新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)培優(yōu)講義14 數(shù)列的通項(xiàng)公式常考求法 含解析

解密14數(shù)列的通項(xiàng)公式?？记蠓ā究键c(diǎn)解密】1．Sn和an關(guān)系法求數(shù)列通項(xiàng)（作差法）：(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項(xiàng)公式．(2)Sn與an關(guān)系問題的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．2．累加法當(dāng)出現(xiàn)an＋1＝an＋f(n)時(shí)，用累加法求解．3．累乘法當(dāng)出現(xiàn)eq\f(an＋1,an)＝f(n)時(shí)，用累乘法求解．4．構(gòu)造法類型1：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列SKIPIF1<01、注意判斷題目給的已知條件是否符合類型1的標(biāo)準(zhǔn)形式；2、SKIPIF1<0直接記憶，解題時(shí)直接在草稿紙上構(gòu)造好；3、構(gòu)造等比數(shù)列SKIPIF1<0類型2：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列SKIPIF1<01、注意判斷題目給的已知條件是否符合類型2的標(biāo)準(zhǔn)形式；2、兩邊同除SKIPIF1<0；3、構(gòu)造數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列類型3：用兩邊同時(shí)取倒數(shù)構(gòu)造等差數(shù)列（1）1、注意判斷題目給的已知條件是否符合類型3的標(biāo)準(zhǔn)形式；2、兩邊同時(shí)取倒數(shù)轉(zhuǎn)化為eq\f(1,an＋1)＝eq\f(s,p)·eq\f(1,an)＋eq\f(r,p)的形式，化歸為bn＋1＝pbn＋q型；3、構(gòu)造數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列.類型3：用“同除法”構(gòu)造等差數(shù)列（2）SKIPIF1<01、注意判斷題目給的已知條件是否符合類型3的標(biāo)準(zhǔn)形式；2、兩邊同除SKIPIF1<0；3、構(gòu)造出新的等差數(shù)列SKIPIF1<0類型4：用“待定系數(shù)法”構(gòu)造等比數(shù)列an＋1＝pan＋qan－11、注意判斷題目給的已知條件是否符合類型3的標(biāo)準(zhǔn)形式；2、可以化為an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的兩個(gè)根；3、若1是方程的根，則直接構(gòu)造數(shù)列{an－an－1}，若1不是方程的根，則需要構(gòu)造兩個(gè)數(shù)列，采取消元的方法求數(shù)列{an}．【方法技巧】【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：常見的裂項(xiàng)公式：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0.【核心題型】題型一：累加法求通項(xiàng)公式1．（2022·上海虹口·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為正整數(shù)）．則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．1 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】將SKIPIF1<0進(jìn)行整理，可以求出其通項(xiàng)公式，再代入SKIPIF1<0可得答案.【詳解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故選：C2．（2022·全國·模擬預(yù)測）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】變形給定的等式，利用累加法及裂項(xiàng)相消法求解作答.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0滿足上式，即有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：A3．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測）南宋數(shù)學(xué)家楊輝為我國古代數(shù)學(xué)研究作出了杰出貢獻(xiàn)，他的著名研究成果“楊輝三角”記錄于其重要著作《詳解九章算法》，該著作中的“垛積術(shù)”問題介紹了高階等差數(shù)列.以高階等差數(shù)列中的二階等差數(shù)列為例，其特點(diǎn)是從數(shù)列中的第二項(xiàng)開始，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的差構(gòu)成等差數(shù)列.若某個(gè)二階等差數(shù)列的前4項(xiàng)為：2，3，6，11，則該數(shù)列的第15項(xiàng)為（

）A．196 B．197 C．198 D．199【答案】C【分析】根據(jù)二階等差數(shù)列的定義求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式，再利用累加法計(jì)算即可得SKIPIF1<0.【詳解】設(shè)該數(shù)列為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；由二階等差數(shù)列的定義可知，SKIPIF1<0所以數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，公差SKIPIF1<0的等差數(shù)列，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0將所有上式累加可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；即該數(shù)列的第15項(xiàng)為SKIPIF1<0.故選：C題型二：累乘法求通項(xiàng)公式4．（2022秋·寧夏銀川·高三校考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】依題意可得SKIPIF1<0，再利用累乘法計(jì)算可得；【詳解】解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0，由累乘法可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，符合上式，所以SKIPIF1<0.故選：D．5．（2022·河南·安陽一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則它的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用累乘法求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式，然后利用裂項(xiàng)相消法可求得SKIPIF1<0的值.【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故選：A.6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且對任意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，則實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)題干中的遞推公式，利用累乘法求解數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求解SKIPIF1<0，分離參數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)的取值范圍.【詳解】解:由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，符合上式，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，作差得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．易知函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：A．題型三：Sn和an關(guān)系法求數(shù)列通項(xiàng)7．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，若數(shù)列SKIPIF1<0為單調(diào)遞增數(shù)列，則SKIPIF1<0的取值范圍是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)給定條件求出數(shù)列SKIPIF1<0通項(xiàng)，再由數(shù)列SKIPIF1<0為單調(diào)遞增數(shù)列列出不等式并分離參數(shù)即可推理計(jì)算作答【詳解】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，兩式相減可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0滿足上式，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因數(shù)列SKIPIF1<0為單調(diào)遞增數(shù)列，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的最大項(xiàng)，即當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0，從而得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．故選：A8．（2022秋·甘肅武威·高三?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前2023項(xiàng)和為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根據(jù)題意得到SKIPIF1<0，再利用裂項(xiàng)法求和即可.【詳解】由題知：數(shù)列滿足SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，檢驗(yàn)：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，符合.所以SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0.故選：D9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0中的最大項(xiàng)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根據(jù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系，可得到SKIPIF1<0.進(jìn)而求出SKIPIF1<0，通過求解SKIPIF1<0，解出正整數(shù)SKIPIF1<0，即可求得數(shù)列中的最大為SKIPIF1<0.【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，由已知得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，滿足.所以，SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0中的第SKIPIF1<0項(xiàng)最大，則應(yīng)滿足SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0.所以，數(shù)列SKIPIF1<0中的最大項(xiàng)為SKIPIF1<0.故選：C.題型四：構(gòu)造法求通項(xiàng)公式10．（2023·四川瀘州·瀘州老窖天府中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前10項(xiàng)和SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】C【分析】將遞推式兩邊同時(shí)倒下，然后構(gòu)造等差數(shù)列求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式，再利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】解：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，∴數(shù)列SKIPIF1<0的前10項(xiàng)和SKIPIF1<0．故選:C．11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】依題意可得SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，即可求出SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式，再根據(jù)SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式，最后代入即可；【詳解】解：因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0；故選：C12．（2022·江西萍鄉(xiāng)·統(tǒng)考一模）數(shù)列SKIPIF1<0各項(xiàng)均是正數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0處的切線過點(diǎn)SKIPIF1<0，則下列命題正確的個(gè)數(shù)是（

）．①SKIPIF1<0；②數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；③數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；④SKIPIF1<0．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到SKIPIF1<0，整理得到SKIPIF1<0，利用構(gòu)造法求出數(shù)列的通項(xiàng)，即可判斷；【詳解】解：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0（*），①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，正確；②由（*）知SKIPIF1<0，∴首項(xiàng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0是等比數(shù)列，正確；③SKIPIF1<0，首項(xiàng)SKIPIF1<0，不符合等比數(shù)列的定義，錯(cuò)誤；④由②對可知：SKIPIF1<0，兩邊同除SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0是恒為0的常數(shù)列．∴SKIPIF1<0，故錯(cuò)誤．故選：B．題型五：觀察法求通項(xiàng)公式13．（2022·全國·模擬預(yù)測）大衍數(shù)列，來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論.其前10項(xiàng)依次為0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，現(xiàn)將大衍數(shù)列各數(shù)按照如圖排列形成一個(gè)數(shù)表，則該數(shù)表中第8行第3個(gè)數(shù)是（

）A．152 B．480 C．512 D．840【答案】B【分析】首先求得大衍數(shù)列的通項(xiàng)公式，再根據(jù)數(shù)表的形式，求得第8行第3個(gè)數(shù)的序號，代入通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】由已知條件將大衍數(shù)列前10項(xiàng)按奇數(shù)項(xiàng)排列前5個(gè)數(shù)依次為0，4，12，24，40，按偶數(shù)項(xiàng)排列前5個(gè)數(shù)依次為2，8，18，32，50，可得大衍數(shù)列通項(xiàng)為SKIPIF1<0數(shù)表前7行共有SKIPIF1<0個(gè)數(shù)，第8行第3個(gè)數(shù)字是大衍數(shù)列中第31項(xiàng)，該數(shù)為SKIPIF1<0.故選：B.14．（2021·廣東珠?！そy(tǒng)考一模）已知從1開始的連續(xù)奇數(shù)首尾相接蛇形排列形成如圖三角形數(shù)表，第SKIPIF1<0行第SKIPIF1<0列的數(shù)記為SKIPIF1<0，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0（

）A．54 B．18 C．9 D．6【答案】A【分析】根據(jù)題意第SKIPIF1<0行有SKIPIF1<0個(gè)數(shù)，第SKIPIF1<0行末為第SKIPIF1<0個(gè)數(shù)，數(shù)表由奇數(shù)構(gòu)成，由SKIPIF1<0可得2021是數(shù)陣中的第1011個(gè)數(shù)，帶入SKIPIF1<0進(jìn)行估算，第45行末為第1035個(gè)數(shù)，即可得解.【詳解】奇數(shù)構(gòu)成的數(shù)陣，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故2021是數(shù)陣中的第1011個(gè)數(shù)，第1行到第SKIPIF1<0行一共有SKIPIF1<0個(gè)奇數(shù)，則第1行到第44行末一共有990個(gè)奇數(shù)，第1行到第45行末一共有1035個(gè)數(shù)，所以2021位于第45行，又第45行是從左到右依次遞增，且共有45個(gè)奇數(shù)，所以2021位于第45行，從左到右第21列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故選：A.15．（2020秋·黑龍江哈爾濱·高三黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）歷史上數(shù)列的發(fā)展，折射出許多有價(jià)值的數(shù)學(xué)思想方法，對時(shí)代的進(jìn)步起了重要的作用，比如意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0).此數(shù)列在現(xiàn)代物理及化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，若此數(shù)列被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列SKIPIF1<0，又記數(shù)列SKIPIF1<0滿SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．0【答案】A【分析】利用“兔子數(shù)列”的前幾項(xiàng)除以4的余數(shù)得數(shù)列SKIPIF1<0的前幾項(xiàng)（稍微多求幾項(xiàng)），歸納出SKIPIF1<0的周期性，再根據(jù)SKIPIF1<0的定義得出SKIPIF1<0的前幾項(xiàng)，歸納出SKIPIF1<0的性質(zhì)，然后由這個(gè)規(guī)律可得SKIPIF1<0．【詳解】解：記“兔子數(shù)列”為SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0每個(gè)數(shù)被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，可得數(shù)列SKIPIF1<0構(gòu)成一周期為6的數(shù)列，由題意得數(shù)列SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，觀察數(shù)列SKIPIF1<0可知從該數(shù)列從第三項(xiàng)開始后面所有的數(shù)列構(gòu)成一周期為6的數(shù)列，SKIPIF1<0，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，考查數(shù)列的周期性，解題時(shí)在數(shù)列通項(xiàng)公式不易求出時(shí)可利用歸納推理的方法得出結(jié)論．題型六：遞推公式寫通項(xiàng)公式16．（2021·甘肅武威·武威第六中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)題意求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式，再求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和即可.【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，兩式相減得：SKIPIF1<0，經(jīng)驗(yàn)證SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，符合SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0.故選：A.17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，記數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)的和為SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．存在SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0不具有單調(diào)性【答案】C【分析】根據(jù)題意求得SKIPIF1<0，進(jìn)而得到SKIPIF1<0與SKIPIF1<0同號，結(jié)合作差法比較法，可判定B、D錯(cuò)誤；由SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，利用疊加法，可判定A錯(cuò)誤；化簡得到SKIPIF1<0，利用裂項(xiàng)法求和，可判定C正確.【詳解】由于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0同號．又由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞增，故B、D錯(cuò)誤；又因?yàn)镾KIPIF1<0，由數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞增，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，累加得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A錯(cuò)誤；由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C正確．故選：C．18．（2022·安徽滁州·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，且對任意的實(shí)數(shù)x，SKIPIF1<0，等式SKIPIF1<0成立，若數(shù)列{SKIPIF1<0）滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義推斷出函數(shù)為減函數(shù)．根據(jù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0整理求得SKIPIF1<0，進(jìn)而可判斷出SKIPIF1<0是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．進(jìn)而根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式求得SKIPIF1<0．由此能求出結(jié)果．【詳解】令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由題意知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，進(jìn)而得SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的減函數(shù)．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0是SKIPIF1<0上的減函數(shù)，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0所以數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列．所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：A【高考必刷】一、單選題19．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根據(jù)題意結(jié)合SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系分析可得數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式運(yùn)算求解.【詳解】當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0是以6為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故選：A．20．（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）記數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0．若等比數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0也是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式可求出答案.【詳解】因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可知數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0．故選：D．21．（2023·四川南充·四川省南充高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，從而得到SKIPIF1<0，再利用累加法得到SKIPIF1<0，結(jié)合等比數(shù)列求和公式求出SKIPIF1<0的值.【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故選：C．22．（2023春·河南·高三洛陽市第三中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）若一個(gè)數(shù)列的后項(xiàng)與其相鄰的前項(xiàng)的差值構(gòu)成的數(shù)列為等差數(shù)列，則稱此數(shù)列為二階等差數(shù)列.現(xiàn)有二階等差數(shù)列：2，3，5，8，12，17，23，…，設(shè)此數(shù)列為SKIPIF1<0，若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用二階等差數(shù)列的定義，結(jié)合累加法求得SKIPIF1<0，利用裂項(xiàng)求和法求得SKIPIF1<0.【詳解】由題可知，數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.故選：D23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0是數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則下列結(jié)論正確的是（

）A．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】A選項(xiàng)，計(jì)算出SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0不是等比數(shù)列，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，計(jì)算出SKIPIF1<0的前三項(xiàng)，得到SKIPIF1<0，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由題干條件得到SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為等比數(shù)列，得到SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，相加即可求出SKIPIF1<0，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，在SKIPIF1<0的基礎(chǔ)上，分奇偶項(xiàng)，分別得到通項(xiàng)公式，最后求出SKIPIF1<0.【詳解】由題意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0不是等比數(shù)列，A錯(cuò)誤；則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0不為等比數(shù)列，B錯(cuò)誤；SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0為等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為3，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，以上20個(gè)式子相加得：SKIPIF1<0，C錯(cuò)誤；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，兩式相減得：SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，以上式子相加得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0也符和該式，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，以上式子相加得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0也符號該式，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，綜上：SKIPIF1<0，D正確.故選：D【點(diǎn)睛】當(dāng)遇到SKIPIF1<0時(shí)，數(shù)列往往要分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)，分別求出通項(xiàng)公式，最后再檢驗(yàn)?zāi)懿荒芎喜橐粋€(gè)，這類題目的處理思路可分別令SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，用累加法進(jìn)行求解.24．（2023秋·河南開封·高三統(tǒng)考期末）在數(shù)列SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,則（

）A．SKIPIF1<0是等比數(shù)列 B．SKIPIF1<0是等比數(shù)列C．SKIPIF1<0是等比數(shù)列 D．SKIPIF1<0是等比數(shù)列【答案】B【分析】根據(jù)SKIPIF1<0變形整理為SKIPIF1<0,再求出SKIPIF1<0,根據(jù)等比數(shù)列的定義即可選出選項(xiàng).【詳解】解:由題知SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又因?yàn)镾KIPIF1<0,所以SKIPIF1<0是等比數(shù)列,且首項(xiàng)為4,公比為2.故選:B25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.若對任意的正整數(shù)SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0成立，則滿足等式SKIPIF1<0的所有正整數(shù)SKIPIF1<0為（

）A．1或3 B．2或3 C．1或4 D．2或4【答案】A【分析】根據(jù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系，求出SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0①，又SKIPIF1<0②，②－①×3得SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，進(jìn)而求出SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，研究SKIPIF1<0的單調(diào)性，求出SKIPIF1<0的解即可．【詳解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，相減可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0又SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0數(shù)列SKIPIF1<0是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0．對任意正整數(shù)n，都有SKIPIF1<0成立，得SKIPIF1<0①，又SKIPIF1<0②，②－①×3得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，進(jìn)而SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，以下證明SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，綜上可得，滿足等式SKIPIF1<0的所有正整數(shù)SKIPIF1<0的取值為1或3．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及數(shù)列的單調(diào)性以及數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)問題，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解答時(shí)要結(jié)合幾何知識(shí)，能熟練的應(yīng)用數(shù)列的相關(guān)知識(shí)作答，關(guān)鍵是要注意構(gòu)造新數(shù)列解決問題.26．（2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測）楊輝是南宋杰出的數(shù)學(xué)家,他曾擔(dān)任過南宋地方行政官員,為政清廉,足跡遍及蘇杭一帶.楊輝一生留下了大量的著述,他給出了著名的三角垛公式:SKIPIF1<0.若正項(xiàng)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0,且滿足SKIPIF1<0,數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0,則根據(jù)三角垛公式,可得數(shù)列SKIPIF1<0的前10項(xiàng)和SKIPIF1<0（

）A．440 B．480 C．540 D．580【答案】A【分析】根據(jù)SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0,進(jìn)而求出SKIPIF1<0,寫出SKIPIF1<0,觀察三角垛公式,發(fā)現(xiàn)其每一項(xiàng)是等差數(shù)列的前SKIPIF1<0項(xiàng)和的形式,代入前SKIPIF1<0項(xiàng)和公式,即可得與SKIPIF1<0之間的聯(lián)系,代入公式即可得出結(jié)果.【詳解】解:由題知SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),滿足上式,故SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,由三角垛公式:SKIPIF1<0可得:SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,因?yàn)镾KIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0.故選:A27．（2023秋·山西運(yùn)城·高三統(tǒng)考期末）已知SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由題，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，進(jìn)而分奇偶性討論得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正偶數(shù)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正奇數(shù)，再求和即可.【詳解】解：因?yàn)镾KIPIF1<0，所以，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以，當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正奇數(shù)；當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正偶數(shù)；所以SKIPIF1<0，故選：A28．（2023春·廣東汕尾·高三汕尾市城區(qū)汕尾中學(xué)?？计谀└唠A等差數(shù)列是數(shù)列逐項(xiàng)差數(shù)之差或高次差相等的數(shù)列，中國古代許多著名的數(shù)學(xué)家對推導(dǎo)高階等差數(shù)列的求和公式很感興趣，創(chuàng)造并發(fā)展了名為“垛積術(shù)”的算法，展現(xiàn)了聰明才智SKIPIF1<0如南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法SKIPIF1<0商功》一書中記載的三角垛、方垛、芻甍垛等的求和都與高階等差數(shù)列有關(guān)SKIPIF1<0如圖是一個(gè)三角垛，最頂層有SKIPIF1<0個(gè)小球，第二層有SKIPIF1<0個(gè)，第三層有SKIPIF1<0個(gè)，第四層有SKIPIF1<0個(gè)，則第SKIPIF1<0層小球的個(gè)數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】記第SKIPIF1<0層有SKIPIF1<0個(gè)球，則根據(jù)題意可得SKIPIF1<0，再根據(jù)累加法求解即可.【詳解】記第SKIPIF1<0層有SKIPIF1<0個(gè)球，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，結(jié)合高階等差數(shù)列的概念知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則第SKIPIF1<0層的小球個(gè)數(shù)SKIPIF1<0．故選：B29．（2022秋·河北唐山·高三開灤第二中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列SKIPIF1<0，對于任意正整數(shù)SKIPIF1<0，都滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由遞推關(guān)系可得SKIPIF1<0，利用累加求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式，再由裂項(xiàng)相消法求SKIPIF1<0的值.【詳解】因?yàn)閷τ谌我庹麛?shù)SKIPIF1<0，都滿足SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0也滿足此關(guān)系，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：C.30．（2022秋·云南·高三云南師大附中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0表示不超過SKIPIF1<0的最大整數(shù)（例如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】D【分析】求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即得解.【詳解】解：由題設(shè)知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D．二、多選題31．（2023·湖北·宜昌市一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知遞增的正整數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0．以下條件能得出SKIPIF1<0為等差數(shù)列的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】用SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系，計(jì)算判斷A和B；按SKIPIF1<0的奇偶求出SKIPIF1<0，再結(jié)合遞增的正整數(shù)列推出SKIPIF1<0判斷C；按給定條件求出數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)，再結(jié)合遞增的正整數(shù)列求出SKIPIF1<0判斷D作答.【詳解】對于A，SKIPIF1<