新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重點突破訓(xùn)練第22講 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（含解析）

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用真題展示2022新高考一卷第22題已知函數(shù)和有相同的最小值．（1）求；（2）證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【思路分析】（1）先對兩個函數(shù)求導(dǎo)，然后研究函數(shù)和的單調(diào)性，從而求得和的零點，進而得到函數(shù)的極小值(最小值)，然后列出方程求得的值；（2）設(shè)三個交點的橫坐標(biāo)從小到大依次為，，，得到有關(guān)，，的方程，然后化簡利用函數(shù)的單調(diào)性求得，和的數(shù)量關(guān)系，進而得證命題．【解答】（1）解：，，，，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)和函數(shù)在各自定義域上單調(diào)遞增，又函數(shù)和有最小值，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，，，函數(shù)和有相同的最小值，即lna=，lna+?1=0,記F(x)=lnx+?1(x>0)，則QUOTEF'(x)=QUOTE2(x+1)2QUOTEx2+1x(x+1)2>0，故F(x)在x>0上增，又F(1)=0，故F(a)=0有唯一解a=1.∴a=1.（2）證明：由(1)知f(x)=x，g(x)=x?lnx，(x)=?1,(x)=1?(x>0)，f(x)在(?∞,0)上減，在(0,+∞)上增，f(x)最小值是f(0)=1；g(x)在(0,1)上減，在(1,+∞)上增，g(x)最小值是g(1)=1，如圖，對于函數(shù)f(x)，當(dāng)x>0時，函數(shù)值從最小值1逐漸增大到+∞；對于函數(shù)g(x)，當(dāng)0<x<1時，函數(shù)值從+∞逐漸減少到最小值1，故必然存在∈(0,1)，使得f(x)=g(x)。下證存在唯一的∈(0,1)，使得f(x)=g(x)。由f(x)=g(x)有+lnx?2x=0，設(shè)G(x)=+lnx?2x(x>0)，則(x)=+?2(x>0)，若x≥1，則QUOTEG‘(x)≥e+QUOTE1x?2>QUOTE1x>0；若0<x<1，則QUOTEG‘(x)>+?2=QUOTE1x?1>0，故QUOTEG‘(x)>0對x>0恒成立，∴G(x)在x>0上單調(diào)遞增，又G(1)=e+0?2>0,G()=+ln?<?2?<?2<0，∴存在唯一的QUOTEx0∈(0,1)，使得G(QUOTEx0)=0，即方程f(x)=g(x)有唯一的解∈(0,1)。由圖知當(dāng)b=f()=g()時，直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點；當(dāng)1<b<f()或b>f()時，直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有四個不同的交點；當(dāng)b=1時，直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有2個不同的交點；當(dāng)b<1時，直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)沒有交點。取b=f()=g(QUOTEx0)時，直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)共有三個不同的交點，作出直線y=b，y=f(x)和y=g(x)的草圖，設(shè)直線y=b與兩條曲線y=f(x)和y=g(x)的三個交點的橫坐標(biāo)從小到大依次為，，，由（1）得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，成等差數(shù)列，存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【試題評價】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點，解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性求得、和的數(shù)量關(guān)系．試題亮點試題落實了高考評價體系中“一核四層四翼”的總要求，題目簡潔，函數(shù)類型也是考生非常熟悉的，體現(xiàn)了基礎(chǔ)性，有利于增強學(xué)生解決困難問題的信心和決心．但考生上手做題后就會發(fā)現(xiàn)，試題的設(shè)計常規(guī)中又蘊含很多的創(chuàng)新，因而考生會產(chǎn)生似曾相識但難以入手的感覺，需要在解題過程中綜合運用所學(xué)知識不斷發(fā)現(xiàn)，逐步推進試題有效考查了考生推理論證、運算求解等關(guān)鍵能力，考查了考生對數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法的理解與掌握，對學(xué)生思維的靈活性、嚴(yán)謹(jǐn)性、創(chuàng)新性提出了較高的要求.試題計算量很小，重思維，解答長度適中，設(shè)計由淺入深，層次分明，內(nèi)涵豐富，重點突出，很好地達到考查目的，使理性思維深度、知識掌握的牢固程度、運算求解的嫻熟程度不同的考生都能得到充分展示，較好地考查考生進一步學(xué)習(xí)的潛能，有利于人才選拔，對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有較好的引導(dǎo)作用.知識要點整理常用結(jié)論⑴，變形即為，其幾何意義為上的的點與原點連線斜率小于1.⑵⑶⑷.導(dǎo)數(shù)單調(diào)性、極值、最值的直接應(yīng)用（切線）設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（2）當(dāng)時，曲線在點處的切線為，與軸交于點求證：.解：(1)時，，由，解得.的變化情況如下表：01-0+0↘極小值↗0所以當(dāng)時，有最小值.(2)證明：曲線在點處的切線斜率曲線在點P處的切線方程為.令，得，∴∵，∴，即.又∵，∴所以.已知函數(shù)其中⑴當(dāng)時，求曲線處的切線的斜率；⑵當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.解：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運算、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及分類討論的思想方法。⑴⑵下分兩種情況討論：①＞，則＜.當(dāng)變化時，的變化情況如下表：+0—0+↗極大值↘極小值↗②＜，則＞，當(dāng)變化時，的變化情況如下表：+0—0+↗極大值↘極小值↗已知函數(shù)⑴設(shè)兩曲線有公共點，且在公共點處的切線相同，若，試建立關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求的最大值；⑵若在(0,4)上為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍。（最值，按區(qū)間端點討論）已知函數(shù)f(x)=lnx－.(1)當(dāng)a>0時，判斷f(x)在定義域上的單調(diào)性；(2)若f(x)在[1,e]上的最小值為，求a的值.解：(1)由題得f(x)的定義域為(0,＋∞)，且f′(x)＝＋＝.∵a>0，∴f′(x)>0，故f(x)在(0,＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù).(2)由(1)可知：f′(x)＝，①若a≥－1，則x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立，此時f(x)在[1,e]上為增函數(shù)，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－(舍去). ②若a≤－e，則x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立，此時f(x)在[1,e]上為減函數(shù)，∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－(舍去).③若－e<a<－1，令f′(x)＝0，得x＝－a.當(dāng)1<x<－a時，f′(x)<0，∴f(x)在(1,－a)上為減函數(shù)；當(dāng)－a<x<e時，f′(x)>0，∴f(x)在(－a,e)上為增函數(shù)，∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝?a＝－.綜上可知：a＝－.（最值直接應(yīng)用）已知函數(shù)，其中.（Ⅰ）若是的極值點，求的值；（Ⅱ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范圍.解：（Ⅰ）.依題意，令，解得.經(jīng)檢驗，時，符合題意.（Ⅱ）解：①當(dāng)時，.故的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是.②當(dāng)時，令，得，或.當(dāng)時，與的情況如下：↘↗↘所以，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是和.當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間是.當(dāng)時，，與的情況如下：↘↗↘所以，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是和.③當(dāng)時，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是.綜上，當(dāng)時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是；當(dāng)時，的增區(qū)間是，減區(qū)間是和；當(dāng)時，的減區(qū)間是；當(dāng)時，的增區(qū)間是；減區(qū)間是和.（Ⅲ）由（Ⅱ）知時，在上單調(diào)遞增，由，知不合題意.當(dāng)時，在的最大值是，由，知不合題意.當(dāng)時，在單調(diào)遞減，可得在上的最大值是，符合題意.所以，在上的最大值是時，的取值范圍是.（2010北京理數(shù)18）已知函數(shù)=ln(1+)-+(≥0).(Ⅰ)當(dāng)=2時，求曲線=在點(1,(1))處的切線方程；(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間.解：（I）當(dāng)時，，由于，，所以曲線在點處的切線方程為即（II），.當(dāng)時，.所以，在區(qū)間上，；在區(qū)間上，.故得單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時，由，得，所以，在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故得單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是.當(dāng)時，故得單調(diào)遞增區(qū)間是.當(dāng)時，，得，.所以沒在區(qū)間和上，；在區(qū)間上，故得單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間是（2010山東文21，單調(diào)性）已知函數(shù) ⑴當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程； ⑵當(dāng)時，討論的單調(diào)性.解：⑴⑵因為，所以，，令(是一道設(shè)計巧妙的好題，同時用到e底指、對數(shù)，需要構(gòu)造函數(shù)，證存在且唯一時結(jié)合零點存在性定理不好想，⑴⑵聯(lián)系緊密)已知函數(shù)⑴若函數(shù)φ(x)=f(x)－，求函數(shù)φ(x)的單調(diào)區(qū)間；⑵設(shè)直線l為函數(shù)f(x)的圖象上一點A(x0，f(x0))處的切線，證明：在區(qū)間(1,+∞)上存在唯一的x0，使得直線l與曲線y=g(x)相切．解：（Ⅰ），．∵且，∴∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（Ⅱ）∵，∴，∴切線的方程為,即,①設(shè)直線與曲線相切于點，∵，∴，∴,∴.∴直線也為，即，②由①②得，∴．下證：在區(qū)間（1,+）上存在且唯一.由（Ⅰ）可知，在區(qū)間上遞增．又，，結(jié)合零點存在性定理，說明方程必在區(qū)間上有唯一的根，這個根就是所求的唯一，故結(jié)論成立．（最值應(yīng)用，轉(zhuǎn)換變量）設(shè)函數(shù)．(1)討論函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．解：⑴．當(dāng)時，，增區(qū)間為，減區(qū)間為，．當(dāng)時，，減區(qū)間為．當(dāng)時，，增區(qū)間為，減區(qū)間為，．⑵由⑴知，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，∴，≤，即≤．∵恒成立，∴＞，即，又，∴．∵，∴，∴≤．（最值應(yīng)用）已知二次函數(shù)對都滿足且，設(shè)函數(shù)（，）．（Ⅰ）求的表達式；（Ⅱ）若，使成立，求實數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)，，求證：對于，恒有．解：（Ⅰ）設(shè)，于是所以又，則．所以．…………3分（Ⅱ）當(dāng)m>0時，由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，f（x）的值域為R；…………4分當(dāng)m=0時，對，恒成立；…………5分當(dāng)m<0時，由，列表：x－0＋減極小增所以若，恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是．故使成立，實數(shù)m的取值范圍．…………9分（Ⅲ）因為對，所以在內(nèi)單調(diào)遞減．于是記，則所以函數(shù)在是單調(diào)增函數(shù)，所以，故命題成立．…………12分設(shè)是函數(shù)的一個極值點.（1）求與的關(guān)系式（用表示），并求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，若存在，使得成立，求的取值范圍.解：（1）∵∴由題意得：，即，∴且令得，∵是函數(shù)的一個極值點∴，即故與的關(guān)系式為.當(dāng)時，，由得單增區(qū)間為：；由得單減區(qū)間為：和；當(dāng)時，，由得單增區(qū)間為：；由得單減區(qū)間為：和；（2）由（1）知：當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，,∴在上的值域為.易知在上是增函數(shù),∴在上的值域為.由于，又∵要存在，使得成立，∴必須且只須解得:.所以，的取值范圍為.． （1）若，求函數(shù)的極值； （2）若是函數(shù)的一個極值點，試求出關(guān)于的關(guān)系式（用表示），并確定的單調(diào)區(qū)間； （3）在（2）的條件下，設(shè)，函數(shù)．若存在使得成立，求的取值范圍．解:（1）∵當(dāng)時，,則.令得，∵,∴，解得∵當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時∴當(dāng)時，函數(shù)有極大值，，當(dāng)時，函數(shù)有極小值，．（2）由（1）知∵是函數(shù)的一個極值點∴即，解得則＝令，得或∵是極值點，∴，即.當(dāng)即時，由得或由得當(dāng)即時，由得或由得.綜上可知：當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為當(dāng)時，單調(diào)遞增區(qū)間為和，遞減區(qū)間為。（3）由2）知：當(dāng)a>0時，在區(qū)間（0，1）上的單調(diào)遞減，在區(qū)間（1，4）上單調(diào)遞增， ∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為 又∵，，∴函數(shù)在區(qū)間[0，4]上的值域是，即] 又在區(qū)間[0，4]上是增函數(shù)， 且它在區(qū)間[0，4]上的值域是. ∵－＝＝， ∴存在使得成立只須 －<1.．已知函數(shù).⑴當(dāng)時，討論的單調(diào)性；⑵設(shè)當(dāng)時，若對任意，存在，使，求實數(shù)取值范圍.解：本題將導(dǎo)數(shù)、二次函數(shù)、不等式知識有機的結(jié)合在一起，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的最值問題，考查了同學(xué)們分類討論的數(shù)學(xué)思想以及解不等式的能力；考查了學(xué)生綜合運用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力.（1）直接利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值、利用二次函數(shù)知識或分離常數(shù)法求出在閉區(qū)間[1,2]上的最大值，然后解不等式求參數(shù).⑴，令①當(dāng)時，，當(dāng),函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增.②當(dāng)時，由，即，解得.當(dāng)時，恒成立，此時，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，,時，函數(shù)單調(diào)遞減；時，，函數(shù)單調(diào)遞增；時，，函數(shù)單調(diào)遞減.當(dāng)時，當(dāng),函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)，函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述：當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增；當(dāng)時,恒成立,此時，函數(shù)在單調(diào)遞減；當(dāng)時,函數(shù)在遞減,遞增,遞減.⑵當(dāng)時，在(0,1)上是減函數(shù)，在(1,2)上是增函數(shù)，所以對任意，有，又已知存在，使，所以，，（※）又當(dāng)時，與（※）矛盾；當(dāng)時，也與（※）矛盾；當(dāng)時，.綜上，實數(shù)的取值范圍是.設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，過原點的直線與函數(shù)的圖象相切于點P，求點P的坐標(biāo)；（Ⅱ）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）當(dāng)時，設(shè)函數(shù)，若對于]，[0，1]使≥成立，求實數(shù)b的取值范圍.（是自然對數(shù)的底，）解：函數(shù)的定義域為，（Ⅰ）設(shè)點，當(dāng)時，，則，，∴解得，故點P的坐標(biāo)為（Ⅱ）∵∴ ∴當(dāng)，或時，當(dāng)時，故當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為，（Ⅲ）當(dāng)時，由（Ⅱ）可知函數(shù)在上是減函數(shù)，在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，且，∵，又，∴，∴，故函數(shù)在上的最小值為若對于，使 ≥成立在上的最小值不大于在上的最小值（*）又，①當(dāng)時，在上為增函數(shù)，與（*）矛盾②當(dāng)時，，由及得，③當(dāng)時，在上為減函數(shù)，，此時 綜上，的取值范圍是12.已知函數(shù)．⑴求在上的最小值；⑵若存在（是常數(shù)，＝2.71828）使不等式成立，求實數(shù)的取值范圍；⑶證明對一切都有成立．解：⑴，⑵由題意知，而，故（Ⅲ）等價證明由⑴知．（最值應(yīng)用）設(shè)函數(shù)，且，其中是自然對數(shù)的底數(shù).⑴求與的關(guān)系；⑵若在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；⑶設(shè)，若在上至少存在一點，使得＞成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意得而，所以、的關(guān)系為.（2）由（1）知，.令，要使在其定義域內(nèi)單調(diào)，只需恒成立.①當(dāng)時，，因為＞，所以＜0，＜0，∴在內(nèi)是單調(diào)遞減函數(shù)，即適合題意；②當(dāng)＞0時，，∴，只需，即，∴在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，故適合題意.③當(dāng)＜0時，，其圖像為開口向下的拋物線，對稱軸為，只要，即時，在恒成立，故＜0適合題意.綜上所述，的取值范圍為.（3）∵在上是減函數(shù)，∴時，；時，，即，①當(dāng)時，由（2）知在上遞減＜2，不合題意；②當(dāng)0＜＜1時，由，又由（2）知當(dāng)時，在上是增函數(shù)，∴＜，不合題意；③當(dāng)時，由（2）知在上是增函數(shù)，＜2，又在上是減函數(shù)，故只需＞，，而，，即＞2，解得＞，綜上，的取值范圍是.設(shè)函數(shù)⑴討論函數(shù)的單調(diào)性；⑵若有兩個極值點，記過點的直線斜率為,問：是否存在，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.解：⑴的定義域為令①當(dāng)故上單調(diào)遞增．②當(dāng)?shù)膬筛夹∮?，在上，，故上單調(diào)遞增．③當(dāng)?shù)膬筛鶠?，?dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，，故分別在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．⑵由⑴知，若有兩個極值點，則只能是情況③，故．因為，所以又由⑴知，，于是若存在，使得則．即．亦即再由⑴知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以這與式矛盾．故不存在，使得（構(gòu)造函數(shù)，好，較難）已知函數(shù).⑴求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；⑵記函數(shù)的圖象為曲線，設(shè)點是曲線上兩個不同點，如果曲線上存在點，使得：①；②曲線在點處的切線平行于直線，則稱函數(shù)存在“中值相依切線”.試問：函數(shù)是否存在中值相依切線，請說明理由.解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域是.由已知得，.ⅰ當(dāng)時,令,解得;函數(shù)在上單調(diào)遞增ⅱ當(dāng)時，①當(dāng)時，即時,令,解得或;函數(shù)在和上單調(diào)遞增②當(dāng)時，即時,顯然，函數(shù)在上單調(diào)遞增；③當(dāng)時，即時,令,解得或函數(shù)在和上單調(diào)遞增.綜上所述:⑴當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增⑵當(dāng)時,函數(shù)在和上單調(diào)遞增⑶當(dāng)時,函數(shù)在上單調(diào)遞增；⑷當(dāng)時,函數(shù)在和上單調(diào)遞增.(Ⅱ)假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”.設(shè),是曲線上的不同兩點，且，則，..曲線在點處的切線斜率，依題意得：.化簡可得，即=.設(shè)()，上式化為：,,令,.因為,顯然，所以在上遞增,顯然有恒成立.所以在內(nèi)不存在,使得成立.綜上所述，假設(shè)不成立.所以，函數(shù)不存在“中值相依切線”(2011天津理19，綜合應(yīng)用)已知，函數(shù)，．(的圖象連續(xù))⑴求的單調(diào)區(qū)間；⑵若存在屬于區(qū)間的，且，使，證明：．解：⑴，．令，則．當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是．⑵由及的單調(diào)性知．從而在區(qū)間上的最小值為．又由，，則．所以即所以．（恒成立，直接利用最值）已知函數(shù)，⑴若是函數(shù)的一個極值點，求；⑵討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；⑶若對于任意的,不等式在上恒成立，求的取值范圍.解：⑴,因為是函數(shù)的一個極值點，所以，得.又，所以.⑵因為的定義域是，.①當(dāng)時，列表＋－＋增減增在，是增函數(shù)；在是減函數(shù).②當(dāng)時，，在是增函數(shù).③當(dāng)時，列表＋－＋增減增在,是增函數(shù)；在是減函數(shù).⑶（最值與圖象特征應(yīng)用）設(shè)，函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）.⑴判斷的單調(diào)性；⑵若上恒成立，求a的取值范圍.解：⑴∵令①當(dāng)在R上為減函數(shù).②當(dāng)在R上為減函數(shù).③當(dāng)時，由得由得上為增函數(shù)；上為減函數(shù).⑵由⑴知①當(dāng)上為減函數(shù).②當(dāng)在[1，2]上不恒成立，∴a的取值范圍是(單調(diào)性)已知=ln(x+2)－x2+bx+c⑴若函數(shù)在點(1，y)處的切線與直線3x+7y+2=0垂直，且f(－1)=0，求函數(shù)在區(qū)間[0,3]上的最小值；⑵若在區(qū)間[0,m]上單調(diào)，求b的取值范圍.解：⑴，依題意令=，＝0，解得b=4，c=5. x0(0,)（,3）3y′+0－yln2+5極大8+ln5因為8+ln5>5+ln2∴x=0時在[0，3]上最小值=5+ln2.⑵若在區(qū)間[0，m]上單調(diào)，有兩種可能 ①令≥0得b≥2x－，在[0，m]上恒成立 而y=2x－在[0，m]上單調(diào)遞增，最大值為2m－，∴b≥2m－. ②令≤0得b≤2x－，而y=2x－在[0，m]單增，最小為y=－，∴b≤－.故b≥2m－或b≤－時在[0，m]上單調(diào).（單調(diào)性，用到二階導(dǎo)數(shù)的技巧） 已知函數(shù) ⑴若，求的極大值； ⑵若在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求滿足此條件的實數(shù)k的取值范圍.解：⑴定義域為令由由即上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減時，F(xiàn)(x)取得極大值⑵的定義域為(0，+∞)，由G(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減知：在(0，+∞)內(nèi)恒成立令，則由∵當(dāng)時為增函數(shù)當(dāng)時，為減函數(shù)∴當(dāng)x=e時，H(x)取最大值故只需恒成立，又當(dāng)時，只有一點x=e使得不影響其單調(diào)性三年真題1．已知，函數(shù)(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若和有公共點，（i）當(dāng)時，求的取值范圍；（ii）求證：．【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見解析【詳解】（1），故，而，曲線在點處的切線方程為即.（2）（i）當(dāng)時，因為曲線和有公共點，故有解，設(shè)，故，故在上有解，設(shè)，故在上有零點，而，若，則恒成立，此時在上無零點，若，則在上恒成立，故在上為增函數(shù)，而，，故在上無零點，故，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而，，故在上存在唯一零點，且時，；時，；故時，；時，；所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，因為在上有零點，故，故，而，故即，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而，故.（ii）因為曲線和有公共點，所以有解，其中，若，則，該式不成立，故.故，考慮直線，表示原點與直線上的動點之間的距離，故，所以，下證：對任意，總有，證明：當(dāng)時，有，故成立.當(dāng)時，即證，設(shè)，則（不恒為零），故在上為減函數(shù)，故即成立.綜上，成立.下證：當(dāng)時，恒成立，，則，故在上為增函數(shù)，故即恒成立.下證：在上恒成立，即證：，即證：，即證：，而，故成立.故，即成立.【點睛】思路點睛：導(dǎo)數(shù)背景下零點問題，注意利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合零點存在定理來處理，而多變量的不等式的成立問題，注意從幾何意義取構(gòu)建不等式關(guān)系，再利用分析法來證明目標(biāo)不等式.2．設(shè)函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，曲線上不同的三點處的切線都經(jīng)過點．證明：（?。┤?，則；（ⅱ）若，則．（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)（?。┮娊馕?；（ⅱ）見解析.【詳解】（1），當(dāng)，；當(dāng)，，故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.（2）（?。┮驗檫^有三條不同的切線，設(shè)切點為，故，故方程有3個不同的根，該方程可整理為，設(shè)，則，當(dāng)或時，；當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因為有3個不同的零點，故且，故且，整理得到：且，此時，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，故，故.（ⅱ）當(dāng)時，同（?。┲杏懻摽傻茫汗试谏蠟闇p函數(shù)，在上為增函數(shù)，不妨設(shè)，則，因為有3個不同的零點，故且，故且，整理得到：，因為，故，又，設(shè)，，則方程即為：即為，記則為有三個不同的根，設(shè)，，要證：，即證，即證：，即證：，即證：，而且，故，故，故即證：，即證：即證：，記，則，設(shè)，則，所以，，故在上為增函數(shù)，故，所以，記，則，所以在為增函數(shù)，故，故即，故原不等式得證：【點睛】思路點睛：導(dǎo)數(shù)背景下的切線條數(shù)問題，一般轉(zhuǎn)化為關(guān)于切點方程的解的個數(shù)問題，而復(fù)雜方程的零點性質(zhì)的討論，應(yīng)該根據(jù)零點的性質(zhì)合理轉(zhuǎn)化需求證的不等式，常用的方法有比值代換等.3．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的最大值；(2)若恰有一個零點，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時，，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以；（2），則，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減；所以，此時函數(shù)無零點，不合題意；當(dāng)時，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；又，由（1）得，即，所以，當(dāng)時，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點，符合題意；當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點，符合題意；當(dāng)時，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；此時，由（1）得當(dāng)時，，，所以，此時存在，使得，所以在有一個零點，在無零點，所以有唯一零點，符合題意；綜上，a的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與單調(diào)性，把函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性與極值的問題.4．已知函數(shù)，曲線在點處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．【答案】(1)3(2)【詳解】（1）由題意知，，，，則在點處的切線方程為，即，設(shè)該切線與切于點，，則，解得，則，解得；（2），則在點處的切線方程為，整理得，設(shè)該切線與切于點，，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時，的變化情況如下表：01000則的值域為，故的取值范圍為.5．已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，并且從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【答案】(1)(2)見解析【詳解】（1）的定義域為，而，若，則，此時無最小值，故.的定義域為，而.當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時，，故在上為增函數(shù)，故.因為和有相同的最小值，故，整理得到，其中，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.（2）[方法一]：由（1）可得和的最小值為.當(dāng)時，考慮的解的個數(shù)、的解的個數(shù).設(shè)，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，設(shè)，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個不同的零點，即的解的個數(shù)為2.設(shè)，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，有兩個不同的零點即的解的個數(shù)為2.當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個解，當(dāng)時，由（1）討論可得、均無根，故若存在直線與曲線、有三個不同的交點，則.設(shè)，其中，故，設(shè)，，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，所以在上為增函數(shù)，而，，故上有且只有一個零點，且：當(dāng)時，即即，當(dāng)時，即即，因此若存在直線與曲線、有三個不同的交點，故，此時有兩個不同的根，此時有兩個不同的根，故，，，所以即即，故為方程的解，同理也為方程的解又可化為即即，故為方程的解，同理也為方程的解，所以，而，故即.[方法二]：由知，，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且①時，此時，顯然與兩條曲線和共有0個交點，不符合題意；②時，此時，故與兩條曲線和共有2個交點，交點的橫坐標(biāo)分別為0和1；③時，首先，證明與曲線有2個交點，即證明有2個零點，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為，，，令，則，所以在上存在且只存在1個零點，設(shè)為，在上存在且只存在1個零點，設(shè)為其次，證明與曲線和有2個交點，即證明有2個零點，，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因為，，，令，則，所以在上存在且只存在1個零點，設(shè)為，在上存在且只存在1個零點，設(shè)為再次，證明存在b，使得因為，所以，若，則，即，所以只需證明在上有解即可，即在上有零點，因為，，所以在上存在零點，取一零點為，令即可，此時取則此時存在直線，其與兩條曲線和共有三個不同的交點，最后證明，即從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，因為所以，又因為在上單調(diào)遞減，，即，所以，同理，因為，又因為在上單調(diào)遞增，即，，所以，又因為，所以，即直線與兩條曲線和從左到右的三個交點的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.【點睛】思路點睛：函數(shù)的最值問題，往往需要利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，此時注意對參數(shù)的分類討論，而不同方程的根的性質(zhì)，注意利用方程的特征找到兩類根之間的關(guān)系.6．已知，函數(shù)．（I）求曲線在點處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點（III）若存在a，使得對任意成立，求實數(shù)b的取值范圍．【答案】（I）；（II）證明見解析；（III）【分析】（I）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；（II）令，可得，則可化為證明與僅有一個交點，利用導(dǎo)數(shù)求出的變化情況，數(shù)形結(jié)合即可求解；（III）令，題目等價于存在，使得，即，利用導(dǎo)數(shù)即可求出的最小值.【詳解】（I），則，又，則切線方程為；（II）令，則，令，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，畫出大致圖像如下：所以當(dāng)時，與僅有一個交點，令，則，且，當(dāng)時，，則，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，則，單調(diào)遞減，為的極大值點，故存在唯一的極值點；（III）由（II）知，此時，所以，令，若存在a，使得對任意成立，等價于存在，使得，即，，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，故，所以實數(shù)b的取值范圍.【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明與僅有一個交點；第三問解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為存在，使得，即.7．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個條件中選一個，證明：只有一個零點①；②．【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)由題意結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點存在定理即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，當(dāng)時，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；(2)若選擇條件①：由于，故，則，而，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.綜上可得，題中的結(jié)論成立.若選擇條件②：由于，故，則，當(dāng)時，，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，注意到，故恒成立，從而有：，此時：，當(dāng)時，，取，則，即：，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個零點.，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒有零點.綜上可得，題中的結(jié)論成立.【點睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．8．已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．【答案】（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.【分析】（1）求出、的值，利用點斜式可得出所求切線的方程；（2）由可求得實數(shù)的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此可得出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，，，此時，曲線在點處的切線方程為，即；（2）因為，則，由題意可得，解得，故，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，，.9．設(shè)a，b為實數(shù)，且，函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，求a的取值范圍；（3）當(dāng)時，證明：對任意，函數(shù)有兩個不同的零點，滿足.(注：是自然對數(shù)的底數(shù))【答案】(1)時，在上單調(diào)遞增；時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；(2)；(3)證明見解析.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論即可確定函數(shù)的單調(diào)性；(2)將原問題進行等價轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)并進行放縮即可確定實數(shù)a的取值范圍；(3)方法一：結(jié)合(2)的結(jié)論將原問題進行等價變形，然后利用分析法即可證得題中的結(jié)論成立.【詳解】(1)，①若，則，所以在上單調(diào)遞增；②若，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.綜上可得，時，在上單調(diào)遞增；時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.(2)有2個不同零點有2個不同解有2個不同的解，令，則，記，記，又，所以時，時，，則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，.即實數(shù)的取值范圍是.(3)[方法一]【最優(yōu)解】：有2個不同零點，則，故函數(shù)的零點一定為正數(shù).由(2)可知有2個不同零點，記較大者為，較小者為，，注意到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，又由知，，要證，只需，且關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以只需證，只需證，只需證，，只需證在時為正，由于，故函數(shù)單調(diào)遞增，又，故在時為正，從而題中的不等式得證.[方法二]：分析+放縮法有2個不同零點，不妨設(shè)，由得（其中）．且．要證，只需證，即證，只需證．又，所以，即．所以只需證．而，所以，又，所以只需證．所以，原命題得證．[方法三]：若且，則滿足且，由（Ⅱ）知有兩個零點且．又，故進一步有．由可得且，從而．．因為，所以，故只需證．又因為在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故只需證，即，注意時有，故不等式成立．10．設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．【答案】（1）；（2）證明見詳解【分析】（1）由題意求出，由極值點處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)；（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解【詳解】（1）由，，又是函數(shù)的極值點，所以，解得；（2）[方法一]：轉(zhuǎn)化為有分母的函數(shù)由（Ⅰ）知，，其定義域為．要證，即證，即證．（?。┊?dāng)時，，，即證．令，因為，所以在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以．（ⅱ）當(dāng)時，，，即證，由（?。┓治鲋趨^(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以．綜合（ⅰ）（ⅱ）有．[方法二]【最優(yōu)解】：轉(zhuǎn)化為無分母函數(shù)由（1）得，，且，當(dāng)時，要證，，，即證，化簡得；同理，當(dāng)時，要證，，，即證，化簡得；令，再令，則，，令，，當(dāng)時，，單減，故；當(dāng)時，，單增，故；綜上所述，在恒成立.[方法三]：利用導(dǎo)數(shù)不等式中的常見結(jié)論證明令，因為，所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．故當(dāng)且時，且，，即，所以．（ⅰ）當(dāng)時，，所以，即，所以．（ⅱ）當(dāng)時，，同理可證得．綜合（?。áⅲ┑茫?dāng)且時，，即．【整體點評】（2）方法一利用不等式的性質(zhì)分類轉(zhuǎn)化分式不等式：當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為證明，當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為證明，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進而證得；方法二利用不等式的性質(zhì)分類討論分別轉(zhuǎn)化為整式不等式：當(dāng)時，成立和當(dāng)時，成立，然后換元構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性進而證得，通性通法，運算簡潔，為最優(yōu)解；方法三先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性，證得常見常用結(jié)論（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．然后換元得到，分類討論，利用不等式的基本性質(zhì)證得要證得不等式，有一定的巧合性.11．設(shè)函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖象與軸沒有公共點，求a的取值范圍.【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調(diào)性.（2）根據(jù)及（1）的單調(diào)性性可得，從而可求a的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，又，因為，故，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）因為且的圖與軸沒有公共點，所以的圖象在軸的上方，由（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得，故即.12．已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍．【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）.【詳解】（1）當(dāng)時，,令得,當(dāng)時，,當(dāng)時，,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù),設(shè)函數(shù),則,令，得,在內(nèi),單調(diào)遞增；在上,單調(diào)遞減；,又，當(dāng)趨近于時，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個交點，即曲線與直線有兩個交點的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.[方法二]：構(gòu)造差函數(shù)由與直線有且僅有兩個交點知，即在區(qū)間內(nèi)有兩個解，取對數(shù)得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個解．構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得．當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，在內(nèi)最多只有一個零點，不符合題意；當(dāng)時，，令得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．由于，當(dāng)時，有，即，由函數(shù)在內(nèi)有兩個零點知，所以，即．構(gòu)造函數(shù)，則，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故的解為且．所以，實數(shù)a的取值范圍為．[方法三]分離法：一曲一直曲線與有且僅有兩個交點等價為在區(qū)間內(nèi)有兩個不相同的解．因為，所以兩邊取對數(shù)得，即，問題等價為與有且僅有兩個交點．①當(dāng)時，與只有一個交點，不符合題意．②當(dāng)時，取上一點在點的切線方程為，即．當(dāng)與為同一直線時有得直線的斜率滿足：時，與有且僅有兩個交點．記，令，有．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；時，最大值為，所當(dāng)且時有．綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為．[方法四]：直接法．因為，由得．當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，不滿足題意；當(dāng)時，，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．因為，且，所以，即，即，兩邊取對數(shù)，得，即．令，則，令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以，則的解為，所以，即．故實數(shù)a的范圍為．]13．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過坐標(biāo)原點的切線與曲線的公共點的坐標(biāo)．【答案】(1)答案見解析；(2)和.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，導(dǎo)函數(shù)的判別式，當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時，的解為：，當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增；綜上可得：當(dāng)時，在R上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.(2)由題意可得：，，則切線方程為：，切線過坐標(biāo)原點，則：,整理可得：，即：，解得：，則，切線方程為：,與聯(lián)立得，化簡得,由于切點的橫坐標(biāo)1必然是該方程的一個根，是的一個因式，∴該方程可以分解因式為解得,，綜上，曲線過坐標(biāo)原點的切線與曲線的公共點的坐標(biāo)為和.14．已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【詳解】(1)的定義域為．由得，，當(dāng)時，；當(dāng)時；當(dāng)時，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價轉(zhuǎn)化由得，即．由，得．由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，①令，則，當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當(dāng)時，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)?，于是命題轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設(shè)．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因為，所以需證．令，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設(shè)，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，即．[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法由已知得，令，不妨設(shè)，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因為，所以，即又因為，所以，即．因為，所以，即．綜上，有結(jié)論得證．三年模擬一、解答題1．已知函數(shù).(1)證明：；(2)已知函數(shù)與函數(shù)的圖象恰有兩個交點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）的定義域為，且，令，則，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，因此，即（2）設(shè)，將函數(shù)與函數(shù)的圖象恰有兩個交點，轉(zhuǎn)化為恰好有兩個零點，，當(dāng)，即時，令，解得或，所以此時在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以的極大值為，由于，此時最多1個零點，不符合題意，當(dāng)時，即時，所以在單調(diào)遞增，此時最多1個零點，不符合題意，當(dāng)，即時，令，解得或，所以此時在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，由于，，由于，所以，進而，因此，此時最多1個零點，不符合題意，當(dāng)，即時，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，要使恰好有兩個零點，則，解得，當(dāng)時，，，此時在只有一個零點，不符合題意，綜上可知：2．已知函數(shù)，.(1)若，求的單調(diào)區(qū)間.(2)若，且在區(qū)間上恒成立，求a的范圍；(3)若，判斷函數(shù)的零點的個數(shù).【答案】(1)的單調(diào)減區(qū)間為，的單調(diào)增區(qū)間為.(2)(3)時，的零點個數(shù)為1【詳解】（1）當(dāng)時，，.則，由，得；由，得.故的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）在區(qū)間上恒成立，則在上的最小值大于1，①當(dāng)時，，得在上單調(diào)遞增，故，又，則，即不合題意.②當(dāng)時，，由，得或；由，得.故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.i當(dāng)，即時，.ii當(dāng)，即時，，由題有，又，則.綜上a的范圍為（3）由題，.則，設(shè)，則，當(dāng)，得；當(dāng)，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則，又，則，故.則在上單調(diào)遞增.注意到，設(shè)，則，由，得；由，得.則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則，得恒成立，又，則，又，故，使，即時，有唯一零點·.3．已知函數(shù).(1)求曲線在點處的切線方程；(2)若函數(shù)的圖像與的圖像最多有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）解：依題，，又則在點處的切線方程為：，即.（2）解：令，則設(shè)，則，又，所以恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，又時，；時，；則存在唯一的正實數(shù)使得，則，則，故當(dāng)）時，，）時，，所以==.又，則，所以=，若函數(shù)的圖像與的圖像最多有一個公共點，則，即，于是有，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)臅r，等號成立，故，所以解得.【點睛】本題考查了函數(shù)切線方程、函數(shù)方程的根與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于難題.解決本題函數(shù)方程的根的問題的關(guān)鍵是構(gòu)造差函數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，但是由于導(dǎo)函數(shù)的零點無法直接求解，故涉及“隱零點”問題的應(yīng)用，從而設(shè)隱零點使得，從而確定函數(shù)的單調(diào)性得最值=，于是可得參數(shù)不等式，求得結(jié)果.4．已知函數(shù).(1)若函數(shù)在上有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；(2)當(dāng)時，關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.【答案】(1)(2)【詳解】（1），，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，若在上有兩個零點，則解得，故的取值范圍是（2），即，在時恒成立，令，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，令，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，而時，，故，當(dāng)時，不等式為，而時滿足題意，故整數(shù)的最小值為5．已知函數(shù)且.(1)設(shè)，討論的單調(diào)性；(2)若且存在三個零點.1）求實數(shù)的取值范圍；2）設(shè)，求證：.【答案】(1)答案見解析(2)1）；2)證明見解析【詳解】（1）,,因為,定義域為當(dāng)時,,解,得,解,得當(dāng)時,,解,得,解,得綜上,當(dāng)時,增區(qū)間為,減區(qū)間為,當(dāng)時,增區(qū)間為,減區(qū)間為,（2）1）因為且存在三個零點.所以有3個根當(dāng)時,,在上是單調(diào)遞增的,由零點存在定理,方程必有一個負(fù)根.當(dāng),,即有兩個根,令,可轉(zhuǎn)化為與有兩個交點,可得,,是單調(diào)遞增的,可得,,是單調(diào)遞減的,其中,當(dāng),所以可得,即得.2）因為且存在三個零點.設(shè)，,易知其中,,因為,所以,故可知;①由1）可知與有兩個交點,,是單調(diào)遞增的,,,,所以;②,若,則若,構(gòu)造函數(shù),設(shè),因為又因為,所以③因為又因為所以即得④由③④可知,,在上單調(diào)遞增,可得,可知與同號所以,在上單調(diào)遞增.,,又由1)可知所以,,,是單調(diào)遞增的,所以⑤由①②⑤可知6．已知函數(shù),其中.(1)求函數(shù)在點的切線方程;(2)函數(shù)是否存在極值點,若存在求出極值點,若不存在,請說明理由;(3)若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2),不存在極值點;,存在一個極小值點,無極大值點(3)【詳解】（1）解:由題知,,所以在點的切線方程為,即;（2）設(shè),定義域,,當(dāng)時,恒成立,所以在單調(diào)遞增,所以不存在極值點,當(dāng)時,令，當(dāng)時,，當(dāng)時,，所以在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以函數(shù)存在一個極小值點,無極大值點,綜上:時,不存在極值點,時,存在一個極小值點,無極大值點;（3）由題知原不等式,可化為,當(dāng)時,恒成立,當(dāng)時,即,由(2)知在有最小值,所以,,,,,即,,,綜上:.7．已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).(1)求的單調(diào)區(qū)間：(2)若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）∵，∴，當(dāng)時，恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.當(dāng)時，令，得：令，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.綜上：當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由（1）知.當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增且，所以函數(shù)在區(qū)間上不存在零點.所以當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減且，所以函數(shù)在區(qū)間上不存在零點.所以當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又∵，，∴當(dāng)，即時，函數(shù)在區(qū)間上不存在零點；當(dāng)，即時，函數(shù)在區(qū)間上存在零點.綜上，實數(shù)a的取值范圍為.【點睛】用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題時應(yīng)注意如下幾方面：(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域；(2)不能隨意將函數(shù)的2個獨立的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集形式；(3)利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.8．已知函數(shù)在時取得極大值3.(1)求a，b的值；(2)求曲線在點處的切線方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）解方程組即可求解；（2）只需求出，，再利用點斜式寫直線方程即可.【詳解】（1），由題意可得，解得，檢驗：，令，解得或，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，滿足題意；（2）由（1）得，所以.所以，.所以所求切線方程為，即.9．已知定義域為R的函數(shù).當(dāng)時，若是嚴(yán)格增函數(shù)，則稱是一個“函數(shù)”.(1)分別判斷函數(shù)、是否為函數(shù)；(2)是否存在實數(shù)b，使得函數(shù)，是函數(shù)？若存在，求實數(shù)b的取值范圍；否則，證明你的結(jié)論；(3)已知，其中.證明：若是R上的嚴(yán)格增函數(shù)，則對任意，都是函數(shù).【答案】(1)不是，是；(2)存在，；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意，得到，，根據(jù)單調(diào)性得到結(jié)論；（2）令，分與兩種情況，先得到時，嚴(yán)格增，根據(jù)時，要想嚴(yán)格增，得到，驗證后得到函數(shù)為函數(shù)；（3）根據(jù)是R上的嚴(yán)格增函數(shù)求出，再證明時，得到時，從而為函數(shù).【詳解】（1）當(dāng)時，不是嚴(yán)格增函數(shù)，故不是函數(shù)；當(dāng)時，，是嚴(yán)格增函數(shù)，故是函數(shù)；（2）令，當(dāng)時，由，得，令，，則在上恒成立，故在上單調(diào)遞增，所以，故此時，得，從而嚴(yán)格增.當(dāng)時，，后者嚴(yán)格增，當(dāng)且僅當(dāng)，即，又因為當(dāng)時，，從而上，嚴(yán)格增，故為所求.（3），令，，若“嚴(yán)格增”等同于（或），當(dāng)時，恒成立，故符合要求，當(dāng)時，，解得：，當(dāng)時，，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)，故在與上分別嚴(yán)格增，且當(dāng)時，；當(dāng)時，.故此時也是R上的嚴(yán)格增函數(shù).綜上：，下設(shè).則對任意，.令，則.當(dāng)時，，等號成立當(dāng)且僅當(dāng).因，故同上可知，為上的嚴(yán)格增函數(shù)，且.因而，當(dāng)時，從而為函數(shù).【點睛】函數(shù)新定義問題的方法和技巧：（1）可通過舉例子的方式，將抽象的定義轉(zhuǎn)化為具體的簡單的應(yīng)用，從而加深對信息的理解；（2）可用自己的語言轉(zhuǎn)述新信息所表達的內(nèi)容，如果能清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；（3）發(fā)現(xiàn)新信息與所學(xué)知識的聯(lián)系，并從描述中體會信息的本質(zhì)特征與規(guī)律；（4）如果新信息是課本知識的推廣，則要關(guān)注此信息與課本中概念的不同之處，以及什么情況下可以使用書上的概念.10．已知(1)討論的單調(diào)性；(2)對，使得恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）先求導(dǎo)，然后分，討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進而得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）先通過（1）確定時不成立，再通過時，求出函數(shù)最小值，得到關(guān)于的不等式，構(gòu)造函數(shù)，研究其單調(diào)性進而求解.【詳解】（1）i）當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增；ii）當(dāng)時，令解得：可得時，時，所以在時單調(diào)遞減，在時單調(diào)遞增綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞增當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）由（1）可知，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，沒有最小值，故當(dāng)時，整理得，即令可得在上單調(diào)遞增且所以的解集是綜上所述：的取值范圍是11．已知函數(shù)為常數(shù).(1)若，求的最小值；(2)在（1）的條件下，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由可求出，然后利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的最小值；（2）將問題轉(zhuǎn)化為證成立，令，則只需證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值大于等于零即可.【詳解】（1）由題得，則，所以，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.（2）證明：由（1）知：，所以要證即證，即證，即證，因為，所以即證，令，則只需證明，由（1）知，令，則在遞增，所以當(dāng)時，取得最小值0，所以，即，所以原不等式成立.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，第（2）問解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為，然后通過換元，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可，考查數(shù)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題.12．設(shè)函數(shù)，函數(shù)（）.(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)若，有三個不同實根，，（），試比較，，的大小關(guān)系，并說明理由.【答案】(1)答案見解析(2)，理由見解析【分析】（1）求導(dǎo)分與兩種情況，