備戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識解讀專題07手拉手模型綜合應(yīng)用

專題07手拉手模型綜合應(yīng)用（知識解讀）【專題說明】手拉手模型是指有共同頂點(diǎn)的兩個等腰三角形，頂角相等。因?yàn)檫^共同頂點(diǎn)的四條邊，像人的兩雙手，所以通常稱為手拉手模型。手拉手模型常和旋轉(zhuǎn)結(jié)合,在考試中作為幾何綜合題目出現(xiàn)?！痉椒记伞款愋鸵唬旱冗吶切问掷郑?）如圖，B、C、D三點(diǎn)共線，▲ABC和▲CDE是等邊三角形，連接AD、BE，交于點(diǎn)P記AC、BE交點(diǎn)為M，AD、CE交點(diǎn)為N（2）連接MN（4）記AD、BE交點(diǎn)為P，連接PC：（5）結(jié)論五：∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=60°連AE:結(jié)論六：P點(diǎn)是▲ACE的費(fèi)馬點(diǎn)（PA+PC+PE值最?。╊愋投赫叫问掷秩鐖D，四邊形ABCD和四邊形CEFG均為正方形，連接BE、DG【典例分析】【類型一：等邊三角形手拉手】【典例1】（2021春?西安期末）如圖，在△ABC中，BC＝5，以AC為邊向外作等邊△ACD，以AB為邊向外作等邊△ABE，連接CE、BD．（1）若AC＝4，∠ACB＝30°，求CE的長；（2）若∠ABC＝60°，AB＝3，求BD的長．【變式1-1】（2021九上·吉林期末）如圖①，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC（1）將△CDE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°時，在圖②中補(bǔ)充圖形，并直接寫出BE（2）當(dāng)△CDE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，AD與BE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立？若成立，請你利用圖③（3）將△CDE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)A，D，E三點(diǎn)在同一條直線上時，請直接寫出AD【變式1-2】（2021九上·宜春期末）如圖（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，當(dāng)△DCE旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，D，E①∠ACB的度數(shù)為②線段BE，CE與AE之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展研究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上．若（3）探究發(fā)現(xiàn)：圖1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)A，D，E不在同一直線上時，設(shè)直線AD與BE相交于點(diǎn)O【變式1-3】（2021春?金牛區(qū)校級期中）類比探究：（1）如圖1，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若AP＝8，BP＝15，CP＝17，求∠APB的大??；（提示：將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處）（2）如圖2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F為BC上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°．求證：EF2＝BE2+FC2；（3）如圖3，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，若AC＝1，求OA+OB+OC的值．【典例2】如圖，在△ABC與△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，連接AD，BE．（1）求證：△ACD∽△BCE；（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面積．【變式2-1】如圖1，在Rt△ABC中，AC＝BC＝5，等腰直角△BDE的頂點(diǎn)D，E分別在邊BC，AB上，且BD＝，將△BDE繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α＜360°）．（1）問題發(fā)現(xiàn)當(dāng)α＝0°時，的值為，直線AE，CD相交形成的較小角的度數(shù)為；（2）拓展探究試判斷：在旋轉(zhuǎn)過程中，（1）中的兩個結(jié)論有無變化？請僅就圖2的情況給出證明：（3）問題解決當(dāng)△BDE旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點(diǎn)在同一條直線上時，請直接寫出△ACD的面積．【類型二：正方形手拉手】【典例3】【問題背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如圖①所示的位置擺放，點(diǎn)B，C，E在同一條直線上，其中∠ECF＝90°．【初步探究】（1）如圖②，將等腰直角三角形CEF繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，連接BF，DE，請直接寫出BF與DE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系：；【類比探究】（2）如圖③，將（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分別改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，且，其他條件不變．①判斷線段BF與DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②連接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，求DF2+BE2的值．【變式3】（2021秋?荔灣區(qū)校級期中）以△ABC的AB，AC為邊分別作正方形ADEB，正方形ACGF，連接DC，BF．（1）CD與BF有什么數(shù)量與位置關(guān)系？說明理由．（2）利用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)，在此題中，△ADC可看成由哪個三角形繞哪點(diǎn)旋轉(zhuǎn)多少角度得到的．專題07手拉手模型綜合應(yīng)用（知識解讀）【專題說明】手拉手模型是指有共同頂點(diǎn)的兩個等腰三角形，頂角相等。因?yàn)檫^共同頂點(diǎn)的四條邊，像人的兩雙手，所以通常稱為手拉手模型。手拉手模型常和旋轉(zhuǎn)結(jié)合,在考試中作為幾何綜合題目出現(xiàn)?！痉椒记伞款愋鸵唬旱冗吶切问掷郑?）如圖，B、C、D三點(diǎn)共線，▲ABC和▲CDE是等邊三角形，連接AD、BE，交于點(diǎn)P記AC、BE交點(diǎn)為M，AD、CE交點(diǎn)為N（2）連接MN（4）記AD、BE交點(diǎn)為P，連接PC：（5）結(jié)論五：∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPE=60°連AE:結(jié)論六：P點(diǎn)是▲ACE的費(fèi)馬點(diǎn)（PA+PC+PE值最?。╊愋投赫叫问掷秩鐖D，四邊形ABCD和四邊形CEFG均為正方形，連接BE、DG【典例分析】【類型一：等邊三角形手拉手】【典例1】（2021春?西安期末）如圖，在△ABC中，BC＝5，以AC為邊向外作等邊△ACD，以AB為邊向外作等邊△ABE，連接CE、BD．（1）若AC＝4，∠ACB＝30°，求CE的長；（2）若∠ABC＝60°，AB＝3，求BD的長．【解答】解：（1）∵△ABE與△ACD是等邊三角形，∴AC＝AD，AB＝AE，∴∠DCA＝∠CAD＝∠EAB＝60°，∴∠EAB+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD．在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD（SAS），∴EC＝BD，又∵∠ACB＝30°，∴∠DCB＝∠ACB+∠DCA＝90°，∵CD＝AC＝4，BC＝5，∴BD＝＝＝，∴CE＝；（2）如圖，作EK垂直于CB延長線于點(diǎn)K．∵△ABE與△ACD是等邊三角形，∴AC＝AD，AB＝AE，∴∠DCA＝∠CAD＝∠EAB＝60°，∴∠EAB+∠BAC＝∠CAD+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD．在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD（SAS），∴EC＝BD，∵∠ABC＝60°，∠ABE＝60°，∴∠EBK＝60°，∴∠BEK＝30°，∴BK＝BE＝，∴EK＝＝＝，∴EC＝＝＝7，∴BD＝EC＝7．【變式1-1】（2021九上·吉林期末）如圖①，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6，點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC（1）將△CDE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)90°時，在圖②中補(bǔ)充圖形，并直接寫出BE（2）當(dāng)△CDE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，AD與BE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系是否仍然成立？若成立，請你利用圖③（3）將△CDE繞點(diǎn)C逆時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，當(dāng)A，D，E三點(diǎn)在同一條直線上時，請直接寫出AD【答案】（1）解：如圖所示，BE=2（2）解：AD=BE，AD證明：延長AD交BE于點(diǎn)H，∵∠ACB∠ACD∠BCE∴∠ACD又∵CD=CE，∴△ACD∴AD=BE，在Rt△ABC中，∴∠2+∠3+∠4=90°，∴∠AHB∴AD⊥（3）AD=5【變式1-2】（2021九上·宜春期末）如圖（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，當(dāng)△DCE旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，D，E①∠ACB的度數(shù)為②線段BE，CE與AE之間的數(shù)量關(guān)系是．（2）拓展研究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點(diǎn)A，D，E在同一直線上．若（3）探究發(fā)現(xiàn)：圖1中的△ACB和△DCE，在△DCE旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)A，D，E不在同一直線上時，設(shè)直線AD與BE相交于點(diǎn)O【解答】（1）①∵△ABC∴∠ACB故答案為：60°；②∵△ACB和△∴AC=CB，CD=∴∠ACD∴△ADC∴AD=∵△DCE∴CE=∴BE+故答案為：BE（2）解：∵△ACB和△∴AC=CB，∠CD∴∠ACD∴△ADC∴AD=BE=2∵△DCE∴∠CDE=∠CED=45°，∴∠CEB=∠CDA∴∠AEB∴△AEB∴AB（3）如圖3，由（1）知△ADC∴∠CAD∵∠CAB∴∠OAB∴∠AOE如圖4，同理求得：∠AOB∴∠AOE∴∠AOE的度數(shù)是60°或120°【變式1-3】（2021春?金牛區(qū)校級期中）類比探究：（1）如圖1，等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若AP＝8，BP＝15，CP＝17，求∠APB的大小；（提示：將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處）（2）如圖2，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F為BC上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°．求證：EF2＝BE2+FC2；（3）如圖3，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，若AC＝1，求OA+OB+OC的值．【解答】解：（1）如圖1，將△APB繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△ACP′，∴△ACP′≌△ABP，∴AP′＝AP＝8、CP′＝BP＝15、∠AP′C＝∠APB，由題意知旋轉(zhuǎn)角∠PAP′＝60°，∴△APP′為等邊三角形，∴PP′＝AP＝8，∠AP′P＝60°，∵PP′2+P′C2＝82+152＝172＝PC2，∴∠PP′C＝90°，∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°（2）如圖2，把△ABE繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′，則AE′＝AE，CE′＝CE，∠CAE′＝∠BAE，∵∠BAC＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠CAF＝∠CAF+∠CAE′＝∠FAE′＝45°，∴∠EAF＝∠E′AF，且AE＝AE'，AF＝AF，∴△AEF≌△AE′F（SAS），∴EF＝E′F，∵∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACB+∠ACE′＝90°，∴∠FCE′＝90°，∴E′F2＝CF2+CE′2，∴EF2＝BE2+CF2；（3）如圖3，將△AOB繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°至△A′O′B處，連接OO′，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2，∴BC＝＝，∵△AOB繞點(diǎn)B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，∴△A′O′B如圖所示；∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，∵∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∵△AOB繞點(diǎn)B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△A′O′B，∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，∴△BOO′是等邊三角形，∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BO′O＝120°+60°＝180°，∴C、O、A′、O′四點(diǎn)共線，在Rt△A′BC中，A′C＝＝，∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．【典例2】如圖，在△ABC與△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，連接AD，BE．（1）求證：△ACD∽△BCE；（2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面積．【解答】（1）證明：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD＝∠BCE，又∵，∴△ACD∽△BCE；（2）解：過A作AG⊥CD于G，由（1）知，∠ACD＝∠DCB＝∠BCE＝45°，∴AG＝CG，在Rt△ACG中，由勾股定理得：∴CG＝AG＝3，∴S＝＝．【變式2-1】如圖1，在Rt△ABC中，AC＝BC＝5，等腰直角△BDE的頂點(diǎn)D，E分別在邊BC，AB上，且BD＝，將△BDE繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為α（0°≤α＜360°）．（1）問題發(fā)現(xiàn)當(dāng)α＝0°時，的值為，直線AE，CD相交形成的較小角的度數(shù)為；（2）拓展探究試判斷：在旋轉(zhuǎn)過程中，（1）中的兩個結(jié)論有無變化？請僅就圖2的情況給出證明：（3）問題解決當(dāng)△BDE旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點(diǎn)在同一條直線上時，請直接寫出△ACD的面積．【解答】解：（1）∵△ABC與△BDE都是等腰直角三角形，∴DE∥AC，∴，∴，∵∠B＝45°，∴直線AE，CD相交形成的較小角的度數(shù)為45°，故答案為：；45；（2）無變化，理由如下：延長AE，CD交于點(diǎn)F，CF交AB于點(diǎn)G，∵△ABC與△BDE都是等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠DBE＝45°，，∴∠ABC﹣∠ABD＝∠DBE﹣∠ABD，∴∠CBD＝∠ABE，又∵，∴△ABE∽△CBD，∴，∠BAE＝∠BCD，∴∠F＝180°﹣∠BAE﹣∠AGF＝180°﹣∠BCD﹣∠BGC＝∠ABC＝45°；（3）如圖，當(dāng)DE在AB上方時，作AH⊥CD于H，由A，D，E三點(diǎn)在同一條直線上知，∠ADB＝90°，∴AD＝，由（2）知∠ADH＝45°，，∴AH＝＝，CD＝，∴S△ACD＝CD×AH＝＝12+，當(dāng)DE在AB下方時，同理可得S△ACD＝×CD×AH＝＝12﹣，【類型二：正方形手拉手】【典例3】【問題背景】正方形ABCD和等腰直角三角形CEF按如圖①所示的位置擺放，點(diǎn)B，C，E在同一條直線上，其中∠ECF＝90°．【初步探究】（1）如圖②，將等腰直角三角形CEF繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，連接BF，DE，請直接寫出BF與DE的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系：；【類比探究】（2）如圖③，將（1）中的正方形ABCD和等腰直角三角形CEF分別改成矩形ABCD和Rt△CEF，其中∠ECF＝90°，且，其他條件不變．①判斷線段BF與DE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②連接DF，BE，若CE＝6，AB＝12，求DF2+BE2的值．【解答】解：（1）如圖②，BF與CD交于點(diǎn)M，與DE交于點(diǎn)N，∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCD＝90°，∵△ECF是等腰直角三角形，∴CF＝CE，∠ECF＝90°，∴∠BCD＝∠ECF，∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，∴∠BCF＝∠DCE，∴△BCF≌△DCE（SAS），∴BF＝DE，∠CBF＝∠CDE，∵∠BMC＝∠DMF，∠CBF+∠BMC＝90°，∴∠CDE+∠DMF＝90°，∴∠BND＝90°，∴BF⊥DE，故答案為：BF＝DE，BF⊥DE；（2）①如圖③，，理由：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BCD＝90°，∵∠ECF＝90°，∴∠BCD+∠DCF＝∠ECF+∠DCF，∴∠BCF＝∠DCE，∵，∴△BCF∽△DCE，∴＝；②如圖③，連接BD，∵△BCF∽△DCE，∴∠CBF＝∠CDE，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝12，∵CE＝6，，∴＝，∴CF＝8，B