河南省許昌市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期末理科數(shù)學(xué)試題（含答案解析）

XCS2022—2023學(xué)年第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高二理科數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線過，且，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用，求出直線斜率，利用可得斜率乘積為，即可求解.【詳解】設(shè)直線斜率為，直線斜率為，因?yàn)橹本€過，，所以斜率為，因?yàn)?，所以，所以，即直線的斜率為.故選：B.2.拋物線上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為，則M到y(tǒng)軸距離為A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由拋物線定義可知，拋物線上任一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離是相等的，已知，則M到準(zhǔn)線的距離也為，即點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求出x．【詳解】∵拋物線，拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，由拋物線定義可知，，∴.故選：A.3.已知空間向量，，且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】A選項(xiàng)，設(shè)，得到，無解，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，設(shè)，得到方程組，無解，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，先得到，設(shè)，得到方程組，無解，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，計(jì)算出，得到，得到三點(diǎn)共線.【詳解】A選項(xiàng)，設(shè)，即，故，無解，三點(diǎn)不共線，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，設(shè)，即，故，無解，三點(diǎn)不共線，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，設(shè)，即，故，無解，三點(diǎn)不共線，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，，由于，故三點(diǎn)共線，D正確.故選：D4.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A.為函數(shù)的零點(diǎn)B.是函數(shù)的最小值C.函數(shù)在上單調(diào)遞減D.為函數(shù)的極大值點(diǎn)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)的圖象，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，極值點(diǎn)和極值，以及零點(diǎn)的概念，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由的圖象，可得：當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，A中，是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn)，不一定是函數(shù)的零點(diǎn)，所以A不正確；B中，是函數(shù)一個(gè)極小值，不一定是函數(shù)的最小值，所以B錯(cuò)誤；C中，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以C正確；D中，為函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以D錯(cuò)誤.故選：C.5.以點(diǎn)為圓心，且與軸相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題中條件，得到圓的半徑，進(jìn)而可得圓的方程.【詳解】以點(diǎn)為圓心，且與軸相切的圓的半徑為，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：C.6.已知下列命題①已知向量，則；②已知向量，則；③已知向量共線，則與共線；④已知是平面內(nèi)的兩條相交直線.若，則.其中正確的命題的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)判斷①；根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)判斷②；根據(jù)向量共線的定理判斷③；根據(jù)線面垂直的判定定理判斷④.【詳解】根據(jù)向量的運(yùn)算性質(zhì)可知，，故①正確；根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)，，故②正確；若向量共線，則，從而，故與共線，故③正確；根據(jù)線面垂直的判定定理，若是平面內(nèi)的兩條相交直線，，則，故④正確.故選：D.7.已知為橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若，則（）A.8 B.6 C.4 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)即可求解.【詳解】由，即，可得，根據(jù)橢圓的定義，所以.故選：B.8.已知數(shù)列滿足，，(，，)，則“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)等差數(shù)列定義證明充分性成立，再舉反例說明必要性不成立.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列為公差為1的等差數(shù)列，即充分性成立；，所以若數(shù)列為等差數(shù)列，則或，即必要性不成立，綜上，“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的充分不必要條件，故選A【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列定義以及充要關(guān)系判定，考查基本分析化簡(jiǎn)求證能力，屬中檔題.9.已知?jiǎng)訄A的圓心在拋物線上，且與直線相切，則此圓恒過定點(diǎn)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，根據(jù)拋物線的性質(zhì)和圓的性質(zhì)得出圓的半徑為圓心到直線的距離，對(duì)于圓心到拋物線的焦點(diǎn)的距離，故拋物線的焦點(diǎn)在圓上．【詳解】解：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，焦點(diǎn)為．設(shè)動(dòng)圓圓心為，則到的距離．動(dòng)圓與直線相切，到直線的距離為動(dòng)圓半徑，即動(dòng)圓半徑為，即為圓上的點(diǎn)．此圓恒過定點(diǎn)．故選：A．10.在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，A為直線l：上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，，以AB為徑的圓C與直線交于另一點(diǎn).若，則A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A. B.3 C.3或 D.2【答案】B【解析】【分析】由已知得，求得的方程，進(jìn)而得，設(shè)，則，從而根據(jù)平面向量的數(shù)量積求出結(jié)果.【詳解】如圖，由已知得，則，所以方程為．由解得．設(shè)，則，從而．所以，解得或．又，所以，即點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為3．故選：B．11.如圖，作一個(gè)邊長(zhǎng)為正方形，再將各邊的中點(diǎn)相連作第二個(gè)正方形，依此類推，共作了個(gè)正方形，設(shè)這個(gè)正方形的面積之和為，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)每個(gè)正方形邊長(zhǎng)都是相鄰前一個(gè)的可確定各正方形面積構(gòu)成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意知：從第個(gè)正方形開始，之后每個(gè)正方形邊長(zhǎng)都是相鄰的前一個(gè)的，則從第個(gè)正方形開始，每個(gè)正方形面積都是相鄰的前一個(gè)的，將各正方形面積依次排成一列，可得等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比，.故選：C.12.雙曲線具有光學(xué)性質(zhì)，從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過雙曲線鏡面反射，其反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).若雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，從發(fā)出的光線經(jīng)過圖中的A，B兩點(diǎn)反射后，分別經(jīng)過點(diǎn)C和D，且，則E的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合題意作出圖形，然后結(jié)合雙曲線的定義表示出，進(jìn)而利用勾股定理可得的關(guān)系，從而可求出結(jié)果.詳解】由題意知延長(zhǎng)則必過點(diǎn),如圖：由雙曲線的定義知，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)，則，因此，從而由得，所以，則，，，又因?yàn)椋?，即，即，故選：B.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.拋物線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值是________.【答案】【解析】【分析】設(shè)拋物線一點(diǎn)點(diǎn)，利用點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為，由于，即，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，所以，即拋物線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值為.故答案為：.14.已知平面的法向量為，點(diǎn)，，且，，則點(diǎn)到平面的距離為______．【答案】【解析】【分析】直接由點(diǎn)面距離的向量公式即可求解.【詳解】解：依題意，且平面的法向量為，所以由點(diǎn)到面距離的向量公式可得，點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.15.在數(shù)列中，已知，則該數(shù)列前2023項(xiàng)的和__________.【答案】2023【解析】【分析】由題目條件分析可知數(shù)列為等差數(shù)列，然后利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式、結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】由可知，數(shù)列為等差數(shù)列，所以，所以.故答案為：2023.16.函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合最小值的定義即可求解.【詳解】，令得，時(shí)，時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，若函數(shù)在上有最小值，則其最小值必為，則必有且，即且，則且，解得，故答案為：.三、解答題（第17題10分，第18-22題12分，共70分）17.已知的頂點(diǎn)，邊上的高線所在的方程為，角的角平分線交邊于點(diǎn)，，所在的直線方程為.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用垂直可得答案；（2）根據(jù)，及的方程可得C的坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)斜式方程可得答案.【小問1詳解】由條件設(shè)，因?yàn)樗诘闹本€和垂直，∴，∴.∴，.【小問2詳解】設(shè)，，因?yàn)?，∴，?∴，，因?yàn)樵?，?∴，∴，∴的方程為，即.18.已知為等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，是首項(xiàng)為3且公比大于0的等比數(shù)列，，，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可計(jì)算得到公比的值，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)和求和公式，即可解出首項(xiàng)和公差的值，即可求得和的通項(xiàng)公式；（2）先根據(jù)第（1）題的結(jié)論得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后運(yùn)用錯(cuò)位相減法求出前項(xiàng)和．【小問1詳解】由題意，設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則．則由可得，，解得或（舍去），所以，則，.由可得，由可得，，又，所以.所以，，所以，所以.【小問2詳解】由（1）知，，，所以.所以，，，兩式作差得，，所以，.19.如圖，圓錐的高為是底面圓的直徑，為圓錐的母線，四邊形是底面圓的內(nèi)接等腰梯形，且，點(diǎn)在母線上，且．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接，可證出菱形中，結(jié)合可證出平面，再由平面與平面垂直判定定理即可證出平面平面；（2）取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，使用空間向量進(jìn)行求解.【小問1詳解】連接，由已知，，且，∴四邊形為菱形，∴，在圓錐中，∵平面，平面，∴．∵，平面，平面，∴平面．又∵平面，∴平面平面．【小問2詳解】取中點(diǎn)，易知平面，，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∵，∴，∴，∴，．設(shè)平面的一個(gè)法向量為．因?yàn)樗?，令，則，，∴，易知平面即平面，∴平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面的夾角為，則，∴平面與平面的夾角的余弦值為．20.已知橢圓：，為橢圓的右焦點(diǎn)，三點(diǎn)，，中恰有兩點(diǎn)在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)為橢圓的左右端點(diǎn)，過點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)（不同于），求證：直線與直線的交點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng)，并求出該直線的方程.【答案】（1）（2）證明見解析，【解析】【分析】（1）由對(duì)稱性得到點(diǎn)，在橢圓上，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到方程組，求出，，求出橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，設(shè)，，，得到兩根之和，兩根之積，由和共線得到方程組，聯(lián)立后得到，求出，得到交點(diǎn)在定直線上，并求出該直線的方程.【小問1詳解】因?yàn)闉闄E圓的右焦點(diǎn)，所以①,由對(duì)稱性得，點(diǎn)，在橢圓上，代入得②,聯(lián)立①②解得，，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】由條件知直線與直線不重合，故直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，設(shè)，，，則，，，由（1）可得，，由共線得：③，由共線得：④，由③÷④消去并整理得，，即，所以，綜上所述，直線與直線的交點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng).【點(diǎn)睛】定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；（2）直接推理計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.21.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作與軸垂直的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，的面積為12，拋物線以雙曲線的右頂點(diǎn)為焦點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）如圖，點(diǎn)為拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，求證：直線過定點(diǎn).【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）設(shè)，令，代入的方程得，結(jié)合三角形的面積求出，即可得出，從而得解；（2）由（1）知，可得的坐標(biāo)，直線的方程為，代入拋物線的方程可得的坐標(biāo)，進(jìn)而得的方程，求解即可.小問1詳解】設(shè)，則，令，代入的方程，得.所以，所以，故，即.所以拋物線的方程為.【小問2詳解】由（1）知，則.直線的方程為，代入拋物線的方程有.當(dāng)時(shí)，，所以直線的方程為，即.所以此時(shí)直線過定點(diǎn).當(dāng)時(shí)，直線的方程為，此時(shí)仍過點(diǎn)，綜上，直