法計算，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（3分）某地有兩個國家AAAA級旅游景區(qū)﹣﹣甲景區(qū)和乙景區(qū)．相關(guān)部門統(tǒng)計了這兩個景區(qū)2019年1月至6月的月客流量（單位：百人），得到如圖所示的莖葉圖．關(guān)于2019年1月至6月這兩個景區(qū)的月客流量，以下結(jié)論錯誤的是（）A．甲景區(qū)月客流量的中位數(shù)為12950人 B．乙景區(qū)月客流量的中位數(shù)為12450人 C．甲景區(qū)月客流量的極差為3200人 D．乙景區(qū)月客流量的極差為3100人【分析】利用莖葉圖的性質(zhì)直接求解．【解答】解：甲景區(qū)月客流量的中位數(shù)為12950人，乙景區(qū)月客流量的中位數(shù)為12450人．根據(jù)莖葉圖的數(shù)據(jù)，可知甲景區(qū)月客流量的極差為3200人，乙景區(qū)月客流量的極差為3000人，故選：D．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查莖葉圖等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．4．（3分）若x，y滿足約束條件且z＝x+2y，則（）A．z的最大值為6 B．z的最大值為8 C．z的最小值為6 D．z的最小值為8【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【解答】解：由約束條件作出可行域，由圖可知，當(dāng)直線z＝x+2y經(jīng)過點（2，2）時z取得最小值6，z無最大值．故選：C．【點評】本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．5．（3分）已知兩個單位向量，的夾角為60°，向量，則＝（）A． B． C． D．7【分析】根據(jù)條件可求出，，然后根據(jù)進(jìn)行數(shù)量積的運算即可求出的值．【解答】解：∵兩個單位向量，的夾角為60°，∴，，∴．故選：A．【點評】本題考查了單位向量的定義，向量數(shù)量積的運算及計算公式，向量長度的求法，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．6．（3分）已知α，β是兩個不同的平面，m，l是兩條不同的直線，且α⊥β，m?α，α∩β＝l，則“m⊥l”是“m⊥β”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】由已知結(jié)合平面與平面垂直的性質(zhì)及充分必要條件的判定方法得答案．【解答】解：由α⊥β，m?α，α∩β＝l，m⊥l，利用面面垂直的性質(zhì)可得m⊥β；由α⊥β，m?α，α∩β＝l，m⊥β，利用面面垂直的性質(zhì)可得m⊥l．∴α，β是兩個不同的平面，m，l是兩條不同的直線，且α⊥β，m?α，α∩β＝l，則“m⊥l”是“m⊥β”的充要條件．故選：C．【點評】本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)，考查充分必要條件的判定方法，是基礎(chǔ)題．7．（3分）在等比數(shù)列{an}中a1+a2＝1，a4+a5＝27，則{an}的前5項和為（）A．29 B． C．30 D．【分析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，根據(jù)題意得出關(guān)于a1和q的方程組，解出這兩個量，然后利用等比數(shù)列的求和公式可計算出數(shù)列{an}的前5項和．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則，解得，因此，數(shù)列{an}的前5項和為．故選：D．【點評】本題考查等比數(shù)列求和，解題的關(guān)鍵就是求出等比數(shù)列的首項和公比，一般利用方程思想求解，考查運算求解能力，屬于中等題．8．（3分）若函數(shù)f（x）＝e2x+mx﹣m在[0，1]上為減函數(shù)，則m的取值范圍為（）A．（﹣∞，﹣1] B．（﹣∞，﹣2] C．（﹣∞，﹣e2] D．（﹣∞，﹣2e2]【分析】由題意得出f'（x）≤0在區(qū)間[0，1]上恒成立，分析函數(shù)y＝f'（x）的單調(diào)性，得出該函數(shù)的最大值，可得出關(guān)于實數(shù)m的不等式，解出即可．【解答】解：∵f（x）＝e2x+mx﹣m，∴f'（x）＝2e2x+m．由于函數(shù)f（x）＝e2x+mx﹣m在[0，1]上為減函數(shù)，則不等式f'（x）≤0在區(qū)間[0，1]上恒成立，又函數(shù)y＝f'（x）＝2e2x+m在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，所以，，解得m≤﹣2e2．因此，實數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，﹣2e2]．故選：D．【點評】本題考查利用函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，一般轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)不等式在區(qū)間上恒成立來求解，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中等題．9．（3分）已知函數(shù)f（x）的圖象如圖所示，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．（﹣∞，﹣3]，[0，3] B．[﹣3，0]，[3，+∞） C．（﹣∞，﹣5），[0，1） D．（﹣1，0]，（5，+∞）【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合圖形找出使得函數(shù)y＝f（x）單調(diào)遞減以及滿足f（x）＞0的對應(yīng)x的取值范圍即可．【解答】解：因為在（0，+∞）上為減函數(shù)，所以只要求y＝f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間，且f（x）＞0．由圖可知，使得函數(shù)y＝f（x）單調(diào)遞減且滿足f（x）＞0的x的取值范圍是（﹣∞，﹣5）∪[0，1）．因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣5）、[0，1）．故選：C．【點評】本題考查對數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，在利用復(fù)合函數(shù)法得出內(nèi)層函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，還應(yīng)注意真數(shù)要恒大于零．10．（3分）已知函數(shù)f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0）的圖象關(guān)于直線x＝對稱，則ω的最小值為（）A． B． C． D．【分析】利用輔助角公式將函數(shù)y＝f（x）的解析式化簡為，根據(jù)題意得出，可得出關(guān)于ω的表達(dá)式，即可求出正數(shù)ω的最小值．【解答】解：∵，由于該函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，得，∵ω＞0，當(dāng)k＝0時，ω取得最小值．故選：C．【點評】本題考查利用正弦型函數(shù)的對稱性求參數(shù)，解題時要將三角函數(shù)的解析式利用三角恒等變換思想化簡，并通過對稱性列出參數(shù)的表達(dá)式求解，考查計算能力，屬于中等題．11．（3分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的每個頂點都在球的O球面上，若球O的表面積為12π，則該四棱柱的側(cè)面積的最大值為（）A． B． C．16 D．18【分析】計算出球O的半徑為R，可得出，設(shè)正四棱柱的底面邊長為x，高為h，可得出，然后利用基本不等式可得出該四棱柱側(cè)面積的最大值．【解答】解：設(shè)球O的半徑為R，則4πR2＝12π，得．設(shè)正四棱柱的底面邊長為x，高為h，則正四棱柱的體對角線即為球O的直徑，則有，即2x2+h2＝12，由基本不等式可得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，該四棱柱的側(cè)面積為．故選：A．【點評】本題考查球體表面積的計算，同時也考查了正四棱柱外接球問題以及正四棱柱側(cè)面積最值的計算，涉及了利用基本不等式求最值，解題的關(guān)鍵就是要根據(jù)題意得出定值條件，考查計算能力，屬于中等題．12．（3分）已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線與x軸的交點為K，P為拋物線C上一點，且P在第一象限：當(dāng)取得最小值時，點P的坐標(biāo)為（）A． B．（1，2） C． D．（4，4）【分析】根據(jù)題意，．因此可求tan∠PKF的最大值，表示出tan∠PKF，利用基本不等式的性質(zhì)，求得tan∠PKF的最大值，即可求得P點坐標(biāo)【解答】解：由題意可得，焦點F（1，0），準(zhǔn)線方程為x＝﹣1，過點P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，．求cos∠PKF的最小值等價于求tan∠PKF的最大值，則，故．當(dāng)且僅當(dāng)，即y＝2時，等號成立，即P（1，2）．故選：B．【點評】本題考查拋物線的性質(zhì)，考查基本不等式的應(yīng)用及成立條件，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．二、填空題13．（3分）（﹣3）5的展開式中x2的系數(shù)為﹣15．【分析】在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數(shù)等于2，求出r的值，即可求得展開式中x2的系數(shù)．【解答】解：的展開式的通項公式為Tr+1＝?（﹣3）r?，令5﹣r＝4，求得r＝1，可得展開式中x2的系數(shù)為，故答案為：15．【點評】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14．（3分）已知雙曲線的左、右焦點分別為F1、F2，點A在雙曲線C的左支上，且|AF1|＝12，則|AF2|＝20．【分析】利用雙曲線的定義可求出|AF2|．【解答】解：∵A在雙曲線C的左支上，由雙曲線的定義可得，因此，|AF2|＝|AF1|+8＝20．故答案為：20．【點評】本題考查雙曲線定義求焦半徑，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．（3分）已知f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)0≤x＜4時，f（x）＝2x﹣3，當(dāng)x≥4時，f（x）＝21﹣2x，則不等式f（x）＞5的解集為（﹣8，﹣3）∪（3，8）．【分析】求出不等式f（x）＞5在x∈[0，+∞）的解，然后根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)可得出不等式f（x）＞5在R上的解集．【解答】解：當(dāng)0≤x＜4時，令f（x）＝2x﹣3＞5，可得2x＞8，解得x＞3，此時3＜x＜4；當(dāng)x≥4時，令f（x）＝21﹣2x＞5，解得x＜8，此時4≤x＜8．所以，不等式f（x）＞5在x∈[0，+∞）的解為3＜x＜8．由于函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，因此，不等式f（x）＞5的解集為（﹣8，﹣3）∪（3，8）．故答案為：（﹣8，﹣3）∪（3，8）．【點評】本題考查分段函數(shù)不等式的求解，同時也涉及了函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中等題．16．（3分）在數(shù)列{an}中，a1＝3，且．（1）{an}的通項公式為an＝2n2﹣n+2；（2）在a1、a2、a3、…、a2019這2019項中，被10除余2的項數(shù)為403．【分析】（1）直接利用遞推關(guān)系式的應(yīng)用求出數(shù)列的通項公式．（2）利用（1）中的通項公式，進(jìn)一步利用求整問題的應(yīng)用整理出看和n的關(guān)系式，進(jìn)一步求出結(jié)果．【解答】解：（1）數(shù)列{an}中，a1＝3，且（常數(shù)）．所以數(shù)列{}是以為首項，2為公差的等差數(shù)列．所以，解得（首項符合通項）．故．（2）由于，所以被10除余2的數(shù)設(shè)為10k﹣8．故：．整理得：，由于k∈N，故n（2n﹣1）是10的倍數(shù)．所以：2n﹣1為正奇數(shù)，所以n為偶數(shù)．所以n＝8，10，18，20，…2008，2010，2018．一共有202+201＝403．故答案為：an＝2n2﹣n+2：403【點評】本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應(yīng)用，求整問題的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題型．三、解答題17．a(chǎn)、b、c分別為△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊，已知atanB＝3bsinA．（1）求cosB；（2）若a＝3，，求△ABC的面積．【分析】（1）利用正弦定理邊角互化思想以及切化弦的思想得出cosB的值；（2）利用余弦定理求出c的值，并利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系求出sinB的值，最后利用三角形的面積公式即可求出△ABC的面積【解答】解（1）因為atanB＝3bsinA，所以sinAtanB＝3sinBsinA，又sinA＞0，所以，因為sinB＞0，所以；（2）由余弦定理，得b2＝a2+c2﹣2accosB，則，整理得c2﹣2c﹣8＝0，∵c＞0，解得c＝4．因為，所以，所以△ABC的面積．【點評】本題考查利用正弦定理邊角互化思想求角，同時也考查余弦定理解三角形以及三角形面積的計算，考查計算能力，屬于中等題．18．某省新課改后某校為預(yù)測2020屆高三畢業(yè)班的本科上線情況，從該校上一屆高三（1）班到高三（5）班隨機(jī)抽取50人，得到各班抽取的人數(shù)和其中本科上線人數(shù)，并將抽取數(shù)據(jù)制成下面的條形統(tǒng)計圖．（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖，估計本屆高三學(xué)生本科上線率；（2）已知該省甲市2020屆高考考生人數(shù)為4萬，假設(shè)以（1）中的本科上線率作為甲市每個考生本科上線的概率．①若從甲市隨機(jī)抽取10名高三學(xué)生，求恰有8名學(xué)生達(dá)到本科線的概率（結(jié)果精確到0.01）；②已知該省乙市2020屆高考考生人數(shù)為3.6萬，假設(shè)該市每個考生本科上線率均為p（0＜p＜1），若2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市，求p的取值范圍．可能用到的參考數(shù)據(jù)：取0.364＝0.0168，0.164＝0.0007．【分析】（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖計算本屆高三學(xué)生本科上線率即可；（2）①根據(jù)n次獨立重復(fù)實驗恰有k次發(fā)生的概率公式，計算恰有8名學(xué)生達(dá)到本科線的概率值；②由甲、乙兩市2020屆高考本科上線人數(shù)分別記為X、Y，由EY≥EX列方程求出p的取值范圍，從而得出結(jié)論．【解答】解：（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖，估計本屆高三學(xué)生本科上線率為×（4+6+7+8+5）＝60%；（2）①記“恰有8名學(xué)生達(dá)到本科線”為事件A，由題意可知，甲市每個考生本科上線的概率為0.6；則P（A）＝×0.68×（1﹣0.6）2＝×0.364×0.42＝45×0.0168×0.16≈0.12，即恰有8名學(xué)生達(dá)到本科線的概率為0.12；②甲、乙兩市2020屆高考本科上線人數(shù)分別記為X、Y，依題意可得，X～B（40000，0.6），Y～B（3600，p）；因為2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市，所以EY≥EX，即3600p≥40000×0.6，解得p≥；又0＜p＜1，所以p的取值范圍是[，1）．【點評】本題考查了條形統(tǒng)計圖與分布列的計算問題，也考查了數(shù)據(jù)分析與處理能力，是中檔題．19．已知橢圓的焦距為，短軸長為．（1）求Ω的方程；（2）若直線y＝x+2與Ω相交于A、B兩點，求以線段AB為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（1）根據(jù)題意求出a和b的值，即可求出橢圓Ω的方程；（2）設(shè)點A（x1，y1）、B（x2，y2），將直線AB的方程與橢圓Ω的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出線段AB的中點和|AB|，即可得出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【解答】解：（1）設(shè)橢圓Ω的焦距為2c（c＞0），則，，所以，，a2＝b2+c2＝8，所以Ω的方程為；（2）設(shè)點A（x1，y1）、B（x2，y2），聯(lián)立，消去y，得5x2+16x+8＝0．由韋達(dá)定理得，，所以，線段AB的中點坐標(biāo)為，，所以，所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【點評】本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了直線截圓所得弦長的計算以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求解，一般將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理設(shè)而不求法來計算，考查運算求解能力，屬于中等題．20．如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分別為AC，AB的中點，F(xiàn)為CD的中點，G在線段BC上，且BG＝3CG．將△ADE沿DE折起，使點A到A1的位置（如圖2所示），且A1F⊥CD．（1）證明：BE∥平面A1FG；（2）求平面A1FG與平面A1BE所成銳二面角的余弦值．【分析】（1）利用線面平行的判定定理證明即可；（2）根據(jù)題意，以F為原點，直線FC為x軸，過F平行于BC的直線為y軸，F(xiàn)A1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出設(shè)平面A1FG，平面A1BE的法向量，利用向量的夾角公式求出二面角的余弦值即可．【解答】解：（1）證明：取BC的中點M，連接DM，∵BG＝3CG，∴G為CM的中點，又F為CD的中點，所以FG∥DM，由DE∥BM，DE＝BM，∴平行四邊形DMBE，∴BE∥DM，所以BE∥FG，又FG?平面A1FG，如圖，所以BE∥平面A1FG；（2）根據(jù)題意，以F為原點，直線FC為x軸，過F平行于BC的直線為y軸，直線FA1為z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則F（0，0，0），A1（0，0，），B（1，4，0），E（＝1，2，0），G（1，1，0），），，，，設(shè)平面A1FG的法向量為，由，得，故，設(shè)平面A1BE的法向量，由，得，故，∴＝，故平面A1FG與平面A1BE所成銳二面角的余弦值為．【點評】考查直線與平面平行的判定定理，利用空間向量法求二面角的余弦值，注意運算的準(zhǔn)確性，中檔題．21．已知函數(shù)f（x）＝2ln（x+1）+sinx+1．（1）求曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；（2）證明：x≥1+lnx；（3）證明：f（x）≤（x+1）2esinx．【分析】（1）求出f（0）和f'（0）的值，利用點斜式可寫出所求切線的方程；（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）＝x﹣lnx﹣1，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)y＝g（x）的最小值g（x）min，由g（x）min≥0可證明出x≥1+lnx；（3）證明出（x+1）2esinx＞0，利用（2）中的結(jié)論可得出（x+1）2esinx≥1+ln[（x+1）2esinx]，化簡后可得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵f（x）＝2ln（x+1）+sinx+1，∴，則f'（0）＝3，f（0）＝1，所以曲線y＝f（x）在點（0，f（0））處的切線方程為y＝3x+1；（2）設(shè)函數(shù)g（x）＝x﹣（1+lnx）＝x﹣lnx﹣1，則，令g'（x）＜0，得0＜x＜1；令g'（x）＞0，得x＞1．所以，函數(shù)y＝g（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增．則函數(shù)y＝g（x）在x＝1處取得極小值，亦即最小值，即g（x）min＝g（1）＝0，即x≥1+lnx；（3）證明：因為函數(shù)y＝f（x）的定義域為（﹣1，+∞），所以（x+1）2＞0，（x+1）2esinx＞0，由（2）知，（x+1）2esinx≥1+ln[（x+1）2esinx]，即（x+1）2esinx≥2ln（x+1）+sinx+1，又（0+1）2esin0＝1，所以