黑龍江省佳木斯市四校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期11月期中 數(shù)學(xué)試題

2023--2024學(xué)年度第一學(xué)期四校聯(lián)考期中考試高二數(shù)學(xué)試題考試時間：120分鐘注意事項：1．答題前請粘貼好條形碼，填寫好自己的姓名、班級、考號等信息．2．本試卷分第I卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分，滿分150分。第I卷（選擇題）單選題（每小題5分）．1．在空間中，下列結(jié)論正確的是（）A．＝＋ B．＝＋＋C．＝＋－ D．＝＋2．在直三棱柱中，若，，，則（

）A．B．C．D.3．過直線與的交點，與直線平行的直線方程為（

）A．B．C．D．4．圓上的點到直線距離的取值范圍是（

）.A． B． C． D．5．已知，兩點，直線l過點且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍為（

）A．B．C．D．6．圓與圓相交于兩點，則等于（

）A． B． C． D．7．已知，分別是橢圓：的左、右焦點，是橢圓在第一象限內(nèi)的一點，若，則（

）A． B．2 C． D．8．已知單位向量，，中，，，則（

）A． B．5 C．6 D．二、多選題（每小題5分）．9．已知圓M的一般方程為，則下列說法正確的是（

）A．圓M的圓心為B．圓M的直徑為10C．圓M被x軸截得的弦長為8D．圓M關(guān)于直線對稱的圓的方程是10．若，，與的夾角為，則的值為（

）A．17 B． C． D．111．已知直線：和直線：，下列說法正確的是（

）A．始終過定點B．若，則或-3C．若，則或2D．當時，始終不過第三象限12．設(shè)橢圓的左右焦點為，，P是C上的動點，則下列結(jié)論正確的是（

）．A．B．P到最小的距離是2C．面積的最大值為6D．P到最大的距離是9第Ⅱ卷（非選擇題）三、填空題（每小題5分）.13．已知空間向量，且與垂直，則等于．14．已知橢圓的左、右焦點分別為、，上頂點為A.若為正三角形，則該橢圓的離心率為.15．在正方體中，為的中點，則異面直線與所成角的正弦值為．16．過橢圓上一動點分別向圓：和圓：作切線，切點分別為，，則的取值范圍為.四、解答題（17題10分，18、19、20、21、22題各12分.）17．已知為圓上一動點，為直線上一個動點．(1)求圓心的坐標和圓的半徑；(2)求的最小值．18．如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段A1B1的中點，F(xiàn)為線段AB的中點.(1)求點F到平面AEC1的距離；(2)求平面AEC1與平面EFCC1所成銳二面角的余弦值.19．已知直線經(jīng)過點，圓．(1)若直線與圓C相切，求直線的方程；(2)若直線被圓C截得的弦長為，求直線的方程．20．已知橢圓的兩個焦點分別為，且橢圓過點.(1)求橢圓的標準方程；(2)過點作直線交橢圓于兩點，是弦的中點，求直線的方程21．已知橢圓的離心率為，橢圓上的點到焦點的最小距離是．(1)求橢圓的方程；(2)傾斜角為的直線交橢圓于兩點，已知，求直線的一般式方程．22．如圖，在三棱錐中，底面，.點，，分別為棱，，的中點，是線段的中點，，.

(1)求證：∥平面；(2)在線段上是否存在一點，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出線段的值，若不存在，說明理由.2023--2024學(xué)年度第一學(xué)期四校聯(lián)考期中考試高二數(shù)學(xué)試題答案1．B【詳解】對于A，因為，所以A錯誤，對于B，因為，所以B正確，對于C，因為，所以C錯誤，對于D，因為，所以D錯誤，故選：B2．C【分析】根據(jù)空間向量線性運算的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】由已知得，故選：C3．A【詳解】由已知，可設(shè)所求直線的方程為：，即，又因為此直線與直線平行，所以：，解得：，所以所求直線的方程為：，即．故選：A．4．A【詳解】圓的標準方程為，所以圓心坐標為，半徑，圓心到直線的距離為，所以圓上的點到該直線的距離的取值范圍是，即，故選：A..5．C【詳解】由題意，可作圖：則直線l介于與之間，的斜率，的斜率，即直線l的斜率，故選：C.6．B【詳解】由圓與圓，將兩圓方程相減整理得直線的方程：，又，即，圓心為，半徑為，所以到直線的距離為，所以.故選：B.7．A【詳解】由橢圓的方程可得，，所以，設(shè)，則，由在第一象限可得，即，因為，所以，整理可得，解得或2（舍，即，，所以在中，，故選：A．

8．D【詳解】因為，，且，，為單位向量，則.故選：D9．BC【詳解】由題意知圓M的一般方程為，故圓的標準方程為，則圓心為，半徑為5，則直徑為10，A錯誤，B正確；圓心到x軸的距離為3，故圓M被x軸截得的弦長為，C正確；設(shè)圓心關(guān)于直線對稱的點的坐標為，則，解得，而圓M關(guān)于直線對稱的圓的半徑為5，故圓M關(guān)于直線對稱的圓的方程為，即，D錯誤，故選：BC10．AC【詳解】因為，，與的夾角為，所以，解得或.故選AC.11．ACD【詳解】：過點，A正確；當時，，重合，故B錯誤；由，得或2，故C正確；：始終過，斜率為負，不會過第三象限，故D正確.故選：ACD12．AD【詳解】由橢圓方程可得：，則，對A：根據(jù)橢圓的定義可得，A正確；對B：根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當P是橢圓的左頂點時，P到的距離最小，最小值為，B錯誤；對C：根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當P是橢圓的上頂點時，的面積最大，最大值為，C錯誤；對D：根據(jù)橢圓性質(zhì)可知當P是橢圓的右頂點時，P到的距離最大，最小值為，D正確.故選：AD.13．5【詳解】因為，且與垂直，所以，解得．故答案為：5./【詳解】為正三角形，則，則橢圓的離心率故答案為：15．【詳解】設(shè)正方體棱長為2，以點為坐標原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則，則，設(shè)異面直線與所成角為，所以，所以異面直線與所成角的正弦值為:.故答案為：.16．【詳解】，，，易知、為橢圓的兩個焦點，，

根據(jù)橢圓定義，設(shè)，則，即，則，當時，取到最小值．當時，取到最大值．故的取值范圍為：.故答案為：.17．【詳解】（1）解：由題意，圓的方程可化為，所以圓心的坐標為。。。。。。。。。。。。。2分圓的半徑為．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分解：圓心到直線的距離為。。。。。。。。。。。。。3分所以，即的最小值為．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分18．【詳解】（1）解：以為原點，，，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間坐標系，則，，，，.∴，，，.。。。。。。。。。。。。。。2分設(shè)平面的法向量為，則，∴，∴，取，則，，∴，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分又，∴點到平面的距離為.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分（2）解：設(shè)平面的法向量為，則，∴，∴，取，則，∴，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分∴，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分∴平面與平面所成銳二面角的余弦值.19.【詳解】（1）圓心坐標為，半徑為2..。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分當直線斜率不存在時，直線的方程為：，與圓相切，滿足題意；。。。。。。。。。1分當直線的斜率存在時，設(shè)直線為：，即，。。。。。。。。。。。。1分則圓C的圓心到直線l的距離，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分解得，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分故直線l的方程為．綜上，直線l的方程為或．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分（2）因為直線l被圓C所截得的弦長為，所以圓心到直線l的距離為．.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分由（1）知，直線的斜率一定存在，設(shè)直線為：，即，。。1分則圓心到直線l的距離，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分解得或．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分故直線l的方程為或．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分20．【詳解】（1）橢圓的兩個焦點分別為，設(shè)橢圓的標準方程為，且，則①，又橢圓過點，所以②，聯(lián)立①②解得，所以橢圓的標準方程為；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分（2）由題意可知直線的斜率存在，且直線過點，設(shè)直線的方程為，即，設(shè)，則，消去得，所以，又是弦的中點，所以，解得，故直線的方程為。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分方法二：中點弦（略）21．【詳解】（1）由橢圓的離心率為，即，可得，由橢圓上的點到焦點的最小距離是，可得，解得，，，所以橢圓的方程．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分（2）解：因為直線的傾斜角為，可設(shè)的方程，由方程組，整理得，可得，解得，設(shè)，，則，，又由，解得，滿足，所以直線的一般式方程為或．。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分22．【詳解】（1）因為底面，，建立空間直角坐標系如圖所示，

則，。。。。。。。。。1分所以，設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分又，可得，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。