三維熱傳導(dǎo)問題溫度場分布的數(shù)值分析

三維熱傳導(dǎo)問題溫度場分布的數(shù)值分析目錄contents01熱傳導(dǎo)及導(dǎo)熱的基本定律02導(dǎo)熱微分方程及定解條件03導(dǎo)熱問題的數(shù)值求解基礎(chǔ)04各種數(shù)值解法的介紹01熱傳導(dǎo)及導(dǎo)熱的基本定律熱傳導(dǎo)及導(dǎo)熱的基本定律一熱傳導(dǎo)當物體內(nèi)有溫差或兩個不同溫度的物體直接接觸時,在物體各部分之間不發(fā)生相對位移的情況下,依靠物質(zhì)微粒的熱運動而產(chǎn)生的熱量傳遞現(xiàn)象稱為熱傳導(dǎo),簡稱導(dǎo)熱01熱傳導(dǎo)及導(dǎo)熱的基本定律二、熱流量及熱流密度1.熱流量單位時間內(nèi)通過某一給定面積的熱量稱為熱流量,記為,單位為W2.熱流密度單位時間通過單位面積的熱量稱為熱流密度(或稱面積熱流量),記為q,單位為W/㎡,于是有01熱傳導(dǎo)及導(dǎo)熱的基本定律三、溫度場和溫度梯度1.溫度場物體內(nèi)部產(chǎn)生導(dǎo)熱的起因在于物體各部分之間具有溫度差,所以研究導(dǎo)熱必然涉及物體的溫度分布.在某一瞬時,物體內(nèi)各點的溫度分布稱為溫度場.在一般情況下,溫度是空間坐標(x,y,z)和時間()的函數(shù),即隨時間而變動的溫度場稱為非穩(wěn)態(tài)溫度場,在非穩(wěn)態(tài)溫度場中發(fā)生的導(dǎo)熱稱為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱.各店溫度不隨時間變動的溫度場稱為穩(wěn)態(tài)溫度場,在穩(wěn)態(tài)溫度場中發(fā)生的導(dǎo)熱稱為穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱.一維溫度場具有最簡單的數(shù)學(xué)形式01熱傳導(dǎo)及導(dǎo)熱的基本定律2.溫度梯度在同一瞬時,物體內(nèi)溫度相同的各點所連成的面或線稱為等溫面或等溫線.由于物體內(nèi)同一點上不可能同時具有兩個不同的溫度,所以溫度不同的等溫面或線不會相交.觀察一物體內(nèi)溫度為t及t+Δt的兩個不同溫度的等溫面,沿等溫面法線方向上的溫度增量Δt與法向距離Δn比值的極限稱為溫度梯度,用符號gradt表示01熱傳導(dǎo)及導(dǎo)熱的基本定律四、熱導(dǎo)率及傅里葉定律

01熱傳導(dǎo)及導(dǎo)熱的基本定律2.傅里葉定律傅里葉歸納了無數(shù)實驗研究結(jié)果,提出了導(dǎo)熱的基本定律:單位時間內(nèi)通過單位面積的熱量(即熱流密度q)正比于該處的溫度梯度,寫成矢量形式,即該式為傅里葉定律的數(shù)學(xué)表達式,式中負號表示熱流密度的方向永遠指向溫度降低的方向.寫成標量形式為熱導(dǎo)率的定義式可由傅里葉定律表達式得到λ表征物質(zhì)導(dǎo)熱能力大小01熱傳導(dǎo)及導(dǎo)熱的基本定律02導(dǎo)熱微分方程及定解條件02導(dǎo)熱微分方程及定解條件導(dǎo)熱微分方程傅里葉定律揭示了導(dǎo)熱量與溫度梯度的關(guān)系，要想確定溫度梯度，必須首先求解導(dǎo)熱體內(nèi)的溫度分——溫度場。因此必須建立一個能全面描述導(dǎo)熱問題溫度場的數(shù)學(xué)表達式，即導(dǎo)熱微分方程然后結(jié)合具體的單值性條件求解方程便可得出特定條件下的溫度分布t=f(x,y,z,,τ)02導(dǎo)熱微分方程及定解條件對于非穩(wěn)態(tài)，有內(nèi)熱源的問題，由能量守恒定律，熱平衡方程式應(yīng)該是導(dǎo)入微元體的總熱流量微元體內(nèi)熱源的生成熱導(dǎo)出微元體的總熱流量微元體熱力學(xué)能的增量任意方向的總熱流量可以分解為x、y、z三個坐標軸方向的分熱流量。02導(dǎo)熱微分方程及定解條件

02導(dǎo)熱微分方程及定解條件

02導(dǎo)熱微分方程及定解條件

02導(dǎo)熱微分方程及定解條件

02導(dǎo)熱微分方程及定解條件定解條件

02導(dǎo)熱微分方程及定解條件通過無限大平壁的導(dǎo)熱

02

02（二）用傅里葉定律求解

03導(dǎo)熱問題的數(shù)值求解基礎(chǔ)03導(dǎo)熱問題的數(shù)值求解基礎(chǔ)原則上，導(dǎo)熱問題的求解就是對導(dǎo)熱微分方程方程式在規(guī)定的邊界和初始條件下求解。這種解法稱為分析解法。但從前面的分析看出，分析解法只能求解一些導(dǎo)熱體的幾何形狀或邊界條件簡單的導(dǎo)熱問題。對于工程技術(shù)中遇到的許多幾何形狀或邊界條件復(fù)雜的導(dǎo)熱問題，由于數(shù)學(xué)上的困難還無法得出其分析解。這時，就該數(shù)值解法上場表演了。03導(dǎo)熱問題的數(shù)值求解基礎(chǔ)數(shù)值解法是求解所有上述情況下導(dǎo)熱問題的有效方法。有限差分法數(shù)值解法有限元法邊界元法andsoon03導(dǎo)熱問題的數(shù)值求解基礎(chǔ)導(dǎo)熱問題數(shù)值求解的基本思想對物理問題進行數(shù)值求解的基本思想可以概括為：把原來在時間、空間坐標系中連續(xù)的物理量場，如導(dǎo)熱物體的溫度場，用有限個離散點上的值的集合來代替；通過求解按一定方法建立起來的關(guān)于這些值的代數(shù)方程，獲得離散點上被求物理量的值。這些離散點上被求物理量值的集合稱為該物理量的數(shù)值解。這一基本思想可用求解過程的框圖來表示：03導(dǎo)熱問題的數(shù)值求解基礎(chǔ)這一基本思想可用求解過程的框圖來表示：建立控制方程及定解條件確定節(jié)點（區(qū)域離散化）建立節(jié)點物理量的代數(shù)方程設(shè)立溫度場的迭代初值求解代數(shù)方程是否收斂解的分析改進初場是否04導(dǎo)熱問題的數(shù)值求解基礎(chǔ)穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的數(shù)值計算

04導(dǎo)熱問題的數(shù)值求解基礎(chǔ)內(nèi)部節(jié)點的有限差分方程下面用熱平衡法建立節(jié)點的有限差分方程。熱平衡法的基本原理就是對任一元體，根據(jù)能量守恒定律寫出熱平衡式。

同理右側(cè)、上側(cè)和下側(cè)導(dǎo)入的熱流量分別為

03導(dǎo)熱問題的數(shù)值求解基礎(chǔ)內(nèi)部節(jié)點的有限差分方程

上式即為節(jié)點有限差分方程，簡稱節(jié)點方程03導(dǎo)熱問題的數(shù)值求解基礎(chǔ)邊界節(jié)點的有限差分方程對于第一類邊界條件，邊界節(jié)點溫度已給定，所有內(nèi)節(jié)點的差分方程組成了一個封閉的代數(shù)方程組，可以立即進行求解。但對于含有第二類或第三類邊界條件的導(dǎo)熱問題，由內(nèi)節(jié)點的差分方程組成的方程組不是封閉的，因為其中包含了未知的邊界溫度，因而還必須補充邊界節(jié)點的有限差分方程，才能使方程組封閉。

牛頓冷卻公式P12403導(dǎo)熱問題的數(shù)值求解基礎(chǔ)邊界節(jié)點的有限差分方程

這就是第三類邊界條件下平直邊界面上節(jié)點的有限差分方程03導(dǎo)熱問題的數(shù)值求解基礎(chǔ)邊界節(jié)點的有限差分方程內(nèi)部節(jié)點

對流邊界節(jié)點

03導(dǎo)熱問題的數(shù)值求解基礎(chǔ)節(jié)點方程組的求解前面已建立了物體內(nèi)部節(jié)點和邊界節(jié)點的有限差分方程，如有n個未知溫度的節(jié)點，就可以寫出n個代數(shù)方程。現(xiàn)在要運用高斯-賽德爾迭代法來求解這種方程組

03導(dǎo)熱問題的數(shù)值求解基礎(chǔ)節(jié)點方程組的求解

03導(dǎo)熱問題的數(shù)值求解基礎(chǔ)節(jié)點方程組的求解

高斯-賽德爾迭代法:用最新值進行迭代計算03導(dǎo)熱問題的數(shù)值求解基礎(chǔ)節(jié)點方程組的求解

03導(dǎo)熱問題的數(shù)值求解基礎(chǔ)節(jié)點方程組的求解

04各種數(shù)值解法的介紹04各種數(shù)值解法的介紹各種數(shù)值解法的介紹

1.有限差分法2.有限元法3.邊界元法4.有限體積法04各種數(shù)值解法的介紹有限差分法定義:力學(xué)中將求解微分方程問題轉(zhuǎn)化為求解差分方程的一種數(shù)值解法。有限差分法：采用的是微分方程和積分微分方程數(shù)值解的方法?；舅枷胧前堰B續(xù)的定解區(qū)域用有限個離散點構(gòu)成的網(wǎng)格來代替,這些離散點稱作網(wǎng)格的節(jié)點；把連續(xù)定解區(qū)域上的連續(xù)變量的函數(shù)用在網(wǎng)格上定義的離散變量函數(shù)來近似;把原方程和定解條件中的微商用差商來近似,積分用積分和來近似,于是原微分方程和定解條件就近似地代之以代數(shù)方程組,即有限差分方程組,解此方程組就可以得到原問題在離散點上的近似解。然后再利用插值方法便可以從離散解得到定解問題在整個區(qū)域上的近似解。04各種數(shù)值解法的介紹有限元法定義:一種將連續(xù)體離散化為若干個有限大小的單元體的集合,以求解連續(xù)體力學(xué)問題的數(shù)值方法。有限元法：是將連續(xù)的求解域離散為一組單元的組合體,用在每個單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來分片的表示求解域上待求的未知場函數(shù),近似函數(shù)通常由未知場函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在單元各節(jié)點的數(shù)值插值函數(shù)來表達。從而使一個連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。有限元法有限元法的運用步驟:(1)剖分。將待解區(qū)域進行分割,離散成有限個元素的集合.元素(單元)的形狀原則上是任意的.二維問題一般采用三角形單元或矩形單元,三維空間可采用四面體或多面體等,每個單元的頂點稱為節(jié)點(或結(jié)點)。(2)單元分析。進行分片插值,即將分割單元中任意點的未知函數(shù)用該分割單元中形狀函數(shù)及離散網(wǎng)格點上的函數(shù)值展開,即建立一個線性插值函數(shù)。(3)求解近似變分方程。用有限個單元將連續(xù)體離散化,通過對有限個單元作分片插值求解各種力學(xué)、物理問題的一種數(shù)值方法。有限元法把連續(xù)體離散成有限個單元:桿系結(jié)構(gòu)的單元是每一個桿件;連續(xù)體的單元是各種形狀(如三角形、四邊形、六面體等)的單元體。每個單元的場函數(shù)是只包含有限個待定節(jié)點參量的簡單場函數(shù),這些單元場函數(shù)的集合就能近似代表整個連續(xù)體的場函數(shù)。根據(jù)能量方程或加權(quán)殘量方程可建立有限個待定參量的代數(shù)方程組,求解此離散方程組就得到有限元法的數(shù)值解。有限元法已被用于求解線性和非線性問題,并建立了各種有限元模型,如協(xié)調(diào)、不協(xié)調(diào)、混合、雜交、擬協(xié)調(diào)元等。有限元法十分有效、通用性強、應(yīng)用廣泛,已有許多大型或?qū)Ｓ贸绦蛳到y(tǒng)供工程設(shè)計使用。結(jié)合計算機輔助設(shè)計技術(shù),有限元法也被用于計算機輔助制造中。0404各種數(shù)值解法的介紹邊界元法

定義:將力學(xué)中的微分方程的定解問題化為邊界積分方程的定解問題,再通過邊界的離散化與待定函數(shù)的分片插值求解的數(shù)值方法04各種數(shù)值解法的介紹邊界元法：是一種繼有限元法之后發(fā)展起來的一種新數(shù)值方法,與有限元法在連續(xù)體域內(nèi)劃分單元的基本思想不同,邊界元法是只在定義域的邊界上劃分單元,用滿足控制方程的函數(shù)去逼近邊界條件。所以邊界元法與有限元相比,具有單元個數(shù)少數(shù)據(jù)準備簡單等優(yōu)點，但用邊界元法解非線性問題時,遇到同非線性項相對應(yīng)的區(qū)域積分,這種積分在奇異點附近有強烈的奇異性,使求解遇到困難。邊界元法是在有限元法之后發(fā)展起來的一種較精確有效的工程數(shù)值分析方法。又稱邊界積分方程邊界元法。它以定義在邊界上的邊界積分方程為控制方程,通過對邊界分元插值離散,化為代數(shù)方程組求解。它與基于偏微分方程的區(qū)域解法相比,由于降低了問題的維數(shù),而顯著降低了自由度數(shù),邊界的離散也比區(qū)域的離散方便得多,可用較簡單的單元準確地模擬邊界形狀,最終得到階數(shù)較低的線性代數(shù)方程組。又由于它利用微分算子的解析的基本解作為邊界積分方程的核函數(shù),而具有解析與數(shù)值相結(jié)合的特點,通常具有較高的精度。特別是對于邊界變量變化梯度較大的問題,如應(yīng)力集中問題,或邊界變量出現(xiàn)奇異性的裂紋問題,邊界元法被公認為比有限元法更加精確高效。由于邊界元法所利用的微分算子基本解能自動滿足無限遠處的條件,因而邊界元法特別便于處理無限域以及半無限域問題,邊界元法的主要缺點是它的應(yīng)用范圍以存在相應(yīng)微分算子的基本解為前提,對于非均勻介質(zhì)等問題難以應(yīng)用,故其適用范圍遠不如有限元法廣泛,而且通常由它建立的求解代數(shù)方程組的系數(shù)陣是非對稱滿陣,對解題規(guī)模產(chǎn)生較大限制。對一般的非線性問題,由于在方程中會出現(xiàn)域內(nèi)積分項,從而部分抵消了邊界元法只要離散邊界的優(yōu)點。邊界元法

04有限體積法定義:有限體積法又稱為控制體積法有限體積法：將計算區(qū)域劃分為一系列不重復(fù)的控制體積,并使每個網(wǎng)格點周圍有一個控制體積:將待解的微分方程對每一個控制體積積分,便得出一組離散方程,其中的未知數(shù)是網(wǎng)格點上的因變量的數(shù)值,為了求出控制體積的積分,必須假定值在網(wǎng)格點之間的變化規(guī)律,即假設(shè)值的分段的分布的分布剖面,從積分區(qū)域的選取方法看來,有限體積法屬于加權(quán)剩余法中的子區(qū)域法:從未知解的近似方法看來,有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。簡言之,子區(qū)域法屬于有限體積發(fā)的基本方法。有限體積法的基本思路易于理解,并能得出直接的物理解釋,離散方程的物理意義,就是因變量在有限大小的控制體積中的守恒原理,如同微分方程表示因變量在無限小的控制體積中的守恒原理一樣。有限體積法得出的離散方程,要求因變量的積分守恒對任意一組控制體積都得到滿足,對整個計算區(qū)域,自然也得到滿足。這是有限體積法吸引人的優(yōu)點。有一些離散方法,例如有限差分法,僅當網(wǎng)格極其細密時,離散方程才滿足積分守恒:而有限體積法即使在粗網(wǎng)格情況下,也顯示出準確的積分守恒:就離散方法而言,有限體積法可視作有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網(wǎng)格點之間的變化規(guī)律(既插值函數(shù)),并將其作為近似解。有限差分法只考慮網(wǎng)格點上的數(shù)值而不考慮值在網(wǎng)格點之間如何變化,有限體積法只尋求的結(jié)點值,這與有限差分法相類似:但有限體積法在尋求控制體積的積分時,必須假定值在網(wǎng)格點之間的分布,這又與有限單元法相類似在有限