專題09 二次函數(shù)中的定值與定點壓軸題全梳理（解析版）（人教版）

專題09二次函數(shù)中的定值與定點壓軸題全梳理類型一、定值問題例．如圖1，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點．點是第二象限內(nèi)拋物線上的一個動點，設點的橫坐標為，過點作直線軸于點，作直線交于點．

(1)求該拋物線的解析式；(2)如圖1，當是以為底邊的等腰三角形時，求點的坐標；(3)如圖2，連接，過點作直線，交軸于點，連接．試探究：在點運動的過程中，是否存在點，使得，若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)點的坐標為或【分析】（1）待定系數(shù)法求拋物線解析式即可；（2）設直線的解析式為，待定系數(shù)法求得直線的解析式為：；，則，根據(jù)兩點間的距離公式可得，，結合題意可得，建立方程求解可得，即可求解；（3）設直線的解析式為，待定系數(shù)法求得直線的解析式為：；設直線的解析式為：，將點代入求得直線的解析式為：，得到，根據(jù)兩點間的距離公式可得，，結合題意列方程求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，將，，代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為：．（2）解：設直線的解析式為，將，代入得：，解得：，∴直線的解析式為：；設，則，∴，又∵，∴，∵是以為底邊的等腰三角形，∴，∴，即，整理得：，解得：（舍去），，當時，故．（3）解：設直線的解析式為，將，代入得：，解得：，∴直線的解析式為：；∵直線平行于直線，故設直線的解析式為：，將代入得：，∴直線的解析式為：，將代入，得：，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，即，∴；當時，整理得：，解得（舍去），；當時，，故；當時，整理得：，解得：（舍去），；當時，，故；綜上，點的坐標為或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式，求一次函數(shù)解析式，兩點間的距離公式，熟練掌握兩點間的距離公式，列方程求解是解題的關鍵．【變式訓練1】已知拋物線的頂點為，與軸交于．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，過頂點作軸于點，交直線于，點、分別在拋物線和軸上，若為，且以、、、為頂點的四邊形為平行四邊形，求的值；(3)如圖2，將拋物線向右平移一個單位得到拋物線，直線與軸交于點，與拋物線交于、兩個不同點，分別過、兩點作軸的垂線，垂足分別為、，當?shù)闹翟谌≈捣秶鷥?nèi)發(fā)生變化時，式子的值是否發(fā)生變化？若不變，請求其值．（解此題時不用相似知識）【答案】(1)(2)，或(3)【分析】（1）設拋物線的解析式為：，把點的坐標代入求解a即可；（2）分兩種情況討論：①當為邊時，②當為對角線時，再結合平行四邊形的性質(zhì)建立方程求解即可；（3）如圖，先求解，由拋物線向右平移一個單位得到拋物線的解析式為：，聯(lián)立方程組：，可得，，可得，，從而可得答案．【詳解】（1）解：設拋物線的解析式為：，把點的坐標代入得，，故拋物線的解析式為：；（2）當為邊時，如圖，∵四邊形為平行四邊形，∴，，

∵點，∴點，∴，，令，∴，解得：，或，點，設直線為，∴，解得：，∴直線的解析式為：，當時，，點，，由平行四邊形性質(zhì)可得：，∴，解得：，或；當為對角線時，記的中點為，如圖，∵，，∴，

設，而，∴，∴，∴，∴方程無解，則原方程組無解．綜上：，或；（3）如圖，∵，∴當時，，∴，

拋物線向右平移一個單位得到拋物線的解析式為：，聯(lián)立方程組：，解得：，，∴，，∵軸，軸，，．∴，，．【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，求解拋物線與直線的交點坐標，平行四邊形的性質(zhì)，一元二次方程的解法，本題難度較大，屬于壓軸題．【變式訓練2】如圖1，已知拋物線與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點D．（1）求直線BD的解析式；（2）P為拋物線上一點，當點Р到直線BD的距離為時，求點P的坐標；（3）如圖2，直線交拋物線與M，N兩點，C為拋物線上一點，當時，請?zhí)骄奎cC到MN的距離是否為定值．【答案】（1）；（2）或；（3）C到MN的距離為定值【分析】（1）先利用拋物線的解析式求解坐標，再利用待定系數(shù)法求解的解析式即可；（2）如圖，連接延長至使可得證明可得到的距離為：過作的平行線，交拋物線于求解為：聯(lián)立解方程組可得答案；（3）如圖，過作于證明可得聯(lián)立：可得設則可得又可得解方程并檢驗可得結論．【詳解】解：（1）令則令設為解得：直線為：（2）如圖，連接延長至使由同理：到的距離為：過作的平行線，交拋物線于由中點坐標公式可得：設為為：解得：或（3）如圖，過作于聯(lián)立：解得：設則檢驗：不合題意舍去，取為定值．所以點C到MN的距離為定值．【點睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解一次函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與二次函數(shù)的交點坐標問題，相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的解法，掌握以上知識是解題的關鍵．【變式訓練3】如圖1，拋物線，交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，F(xiàn)為拋物線頂點，直線垂直于x軸于點E，當時，．(1)求拋物線的表達式；(2)點P是線段上的動點（除B、E外），過點P作x軸的垂線交拋物線于點D．①當點P的橫坐標為2時，求四邊形的面積；②如圖2，直線分別與拋物線對稱軸交于M、N兩點．試問，是否為定值？如果是，請求出這個定值：如果不是，請說明理由．【答案】(1)；(2)①4；②是，定值為8，理由見解析．【分析】（1）由當時，，可知，是的兩根，代入方程可得，，從而得解；（2）①把代入拋物線解析式可得點坐標，再將代入拋物線解析式可得點坐標，從而得知線段軸，利用配方法可知點坐標，從而利用求面積；②設，，用待定系數(shù)法求出直線與直線的解析式，再令得，，從而得出，的長，從而得到是定值8．【詳解】（1）當時，，，是的兩根，，，，解得：，拋物線的表達式為：；（2）①把代入得：，．又當，，，線段軸．，，；②設，，直線，，因此可得：或，解得：或，直線，．令得，，，，．【點睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，涉及四邊形的面積求法，待定系數(shù)法等知識，掌握待定系數(shù)法和面積求法是解題的關鍵．類型二、定點問題例．如圖，拋物線與x軸的交點為A，B兩點，與y軸的交于點C，．

(1)求拋物線的解析式；(2)P為拋物線在第四象限上的一點，直線與拋物線的對稱軸相交于點M，若是以為底邊的等腰三角形，求點P的坐標；(3)P是該拋物線上位于對稱軸右側的動點，Q、N是拋物線對稱軸上兩點，．求證：存在確定的點N，使直線與拋物線只有唯一交點P．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）由題意可得點C的坐標為，即，進而得到，最后把．A兩點的坐標代入拋物線求出c的值即可；（2）如圖：設拋物線的對稱軸交x軸于點Q，過點C作于點N，連接交于點M．則，再求出M點的坐標；直線PC的解析式為．再與聯(lián)立即可解答；（3）設，再求得直線解析式為，則，如圖：過點P作于點M，則．設，然后再運用勾股定理即可解答．【詳解】（1）解：當時，，，．，，．，解得，．∴．（2）解：如圖：設拋物線的對稱軸交x軸于點Q，過點C作于點N，連接交于點M．則．

∵直線是，，，，．，．解得：．．設直線的解析式為，，在直線上，直線PC的解析式為．聯(lián)立，得，，解得：，．當時，．．（3）解：設，設直線解析式為：，聯(lián)立，．唯一交點，．，，，，直線PQ解析式為：．．過點P作于點M，則．

設，，，，，．令，則．，，．存在點，當時，PQ與拋物線有唯一交點P．【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式、等腰三角形的性質(zhì)、交點標特征等知識點，正確作出輔助線以及數(shù)形結合思想是解答本題的關鍵．【變式訓練1】如圖，拋物線與軸分別相交于，兩點（點在點的左側），是的中點，平行四邊形的頂點，均在拋物線上．

(1)直接寫出點的坐標；(2)如圖（1），若點的橫坐標是，點在第二象限，平行四邊形的面積是13，①求直線的解析式；②求點的坐標；(3)如圖（2），若點在拋物線上，連接，求證：直線過一定點．【答案】(1)(2)①；②(3)見解析【分析】（1）令，求出點，兩點坐標，根據(jù)是的中點，即可求解；（2）①先求出點，即可求得直線的解析式，②過點作軸交直線于點，連接，設點，則點，可得，再由平行四邊形的面積是13，可得，再根據(jù)，列出關于的方程，求出點的坐標，即可求解；（3）設直線的解析式為，聯(lián)立，可得，從而得到，再由平行四邊形的性質(zhì)，可得，，再由點在拋物線上，可得，從而得到直線的解析式為，即可求解．【詳解】（1）解：當時，則，解得：，，，，是的中點，；（2）解：①點在拋物線上，，點，設直線的解析式為，把，代入得：，解得，直線的解析式為，②如圖（1），過點作軸交直線于點，連接，

設點，則點，，平行四邊形的面積是13，，，，解得：或（舍去），點，點先向右平移3個單位，再向上平移2個單位到達點，點先向右平移3個單位，再向上平移2個單位到達點；（3）解：設直線的解析式為，聯(lián)立得：，整理得：，，四邊形為平行四邊形，，，，，點在拋物線上，，解得：，直線的解析式為，直線過定點．

【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結合思想解答是解題的關鍵．【變式訓練2】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，直線AB與拋物線相交于A、B兩點．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，若直線AB的解析式為，且的面積為35，求k的值；(3)如圖2，若，則直線AB必經(jīng)過一個定點C，求點C的坐標．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）把代入函數(shù)解析式即可得到答案；（2）先求出，可得，結合，可得方程，結合，即可求解；（3）設，，過點P作直線軸，分別過A、B兩點作PN的垂線，垂足分別為N、M，由可得，聯(lián)立方程組，可得，，進而即可求解.【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，∴，解得，∴拋物線的解析式為：；（2）如圖1，已知直線AB的解析式為，令，則，∴直線AB過定點，∵，∴軸，，∴，∴，令，整理得，∴，，∴，整理得，解得或；（3）設，，如圖2，過點P作直線軸，分別過A、B兩點作PN的垂線，垂足分別為N、M，設直線AB的解析式為，∵，，∴，∴，即，∴，∴①，聯(lián)立方程組，∴，∴，②，將②代入①，得化簡，得，∴直線AB的解析式為，即，∴直線AB經(jīng)過定點．

【點睛】本題是二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，掌握待定系數(shù)法，把函數(shù)問題化為一元二次方程問題是關鍵.【變式訓練3】已知拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，，且的面積為6，

(1)求拋物線的對稱軸和解析式；(2)如圖1，若，為拋物線上兩點，以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，設點橫坐標為，求的值；(3)如圖2，過定點的直線交拋物線于，兩點，過點的直線與拋物線交于點，求證：直線必過定點．【答案】(1)，(2)或或或(3)直線必過定點，證明見解析【分析】（1）先求得拋物線的對稱軸方程，利用對稱性和三角形的面積公式求得點C坐標，再利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；（2）設，，分為對角線、為對角線、為對角線三種情況，利用平行四邊形的對角線互相平分和中點坐標公式分別求解即可；（3）設，，則直線的解析式為，由直線經(jīng)過定點則，再由直線經(jīng)過點，與拋物線交于點可得直線的解析式為，進而可求得，再利用待定系數(shù)法求得直線解析式為，進而可知當時，，即直線必過定點．【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸為直線，，∴，則，∵的面積為6，∴，則，∴，將和代入中，得，解得，∴拋物線的解析式為；（2）解：由題意，設，，有三種情況：當為對角線時，則，∴，將F坐標代入拋物線解析中，得，解得；當為對角線時，則，∴，將F坐標代入拋物線解析中，得，解得；當為對角線時，則，∴，將F坐標代入拋物線解析中，得，解得，；綜上，滿足條件得m值為或或或；（3）解：設，，設直線的解析式為，由得，∴，，則，，∴直線的解析式為，∵直線經(jīng)過定點，∴，則，∵直線經(jīng)過點，與拋物線交于點，∴，則，∴直線的解析式為，由得，，∴，設直線解析式為，則，解得，∴直線解析式為，即，當時，，∴直線必過定點．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)、中點坐標公式、拋物線與一次函數(shù)的交點問題，直線恒過定點問題、解一元二次方程等知識，熟練掌握相關知識的聯(lián)系與運用，利用待定系數(shù)法、數(shù)形結合和分類討論思想求解是解答的關鍵．課后訓練1．如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線與x軸交于點A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，且．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖①，若點P為第一象限的拋物線上一點，直線交x軸于點D，且平分，求點P的坐標；(3)如圖②，點Q為第四象限的拋物線上一點，直線BQ交y軸于點M，過點B作直線，交y軸于點N，當Q點運動時，線段MN的長度是否會變化？若不變，請求出其長度；若變化，請求出其長度的變化范圍．【答案】(1)(2)(3)線段的長度不會改變，線段的長度為12【分析】（1）將代入中，得，令，即，求出點的坐標，進而求出的值；（2）設交x軸于點D，過點D作于點E，利用角平分線的性質(zhì)可得，證明是等腰直角三角形，可得，然后求出點D的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線解析式，然后把直線解析式和拋物線解析式聯(lián)立方程組即可求出點P的坐標；（3）設，分別求出直線、直線的解析式，根據(jù)可得的解析式，可得出、的坐標，即可得線段的長度．【詳解】（1）解：由圖象，可知，將代入中，得，點，，令，即，解得，，點A在點B的左側，點，，，又，，解得，拋物線的解析式為；（2）解：設交x軸于點D，過點D作于點E，

，平分，，，又，，，，，又，，解得，，設直線解析式為，則，解得，∴，聯(lián)立方程組，解得（舍去），，∴點P的坐標為；（3）解：設，，設直線的解析式為，，解得，直線的解析式為，當時，，同理得：直線的解析式為，∵，設的解析式為，，，解得，的解析式為，當是，，，線段的長度為，線段的長度不會改變，線段的長度為12．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題．考查了運用待定系數(shù)法求直線及拋物線的解析式、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、求直線與拋物線的交點坐標等知識，掌握數(shù)形結合的思想把代數(shù)和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度是解題的關鍵．2．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)的圖像與x軸相交于點A、B，與y軸相交于點C，其中B點的坐標為，點M為拋物線上的一個動點．

(1)二次函數(shù)圖像的對稱軸為直線．①求二次函數(shù)的表達式；②若點M與點C關于對稱軸對稱，則點M的坐標是________；③在②的條件下，連接，在上任意取一點P，過點P作x軸的平行線，與拋物線對稱軸左側的圖像交于點Q，求線段的最大值；(2)過點M作的平行線，交拋物線于點N，設點M、N的橫坐標為m、n，在點M運動的過程中，試問的值是否會發(fā)生改變？若改變，請說明理由；若不變，請求出的值．【答案】(1)①；②；③(2)m+n的值為定值3【分析】（1）①根據(jù)點B的坐標和二次函數(shù)圖象的對稱軸即可求出二次函數(shù)解析式；②根據(jù)二次函數(shù)的對稱性求解即可；③設，求出直線的解析式，從而求出，即可求出的長與t的函數(shù)關系式，然后利用二次函數(shù)求最值即可；（2）將代入二次函數(shù)解析式中，求出二次函數(shù)解析式即可求出點C的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)設出直線的解析式，然后聯(lián)立方程結合一元二次方程根與系數(shù)的關系即可得出結論．【詳解】（1）①由題意，解得，∴二次函數(shù)的解析式為．②∵對稱軸為直線，∴；③如圖，

∵，∴的表達式為設，∵軸∴點P的縱坐標為∴將代入得，∴∴∴的最大值為；（2）結論：的值為定值3．理由：如圖，

將代入二次函數(shù)解析式中，得解得：∴二次函數(shù)解析式為∴，設直線的解析式為，把代入得到：，∴直線的解析式為，∵，∴可以假設直線的解析式為，由，消去y得到：，∴，∵點M、N的橫坐標為m、n，∴．∴為定值，．【點睛】此題考查的是二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題型，掌握利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式、利用二次函數(shù)求最值、一元二次方程根與系數(shù)的關系是解決此題的關鍵．3．如圖，直線：交軸于點，交軸于點，點在軸上，，經(jīng)過點，的拋物線：交直線于另一點．

(1)求拋物線的解析式；(2)點為直線上方拋物線上一點，過點作軸于點，交于點．當時，求點的坐標；(3)拋物線與軸的另一個交點為，過點的任意直線（不與軸平行）與拋物線交于點、，直線、分別交軸于點、，是否存在的值使得與的積為定值？若存在，求的值，若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）在中，可得，，，即知，用待定系數(shù)法得拋物線的解析式為；（2）設，則，，可得，，由，得，即可解得；（3）由得，設，，直線的解析式為，可得，，同理得，可得，從而，設直線的解析式為，有，根據(jù)韋達定理得，，可求得，故當時，．【詳解】（1）解：在中，令得，令得，，，，，，，，拋物線經(jīng)過，，，解得，拋物線的解析式為；（2）設，則，，，，，，解得或（與重合，舍去），；（3）存在的值使得與的積為定值，理由如下：

在中，令得，解得或，，設，，設直線的解析式為，將點代入，得，直線的解析式為，令，則，，，設直線的解析式為，點代入，得，直線的解析式為，令，則，，，，設直線的解析式為，聯(lián)立方程組，，，，，當時，為定值2，當時，．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法，函數(shù)圖象上點坐標的特征，二次函數(shù)與一元二次方程的關系等知識，解題的關鍵是掌握二次函數(shù)相關性質(zhì)，熟練應用二次函數(shù)與一元二次方程的關系解決問題．4．如圖，拋物線交軸于，兩點（在的左邊）與軸交于點．

(1)如圖1，已知，且點的坐標為①求拋物線的解析式；②P為第四象限拋物線上一點，交軸于點，求面積的最大值及此時點的坐標．(2)如圖，為軸正半軸上一點，過點作交拋物線于，兩點（在的左邊），直線，分別交軸于，兩點，求的值．【答案】(1)①；②；(2)【分析】（1）①根據(jù)題意得出，待定系數(shù)法求解析式即可求解；②設，又，求得直線的解析式為，直線的解析式為，根據(jù)一次函數(shù)的平移的性質(zhì)，得出，進而根據(jù)三角形的面積公式表示出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；（2）設的橫坐標分別為，直線的解析式為，消去，得出，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系求得，則直線的解析式為，同理求得直線的解析式為：，直線的解析式為：，直線的解析式為：，進而求得的坐標，即可求解．【詳解】（1）解：①由，當，解得：，∴，∵，∴，將，代入∴解得：，∴；②設，又設直線的解析式為，即，解得：，∴直線的解析式為，∵，∴