新教材高中數(shù)學(xué)第三章函數(shù)3.1.1函數(shù)及其表示方法(第2課時(shí))函數(shù)的表示方法教師用書新人教B版必修第一冊(cè)

PAGE第2課時(shí)函數(shù)的表示方法考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)函數(shù)的三種表示方法了解函數(shù)的三種表示法及各自的優(yōu)缺點(diǎn)，會(huì)根據(jù)不同需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎竞瘮?shù)數(shù)學(xué)抽象求函數(shù)的解析式掌握求函數(shù)解析式的常用方法數(shù)學(xué)運(yùn)算函數(shù)圖像的作法及應(yīng)用會(huì)作函數(shù)的圖像并從圖像上獲取有用信息直觀想象問(wèn)題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P89的內(nèi)容，思考以下問(wèn)題：1．函數(shù)的表示方法有哪幾種？2．函數(shù)的表示方法有什么特點(diǎn)？函數(shù)的表示法■名師點(diǎn)撥(1)列表法：采用列表法的前提是函數(shù)值對(duì)應(yīng)清楚，選取的自變量要有代表性．(2)圖像法：圖像既可以是連續(xù)的曲線，也可以是離散的點(diǎn)．(3)解析法：利用解析法表示函數(shù)的前提是變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系明確，且利用解析法表示函數(shù)時(shí)要注意注明其定義域．判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)任何一個(gè)函數(shù)都可以用解析法表示．()(2)函數(shù)的圖像一定是定義區(qū)間上一條連續(xù)不斷的曲線．()答案：(1)×(2)×已知y與x成反比，且當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式為()A．y＝eq\f(1,x) B．y＝－xC．y＝eq\f(2,x) D．y＝eq\f(x,2)解析：選C.設(shè)y＝eq\f(k,x)，由題意得1＝eq\f(k,2)，解得k＝2，所以y＝eq\f(2,x).已知函數(shù)f(x)由下表給出，則f(f(3))＝________．x1234f(x)3241解析：由題設(shè)給出的表知f(3)＝4，則f(f(3))＝f(4)＝1.答案：1函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，則f(x)的定義域是________，值域是________．答案：[－1，0)∪(0，2][－1，1)函數(shù)的三種表示方法某商場(chǎng)新進(jìn)了10臺(tái)彩電，每臺(tái)售價(jià)3000元，試求售出臺(tái)數(shù)x(x為正整數(shù))與收款數(shù)y之間的函數(shù)關(guān)系，分別用列表法、圖像法、解析法表示出來(lái)．【解】(1)列表法：x/臺(tái)12345678910y/元30006000900012000150001800021000240002700030000(2)圖像法：如圖所示．(3)解析法：y＝3000x，x∈{1，2，3，…，10}．eq\a\vs4\al()(1)函數(shù)三種表示方法的選擇解析法、圖像法和列表法分別從三個(gè)不同的角度刻畫了自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系．采用解析法的前提是變量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系明確，采用圖像法的前提是函數(shù)的變化規(guī)律清晰，采用列表法的前提是定義域內(nèi)自變量的個(gè)數(shù)較少．(2)應(yīng)用函數(shù)三種表示方法應(yīng)注意以下三點(diǎn)①解析法必須注明函數(shù)的定義域；②列表法必須能清楚表明自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系；③圖像法必須清楚函數(shù)圖像是“點(diǎn)”還是“線”．1．某學(xué)生離家去學(xué)校，一開始跑步前進(jìn)，跑累了再走余下的路程．下列圖中縱軸表示離校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時(shí)間，則較符合該學(xué)生走法的是()解析：選D.由題意可知，一開始速度較快，后來(lái)速度變慢，所以開始曲線比較陡峭，后來(lái)曲線比較平緩，又縱軸表示離校的距離，所以開始時(shí)距離最大，最后距離為0.2．下表表示函數(shù)y＝f(x)，則f(x)>x的整數(shù)解的集合是________．x0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x<20y＝f(x)46810解析：當(dāng)0<x<5時(shí)，f(x)>x的整數(shù)解為{1，2，3}．當(dāng)5≤x<10時(shí)，f(x)>x的整數(shù)解為{5}．當(dāng)10≤x<15時(shí)，f(x)>x的整數(shù)解為?.當(dāng)15≤x<20時(shí)，f(x)>x的整數(shù)解為?.綜上所述，f(x)>x的整數(shù)解的集合是{1，2，3，5}．答案：{1，2，3，5}3．已知兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)的定義域和值域都是集合{1，2，3}，其函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：x123f(x)231x123g(x)321則方程g(f(x))＝x的解集為________．解析：當(dāng)x＝1時(shí)，f(1)＝2，g(f(1))＝2，不符合題意；當(dāng)x＝2時(shí)，f(2)＝3，g(f(2))＝1，不符合題意；當(dāng)x＝3時(shí)，f(3)＝1，g(f(3))＝3，符合題意．綜上，方程g(f(x))＝x的解集為{3}．答案：{3}求函數(shù)的解析式(1)已知f(x)是一次函數(shù)，且f(f(x))＝9x＋4，求f(x)的解析式；(2)已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，求f(x)；(3)已知2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋f(x)＝x(x≠0)，求f(x)．【解】(1)設(shè)f(x)＝kx＋b(k≠0)，則f(f(x))＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝9x＋4.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k2＝9，,kb＋b＝4.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝3，,b＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－3，,b＝－2.))所以f(x)＝3x＋1或f(x)＝－3x－2.(2)法一：(配湊法)因?yàn)閒(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)＝(eq\r(x)＋1)2－1(eq\r(x)＋1≥1)，所以f(x)＝x2－1(x≥1)．法二：(換元法)令eq\r(x)＋1＝t(t≥1)，則x＝(t－1)2(t≥1)，所以f(t)＝(t－1)2＋2eq\r((t－1)2)＝t2－1(t≥1)．所以f(x)＝x2－1(x≥1)．(3)f(x)＋2feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝x，令x＝eq\f(1,x)，得feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋2f(x)＝eq\f(1,x).于是得到關(guān)于f(x)與feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))的方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f(x)＋2f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＝x，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))＋2f(x)＝\f(1,x).))解得f(x)＝eq\f(2,3x)－eq\f(x,3)(x≠0)．eq\a\vs4\al()求函數(shù)解析式的常用方法(1)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型，可用待定系數(shù)法求解，即由函數(shù)類型設(shè)出函數(shù)解析式，再根據(jù)條件列方程(組)，通過(guò)解方程(組)求出待定系數(shù)，進(jìn)而求出函數(shù)的解析式．(2)換元法(有時(shí)可用“配湊法”)：已知函數(shù)f(g(x))的解析式求f(x)的解析式可用換元法(或“配湊法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f(g(x))中求出f(t)，從而求出f(x)．(3)消元法(或解方程組法)：在已知式子中，含有關(guān)于兩個(gè)不同變量的函數(shù)，而這兩個(gè)變量有著某種關(guān)系，這時(shí)就要依據(jù)兩個(gè)變量的關(guān)系，建立一個(gè)新的關(guān)于這兩個(gè)變量的式子，由兩個(gè)式子建立方程組，通過(guò)解方程組消去一個(gè)變量，得到目標(biāo)變量的解析式，這種方法叫做消元法(或解方程組法)．1．(2019·遼源檢測(cè))設(shè)函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))＝x，則f(x)的解析式為()A．f(x)＝eq\f(1＋x,1－x) B．f(x)＝eq\f(1＋x,x－1)C．f(x)＝eq\f(1－x,1＋x) D．f(x)＝eq\f(2x,x＋1)解析：選C.令t＝eq\f(1－x,1＋x)，解得x＝eq\f(1－t,1＋t)，代入feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))＝x，可得f(t)＝eq\f(1－t,1＋t)，所以f(x)＝eq\f(1－x,1＋x).2．已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)的解析式．解：因?yàn)閒(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，①所以將x換成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x.②②×2－①得3f(x)＝x2－6x，所以f(x)＝eq\f(1,3)x2－2x.函數(shù)圖像的作法及應(yīng)用作出下列函數(shù)的圖像并求出其值域．(1)y＝2x＋1，x∈[0，2]；(2)y＝eq\f(2,x)，x∈[2，＋∞)；(3)y＝x2＋2x，x∈[－2，2]．【解】(1)列表：x0eq\f(1,2)1eq\f(3,2)2y12345當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，圖像是直線的一部分，觀察圖像可知，其值域?yàn)閇1，5]．(2)列表：x2345…y1eq\f(2,3)eq\f(1,2)eq\f(2,5)…當(dāng)x∈[2，＋∞)時(shí)，圖像是反比例函數(shù)y＝eq\f(2,x)的一部分，觀察圖像可知其值域?yàn)?0，1]．(3)列表：x－2－1012y0－1038畫圖像，圖像是拋物線y＝x2＋2x在－2≤x≤2之間的部分．由圖可知函數(shù)的值域是[－1，8]．eq\a\vs4\al()函數(shù)y＝f(x)圖像的畫法(1)若y＝f(x)是已學(xué)過(guò)的基本初等函數(shù)，則描出圖像上的幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，直接畫出圖像即可，有些可能需要根據(jù)定義域進(jìn)行取舍．(2)若y＝f(x)不是所學(xué)過(guò)的基本初等函數(shù)之一，則要按：①列表；②描點(diǎn)；③連線三個(gè)基本步驟作出y＝f(x)的圖像．作出下列函數(shù)的圖像：(1)y＝x＋2，|x|≤3；(2)y＝x2－2，x∈Z且|x|≤2.解：(1)因?yàn)閨x|≤3，所以函數(shù)的圖像為線段，而不是直線，如圖(1)；(2)因?yàn)閤∈Z且|x|≤2，所以函數(shù)的圖像是五個(gè)孤立的點(diǎn)，如圖(2)．1．已知函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，其中點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(0，3)，(3，0)，則f(f(0))＝()A．2 B．4C．0 D．3解析：選C.結(jié)合題圖可得f(0)＝3，則f(f(0))＝f(3)＝0.2．已知函數(shù)f(2x＋1)＝6x＋5，則f(x)的解析式是()A．f(x)＝3x＋2 B．f(x)＝3x＋1C．f(x)＝3x－1 D．f(x)＝3x＋4解析：選A.法一：令2x＋1＝t，則x＝eq\f(t－1,2).所以f(t)＝6×eq\f(t－1,2)＋5＝3t＋2，所以f(x)＝3x＋2.法二：因?yàn)閒(2x＋1)＝3(2x＋1)＋2，所以f(x)＝3x＋2.3．已知函數(shù)f(x)＝x－eq\f(m,x)，且此函數(shù)的圖像過(guò)點(diǎn)(5，4)，則實(shí)數(shù)m的值為________．解析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x－eq\f(m,x)的圖像過(guò)點(diǎn)(5，4)，所以4＝5－eq\f(m,5)，解得m＝5.答案：54．已知f(x)是二次函數(shù)，且滿足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)．解：因?yàn)閒(x)是二次函數(shù)，設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝1，得c＝1.由f(x＋1)－f(x)＝2x，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－ax2－bx－1＝2x.整理得2ax＋(a＋b)＝2x，由系數(shù)相等得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a＝2，,a＋b＝0，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1.))所以f(x)＝x2－x＋1.[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．下表表示y是x的函數(shù)，則函數(shù)的值域是()x0<x<55≤x<1010≤x<1515≤x≤20y2345A.[2，5] B．{2，3，4，5}C．(0，20] D．N*解析：選B.由表格可知，y的值為2，3，4，5.故函數(shù)的值域?yàn)閧2，3，4，5}．2．已知f(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，則f(－1)＝()A．0 B．8C．2 D．－2解析：選B.因?yàn)閒(x)＝x2＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1＋b＋c＝0，,9＋3b＋c＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－4，,c＝3，))即f(x)＝x2－4x＋3，所以f(－1)＝1＋4＋3＝8.3．已知函數(shù)f(x－1)＝x2－3，則f(2)的值為()A．－2 B．6C．1 D．0解析：選B.法一：令x－1＝t，則x＝t＋1，所以f(t)＝(t＋1)2－3，所以f(2)＝(2＋1)2－3＝6.法二：f(x－1)＝(x－1)2＋2(x－1)－2，所以f(x)＝x2＋2x－2，所以f(2)＝22＋2×2－2＝6.法三：令x－1＝2，所以x＝3，所以f(2)＝32－3＝6.4．已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1)＝2x＋17，則f(x)等于()A.eq\f(2,3)x＋5 B.eq\f(2,3)x＋1C．2x－3 D．2x＋1解析：選A.因?yàn)閒(x)是一次函數(shù)，所以設(shè)f(x)＝ax＋b(a≠0)，由3f(x＋1)＝2x＋17，得3[a(x＋1)＋b]＝2x＋17，整理得3ax＋3(a＋b)＝2x＋17，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3a＝2，,3(a＋b)＝17，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(2,3)，,b＝5，))所以f(x)＝eq\f(2,3)x＋5，故選A.5．一水池有2個(gè)進(jìn)水口，1個(gè)出水口，進(jìn)出水速度如圖甲、乙所示．某天0點(diǎn)到6點(diǎn)，該水池的蓄水量如圖丙所示．(至少打開一個(gè)水口)給出以下3個(gè)論斷：①0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水；②3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水；③4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水也不出水．則正確論斷的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3解析：選B.由題意可知在0點(diǎn)到3點(diǎn)這段時(shí)間，每小時(shí)進(jìn)水量為2，即2個(gè)進(jìn)水口同時(shí)進(jìn)水且不出水，所以①正確；從丙圖可知3點(diǎn)到4點(diǎn)水量減少了1，所以應(yīng)該是有一個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水，同時(shí)出水口也出水，故②錯(cuò)；當(dāng)兩個(gè)進(jìn)水口同時(shí)進(jìn)水，出水口也同時(shí)出水時(shí)，水量保持不變，故③錯(cuò)．6．已知函數(shù)y＝f(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表所示，函數(shù)y＝g(x)的圖像是如圖的曲線ABC，其中A(1，3)，B(2，1)，C(3，2)，則f(g(2))的值為________．x123f(x)230解析：由函數(shù)g(x)的圖像知，g(2)＝1，則f(g(2))＝f(1)＝2.答案：27．(2019·莆田檢測(cè))函數(shù)y＝x2＋2x－3在區(qū)間[－3，0]上的值域?yàn)開_______．解析：y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，拋物線的開口向上，對(duì)稱軸為直線x＝－1，因?yàn)閤∈[－3，0]，所以當(dāng)x＝－3時(shí)，ymax＝0，當(dāng)x＝－1時(shí)，ymin＝－4.函數(shù)的值域?yàn)閇－4，0]．答案：[－4，0]8．已知a，b為常數(shù)，若f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，則5a－b＝________．解析：由f(x)＝x2＋4x＋3，f(ax＋b)＝x2＋10x＋24，得(ax＋b)2＋4(ax＋b)＋3＝x2＋10x＋24，即a2x2＋(2ab＋4a)x＋b2＋4b＋3＝x2＋10x＋24，由系數(shù)相等得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝1，,2ab＋4a＝10，,b2＋4b＋3＝24，))解得a＝－1，b＝－7或a＝1，b＝3，則5a－b＝2.答案：29．已知函數(shù)p＝f(m)的圖像如圖所示．求：(1)函數(shù)p＝f(m)的定義域；(2)函數(shù)p＝f(m)的值域；(3)p取何值時(shí)，有唯一的m值與之對(duì)應(yīng)．解：(1)觀察函數(shù)p＝f(m)的圖像，可以看出圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是－3≤m≤0或1≤m≤4，由題圖知定義域?yàn)閇－3，0]∪[1，4]．(2)由題圖知值域?yàn)閇－2，2]．(3)由題圖知：p∈(0，2]時(shí)，只有唯一的m值與之對(duì)應(yīng)．10．已知函數(shù)f(x)＝g(x)＋h(x)，g(x)關(guān)于x2成正比，h(x)關(guān)于eq\r(x)成反比，且g(1)＝2,h(1)＝－3.求：(1)函數(shù)f(x)的解析式及其定義域；(2)f(4)的值．解：(1)設(shè)g(x)＝k1x2(k1∈R，且k1≠0)，h(x)＝eq\f(k2,\r(x))(k2∈R，且k2≠0)，由于g(1)＝2，h(1)＝－3，所以k1＝2，k2＝－3.所以f(x)＝2x2－eq\f(3,\r(x))，定義域是(0，＋∞)．(2)由(1)，得f(4)＝2×42－eq\f(3,\r(4))＝eq\f(61,2).[B能力提升]11．已知feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－x,1＋x)))＝eq\f(1－x2,1＋x2)(x≠－1)，則f(x)的解析式為()A．f(x)＝eq\f(x,1＋x2)(x≠－1)B．f(x)＝－eq\f(2x,1＋x2)(x≠－1)C．f(x)＝eq\f(2x,1＋x2)(x≠－1)D．f(x)＝－eq\f(x,1＋x2)(x≠－1)解析：選C.設(shè)eq\f(1－x,1＋x)＝t，則x＝eq\f(1－t,1＋t)(t≠－1)，所以f(t)＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)