湖南省益陽市資陽區(qū)過鹿坪鎮(zhèn)聯(lián)校高三數(shù)學文期末試卷含解析

湖南省益陽市資陽區(qū)過鹿坪鎮(zhèn)聯(lián)校高三數(shù)學文期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列函數(shù)為偶函數(shù)的是（）A．

B．

C．

D．參考答案：D2.右邊程序運行后，輸出的結果為

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.定義行列式運算，將函數(shù)的圖象向左平移（）個單位，所得圖象對應的函數(shù)為奇函數(shù)，則的最小值為（

） A．

B．

C．

D．參考答案：A略4.設函數(shù)，將的圖像向右平移個單位，使得到的圖像關于原點對稱，則的最小值為（

） A． B． C． D．參考答案：D5.已知集合，在區(qū)間上任取一實數(shù)，則“”的概率為

(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：D略6.定義在R上的可導函數(shù)，其導函數(shù)記為，滿足，且當時，恒有.若，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A．(－∞,1]

B．

C．[1,+∞)

D．參考答案：D7.如果雙曲線的兩個焦點分別為、，一條漸近線方程為那么它的兩條準線間的距離是

（A）（B）4（C）2（D）1參考答案：答案：C解析：雙曲線的標準方程為且①漸近線方程為其中一條是②③由①②③式聯(lián)立解得兩條準線間的距離【高考考點】雙曲線的標準方程及幾何性質【易錯點】：求錯漸近線方程及兩準線間距離公式【備考提示】：熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程及幾何性質8.．甲、乙、丙、丁、戊五人出差，分別住在、、、、號房間，現(xiàn)已知：（）甲與乙不是鄰居；（）乙的房號比丁小；（）丙住的房是雙數(shù)；（）甲的房號比戊大．根據(jù)上述條件，丁住的房號是（

）． A．號 B．號 C．號 D．號參考答案：B解：根據(jù)題意可知，、、、、號房間分別住的是乙、戊、丁、丙、甲，故丁住的房號是．故選．9.設實數(shù)x，y滿足約束條件，則目標函數(shù)z=x﹣3y的取值范圍為（）A．[﹣12，1] B．[﹣12，0] C．[﹣2，4] D．[1，4]參考答案：C【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，結合直線的截距，利用數(shù)形結合進行求解即可．【解答】解：由z=x﹣3y得y=，作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖（陰影部分）：平移直線y=，由圖象可知當直線y=經(jīng)過點C（4，0）時，直線y=的截距最小，此時z最大，此時z=4，經(jīng)過點B時，直線截距最大，此時z最小，由，解得，即B（，）．代入目標函數(shù)z=x﹣3y，得z=﹣3×=﹣2，即﹣2≤z≤4，故選：C．10.等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，其中n∈N*，則下列命題錯誤的是（）A．若an＞0，則Sn＞0B．若Sn＞0，則an＞0C．若an＞0，則{Sn}是單調遞增數(shù)列D．若{Sn}是單調遞增數(shù)列，則an＞0參考答案：D【考點】數(shù)列的求和．【專題】等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】由等差數(shù)列的性質可得：?n∈N*，an＞0，則Sn＞0，反之也成立．a(chǎn)n＞0，d＞0，則{Sn}是單調遞增數(shù)列．若{Sn}是單調遞增數(shù)列，則d＞0，而an＞0不一定成立．即可判斷出正誤．【解答】解：由等差數(shù)列的性質可得：?n∈N*，an＞0，則Sn＞0，反之也成立．a(chǎn)n＞0，d＞0，則{Sn}是單調遞增數(shù)列．因此A，B，C正確．對于D：{Sn}是單調遞增數(shù)列，則d＞0，而an＞0不一定成立．故選：D．【點評】本題考查了等差數(shù)列的通項公式與前n項和直角的關系、等差數(shù)列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖是某個四面體的三視圖，該四面體的體積為

．參考答案：12略12.i是虛數(shù)單位，計算=

．參考答案：略13.已知向量⊥，||=3，則?=

．參考答案：9【考點】9R：平面向量數(shù)量積的運算．【分析】由已知結合平面向量是數(shù)量積運算求得答案．【解答】解：由⊥，得?=0，即?（）=0，∵||=3，∴．故答案為：9．【點評】本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，考查了向量模的求法，是基礎的計算題．14.若在R上可導，，則____________．參考答案：略15.從邊長為1的正方形的中心和頂點這五點中，隨機（等可能）取兩點，則該兩點間的距離為的概率是___________。參考答案：

若使兩點間的距離為，則為對角線一半，選擇點必含中心，概率為.16.的展開式中各項系數(shù)的和為243，則該展開式中常數(shù)項為▲參考答案：10略17.設命題p：α＝，命題q：sinα＝cosα，則p是q的___________條件．參考答案：充分不必要三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分15分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面底面，點在棱上，且．求證：平面平面；已知與底面所成角為，求二面角的正切值．參考答案：19.已知橢圓Γ的中心在原點，焦點在x軸，離心率為，且長軸長是短軸長的倍．（1）求橢圓Γ的標準方程；（2）設P（2，0）過橢圓Γ左焦點F的直線l交Γ于A，B兩點，若對滿足條件的任意直線l，不等式恒成立，求λ的最小值．參考答案：【考點】直線與橢圓的位置關系．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出橢圓方程；（2）設出A，B坐標，討論直線l的斜率，根據(jù)根與系數(shù)的關系得出，求出的最大值即可；【解答】解：（1）設橢圓Γ的標準方程為（a＞b＞0），則，解得a2=2，b2=1，∴橢圓Γ的標準方程為．（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），∴=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2．①當直線l垂直x軸時，x1=x2=﹣1，y1=﹣y2且y12=，∴=9﹣=．②當直線l不垂直于x軸時，設直線l方程為：y=k（x+1），聯(lián)立方程組，得（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=k2（x1+1）（x2+1）=k2（x1x2+x1+x2+1）=．∴=++4﹣==﹣＜．∵對滿足條件的任意直線l，不等式恒成立，∴λ≥，即λ的最小值為．20.某數(shù)學老師對本校2013屆高三學生的高考數(shù)學成績按1:200進行分層抽樣抽取了20名學生的成績，并用莖葉圖記錄分數(shù)如圖所示，但部分數(shù)據(jù)不小心丟失，同時得到如下所示的頻率分布表：分數(shù)段（分）[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]總計頻數(shù)

頻率0.25

（1）求表中的值及分數(shù)在[90,100)范圍內的學生人數(shù)，并估計這次考試全校學生數(shù)學成績的及格率（分數(shù)在[90,150]內為及格）.（2）從成績大于等于110分的學生中隨機選兩人，求這兩人成績的平均分不小于130分的概率.參考答案：解：（1）由莖葉圖可知分數(shù)在[50，70）范圍內的有2人，在范圍內有3人,…………………2分又分數(shù)在范圍內的頻率為，所以分數(shù)在范圍內的頻率為，所以分數(shù)在范圍內的學生人數(shù)為，由題中的莖葉圖可知分數(shù)在范圍內的學生人數(shù)為4，所以分數(shù)在范圍內的學生人數(shù)為.

……………………4分從題中的頻率分布表可知分數(shù)在[70,90)范圍內的頻率為，所以分數(shù)在[70,90)范圍內的學生人數(shù)為，所以數(shù)學成績及格的學生為13人，所以以估計這次考試全校學生數(shù)學成績的及格率為…………6分（2）設A表示事件“從成績大于等于110分的學生中隨機選兩人，其平均成績大于等于130分”，由莖葉圖可知成績大于等于110分的學生有5人，記這5人分別為，…7分則選取學生的所有可能結果為共10種情況，…………9分事件A包含的結果有11分…………………12分略21.（本小題滿分12分）在中，，分別為邊上的點，且.沿將折起（記為），使二面角為直二面角.（1）當點在何處時，的長度最小，并求出最值；

（2）當?shù)拈L度最小時，求直線與平面所成的角的大小.參考答案：解：⑴如圖，以為原點建立空間直角坐標系，設，則，所以，當且僅當取等號。此時為邊的中點，為邊的中點。故當為邊的中點時，的長度最小，其值為；…………6分⑵設為面的法向量，因，故。取，得。又因，故。因此，從而，所以；…………12分22.已知函數(shù)f（x）=ax2﹣ex（a∈R），f′（x）是f（x）的導函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）當a=1時，求曲線y=f（x）在點（0，f（0））處的切線方程；（2）若f（x）有兩個極值點x1，x2，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若當x≥0時，不等式f（x）≤﹣x﹣1恒成立，求實數(shù)a的最大值．參考答案：考點：利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程；利用導數(shù)研究函數(shù)的極值；導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用．專題：導數(shù)的綜合應用．分析：（Ⅰ）由題意求出f′（x），再求出f′（0）和f（0）的值，代入點斜式進行化簡，化為一般式方程；（Ⅱ）先構造函數(shù)g（x）=f′（x），再將題意轉化為x1，x2是方程g（x）=0的兩個實根，再求出g′（x），對a進行分類分別求出g（x）的單調區(qū)間以及最大值，再令最大值大于零，列出關于a的不等式求解；（Ⅲ）由題意先構造函數(shù)h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1，轉化為h（x）≥0在[0，+∞）恒成立問題，再求出h（x）的單調性和最小值，關鍵是對a進行分類后，得到“當a=0時，ex≥1+x”這一結論在后面的應用．解答：心理年齡解：（Ⅰ）由題意得，當a=1時，f（x）=x2﹣ex，∴f′（x）=2x﹣ex，則切線的斜率為f′（0）=﹣1，∵f（0）=﹣e0=﹣1，∴所求的切線方程為：x+y+1=0；（Ⅱ）設g（x）=f′（x）=2ax﹣ex，由題意得，x1，x2是方程g（x）=0（即2ax﹣ex=0）的兩個實根，則g′（x）=2a﹣ex，當a≤0時，g′（x）＜0，g（x）在定義域上遞減，即方程g（x）=0不可能有兩個實根，當a＞0時，由g′（x）=0，得x=ln2a，當x∈（﹣∞，ln2a）時，g′（x）＞0，則g（x）在（﹣∞，ln2a）上遞增，當x∈（ln2a，+∞）時，g′（x）＜0，則g（x）在（﹣∞，ln2a）上遞減，∴gmax（x）=g（ln2a）=2aln2a﹣2a，∵方程g（x）=0（即2ax﹣ex=0）有兩個實根，∴2aln2a﹣2a＞0，解得2a＞e即，（Ⅲ）設h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1，則由題意得h（x）=ex﹣ax2﹣x﹣1≥0在[0，+∞）恒成立，則h′（x）=ex﹣2ax﹣1，當a=0時，h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上單調遞增，∴h（x）≥h（0）=0，即ex≥1+x，當且僅當x=0時，等號成立，∴h′（x）=ex﹣2ax﹣1≥1+x﹣2ax﹣1=x（1﹣2a），當1﹣2a≥0時，即a≤，此時h′（x）≥0，h（x）在[0，+∞）上單調遞增，∴h（x）≥h（0）=e0﹣0﹣1=0，即h（x）≥0，因而a