三角函數(shù)課件12087

高中數(shù)學(xué)必修4教材分析與教學(xué)建議2021/5/91

數(shù)學(xué)教育方法的核心是學(xué)生的再創(chuàng)造.教師不應(yīng)該把數(shù)學(xué)當(dāng)作一個(gè)已經(jīng)完成了的形式理論來(lái)教，不應(yīng)該將各種定義、規(guī)則、算法灌輸給學(xué)生，而是應(yīng)該創(chuàng)造合適的條件，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，用自己的體驗(yàn)，用自己的思維方式，重新創(chuàng)造有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí).

2021/5/92課堂教學(xué)內(nèi)容組織主要形式為：?jiǎn)栴}情境→學(xué)生活動(dòng)→意義建構(gòu)→回顧反思→數(shù)學(xué)理論→數(shù)學(xué)運(yùn)用2021/5/93三角函數(shù)平面上的向量（簡(jiǎn)稱(chēng)平面向量）三角恒等變換2021/5/94三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用．在本模塊中，學(xué)生將通過(guò)實(shí)例，逐步理解三角函數(shù)的概念及其基本性質(zhì)，認(rèn)識(shí)三角函數(shù)與實(shí)際生活的聯(lián)系，體會(huì)三角函數(shù)在解決具有周期變化規(guī)律的問(wèn)題中的作用．課標(biāo)要求2021/5/95向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景．在本模塊中，學(xué)生將了解向量豐富的實(shí)際背景，理解平面向量及其運(yùn)算的意義，能用向量語(yǔ)言和方法表述和解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問(wèn)題，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力．2021/5/96三角恒等變換在數(shù)學(xué)中有一定的應(yīng)用，同時(shí)有利于發(fā)展學(xué)生的推理能力和運(yùn)算能力．在本模塊中，學(xué)生將運(yùn)用向量的方法推導(dǎo)基本的三角恒等變換公式，由此出發(fā)導(dǎo)出其他的三角恒等變換公式，并能運(yùn)用這些公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換，發(fā)展學(xué)生的推理和運(yùn)算能力．2021/5/97本章結(jié)構(gòu)內(nèi)容和要求本章內(nèi)容的定位教學(xué)建議2021/5/98第一章三角函數(shù)

（約16課時(shí)）2021/5/99一、本章結(jié)構(gòu)

弧度周期現(xiàn)象任意角三角函數(shù)三角函數(shù)線(xiàn)同角三角函數(shù)關(guān)系誘導(dǎo)公式三角函數(shù)圖象性質(zhì)綜合運(yùn)用2021/5/910二、內(nèi)容與要求（1）任意角、弧度了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化．（2）三角函數(shù)①借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義．2021/5/911二、內(nèi)容與要求②借助單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（π/2±α,π±α的正弦、余弦、正切），能畫(huà)出y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖象，了解三角函數(shù)的周期性．③借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0，2π]，正切函數(shù)在（-π/2，π/2）上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大和最小值、圖象與x軸交點(diǎn)等）．2021/5/912④理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x+cos2x=1，sinx/cosx=tanx．⑤結(jié)合具體實(shí)例，了解y=Asin（ωx+φ）的實(shí)際意義；能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫(huà)出

y=Asin（ωx+φ）的圖象．觀察參數(shù)A，ω

，φ對(duì)函數(shù)圖象變化的影響．⑥會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型．2021/5/9131．引言提供背景：自然界廣泛地存在著周期性現(xiàn)象，圓周上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)簡(jiǎn)單又基本的例子．提出問(wèn)題：用什么樣的數(shù)學(xué)模型來(lái)刻畫(huà)周期性運(yùn)動(dòng)？明確任務(wù)：建構(gòu)這樣的數(shù)學(xué)模型．教學(xué)的起點(diǎn)是：對(duì)周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)（分析）研究．教材的定位是：展示對(duì)周期現(xiàn)象進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的過(guò)程，即建構(gòu)刻畫(huà)周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型的（思維）過(guò)程．三、本章內(nèi)容的定位2021/5/9142．教科書(shū)的的特點(diǎn)蘇教版教材把本章定位為“展示建構(gòu)刻畫(huà)周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型的（思維）過(guò)程”，為了保證這個(gè)定位的落實(shí)，或者說(shuō)，作為定位的具體體現(xiàn)，教材形成了鮮明的特點(diǎn)．2021/5/915采用以問(wèn)題鏈為線(xiàn)索的呈現(xiàn)方式．

既然教材要展示“思維過(guò)程”，而思維是從問(wèn)題開(kāi)始的，思維的過(guò)程就是不斷地提出問(wèn)題，解決問(wèn)題的過(guò)程．所以教材采用了以問(wèn)題鏈展開(kāi)的呈現(xiàn)方式．注意提出問(wèn)題的環(huán)節(jié)，注意問(wèn)題間的邏輯聯(lián)系，強(qiáng)化目標(biāo)（建構(gòu)刻畫(huà)周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型）的指向作用．2021/5/916

任意角三角函數(shù)概念無(wú)疑是本部分的核心概念．蘇教版的教材和其它的教材一樣是在講了“任意角”、“弧度制”以后，通過(guò)對(duì)銳角三角函數(shù)的考察后建立起任意角三角函數(shù)的概念的．應(yīng)該指出的，盡管在建立三角函數(shù)概念的程序上看起來(lái)是相同的，只是在具體的處理方法上有些“微妙“的差異，可是不應(yīng)該小看了這里的差異，因?yàn)檫@些差異正是對(duì)教材不同定位的表現(xiàn)．案例：任意角三角函數(shù)2021/5/917教材中的問(wèn)題鏈（1）720°是怎樣的一個(gè)角？（2）具有相同終邊的角彼此之間有什么關(guān)系？（3）在本章引言中，我們用（r，l）表示點(diǎn)P，那么r，l與α之間具有怎樣的關(guān)系？（4）用怎樣的數(shù)學(xué)模型建立(x，y)與(r，α)之間的關(guān)系？（5）怎樣將銳角的三角函數(shù)推廣到任意角？2021/5/918以“數(shù)學(xué)地研究”的一般程序來(lái)組織、選取教學(xué)內(nèi)容．實(shí)際問(wèn)題－建立數(shù)學(xué)模型－數(shù)學(xué)模型進(jìn)行研究－利用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題2021/5/919教材充分發(fā)揮學(xué)習(xí)“函數(shù)”一章的經(jīng)驗(yàn)在建構(gòu)“刻畫(huà)周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型”中的作用，在結(jié)構(gòu)上盡可能地與“函數(shù)”一章相同．為了突出“建構(gòu)—研究—應(yīng)用”這一主線(xiàn)，教材對(duì)傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容做了“強(qiáng)干削枝”的處理．如抽出“三角變換”的內(nèi)容，另立一章；把6種三角函數(shù)減為3種等等．意圖：一方面可以讓學(xué)生利用已有的經(jīng)驗(yàn)，掌握學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系，加深對(duì)知識(shí)的理解；另一方面又突出了基本的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)地研究問(wèn)題的方法，有利于正確的數(shù)學(xué)觀念的形成．2021/5/920突出周期性本章的研究對(duì)象是周期性現(xiàn)象，建構(gòu)的是“刻畫(huà)周期性現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型”，在教材中，突出了周期性，把它看成是教材出發(fā)點(diǎn)和歸屬．教材P4引言中“日出日落，寒來(lái)暑往…等”生活中的摩天輪的運(yùn)動(dòng)圓周上的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)

“周而復(fù)始”

“周期現(xiàn)象”

“三角函數(shù)的應(yīng)用”

2021/5/921案例：三角函數(shù)的性質(zhì)在很多教材中，總是通過(guò)作出三角函數(shù)的圖象，然后再由圖象的觀察得到三角函數(shù)的性質(zhì)的．對(duì)此，蘇教版的教材做了不同的處理．2021/5/922已知f(1)＝3，f(37)＝?“周而復(fù)始，重復(fù)出現(xiàn)”xyO4258132021/5/923

對(duì)于，如果存在一個(gè)非零常數(shù)

T，使得定義域內(nèi)的每一個(gè)x，都滿(mǎn)足：

f(x＋T)＝f(x)，則函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù)．T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．函數(shù)f(x)xyO42582021/5/924xyO425

注：①定義域向數(shù)軸兩端無(wú)限延伸；②周期有無(wú)數(shù)個(gè)③不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期．8——最小正周期；2021/5/925

三角函數(shù)的周期性：①f(x)＝sinx②f(x)＝cosx③f(x)＝tanx

tan(

＋k

)＝tan

，k∈Z最小正周期：2

最小正周期：2

最小正周期：

2021/5/926

T＝4

T＝4T＝4T＝例求下列函數(shù)的周期：①f(x)＝sinx；②g(x)＝sin(x－)；③h(x)＝2sin(x－)；④f(x)＝Asin(

x＋

)，其中A≠0，

＞0．2021/5/927加強(qiáng)幾何直觀，強(qiáng)調(diào)形數(shù)結(jié)合的思想

三角函數(shù)的基礎(chǔ)是幾何中的相似形和圓，而研究方法又主要是代數(shù)的，因此三角函數(shù)集中地體現(xiàn)了形數(shù)結(jié)合的思想，在代數(shù)和幾何之間建立了初步的聯(lián)系．

在本章中，充分滲透了數(shù)形結(jié)合的思想．一方面是以形助數(shù)，突出了幾何直觀對(duì)理解抽象數(shù)學(xué)概念的作用．

（1）在三角函數(shù)及其性質(zhì)的學(xué)習(xí)中，注意充分發(fā)揮單位圓的直觀作用，借助單位圓認(rèn)識(shí)任意角、任意角的三角函數(shù)，理解三角函數(shù)的周期性、誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式以及三角函數(shù)的圖象．2021/5/928（2）通過(guò)角終邊之間的對(duì)稱(chēng)關(guān)系來(lái)研究誘導(dǎo)公式．（3）借助三角函數(shù)的圖象理解三角函數(shù)在一個(gè)周期上的單調(diào)性、最大和最小值、圖象與軸的交點(diǎn)等性質(zhì)；另一方面以數(shù)助形，例如應(yīng)用三角函數(shù)的周期性來(lái)簡(jiǎn)化函數(shù)圖象的作圖．2021/5/929案例誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)

提出問(wèn)題：由三角函數(shù)的定義可以知道：終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等．除此以外還有一些角，它們的終邊具有某種特殊關(guān)系，如關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)等，那么它們之間的三角函數(shù)值之間具有什么樣的關(guān)系呢？2021/5/930問(wèn)題終邊的的位置關(guān)系對(duì)稱(chēng)的位置關(guān)系三角函數(shù)值之間的關(guān)系誘導(dǎo)公式2021/5/931四、教學(xué)建議準(zhǔn)確把握教學(xué)要求

（1）與過(guò)去的教材相比，新教材強(qiáng)調(diào)了三角函數(shù)是一種“數(shù)學(xué)模型”．2021/5/932

（2）與以往的三角函數(shù)內(nèi)容相比較，本章提出了對(duì)三角函數(shù)作為刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)模型的認(rèn)識(shí)的要求，加強(qiáng)了對(duì)借助單位圓理解三角函數(shù)的概念、性質(zhì)，以及通過(guò)建立三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題等內(nèi)容．2021/5/933（3）“標(biāo)準(zhǔn)”刪減了任意角的余切、正割、余割，已知三角函數(shù)求角，反三角函數(shù)符號(hào)等內(nèi)容．

“標(biāo)準(zhǔn)”降低了對(duì)任意角概念，弧度制概念，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)的奇偶性的要求．2021/5/934

這樣的處理，把重點(diǎn)放在使學(xué)生理解三角函數(shù)及其基本性質(zhì)、體會(huì)三角函數(shù)在解決具有周期變化規(guī)律的問(wèn)題中的作用上，而對(duì)一些細(xì)枝末節(jié)的內(nèi)容不再作過(guò)多要求．教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)把握好這種變化，遵循“標(biāo)準(zhǔn)”所規(guī)定的內(nèi)容和要求，不要隨意補(bǔ)充已被刪減的知識(shí)點(diǎn)．也不要引進(jìn)那些繁瑣的、技巧性高的變換題目．例如：求定義域、值域;已知sina=m求的其他三角函數(shù)值;用誘導(dǎo)公式進(jìn)行復(fù)雜變換的問(wèn)題等．2021/5/935（4）但是也不能放松基本的技能訓(xùn)練，應(yīng)該讓學(xué)生記牢并熟練地使用誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)關(guān)系式，能用五點(diǎn)法畫(huà)出正（余）弦函數(shù)的圖象等，因?yàn)檫@是利用三角函數(shù)解決問(wèn)題的基礎(chǔ)．2021/5/936注意從數(shù)學(xué)模型的角度來(lái)認(rèn)識(shí)三角函數(shù)，突出數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)學(xué)模型建構(gòu)中的作用．（1）要突出數(shù)學(xué)模型思想．教學(xué)中應(yīng)當(dāng)充分利用章引言提供的情境，引導(dǎo)學(xué)生利用學(xué)習(xí)《函數(shù)》的經(jīng)驗(yàn)，自覺(jué)地參與建構(gòu)刻畫(huà)周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型的活動(dòng)，使學(xué)生從學(xué)習(xí)之初就建立起從數(shù)學(xué)模型的角度看三角函數(shù)的意識(shí)，在此基礎(chǔ)上，要充分注意運(yùn)用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的教學(xué)，使學(xué)生經(jīng)歷運(yùn)用三角函數(shù)模型描述周期現(xiàn)象、解決實(shí)際問(wèn)題的全過(guò)程．2021/5/937

（2）要充分發(fā)揮形數(shù)結(jié)合思想方法在本章的運(yùn)用．發(fā)揮單位圓、三角函數(shù)線(xiàn)、圖象的作用．2021/5/938（3）運(yùn)用和深化函數(shù)思想方法．

三角函數(shù)是學(xué)生在高中階段系統(tǒng)學(xué)習(xí)的又一個(gè)基本初等函數(shù)，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意引導(dǎo)學(xué)生以數(shù)學(xué)l中學(xué)到的研究函數(shù)的方法為指導(dǎo)來(lái)學(xué)習(xí)本章知識(shí)，即在函數(shù)觀點(diǎn)的指導(dǎo)下，學(xué)習(xí)三角函數(shù)，這對(duì)進(jìn)一步理解三角函數(shù)概念，理解函數(shù)思想方法對(duì)提高學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的數(shù)學(xué)思維水平都是十分重要的．2021/5/939

案例：用集合與對(duì)應(yīng)的函數(shù)觀點(diǎn)看三角函數(shù)，這是一種“多對(duì)一”的函數(shù)；用函數(shù)研究中的基本問(wèn)題（對(duì)應(yīng)關(guān)系、定義域、值域、表示方法、圖象，性質(zhì)等）來(lái)理解學(xué)習(xí)三角函數(shù)的進(jìn)程；在討論y=Asin(ωx+φ)的圖象時(shí)，滲透函數(shù)變換與圖象變換(平移、伸縮)的關(guān)系．（需要注意分寸）2021/5/940以問(wèn)題為中心，充分發(fā)揮理性思維在建構(gòu)數(shù)學(xué)模型中的作用．恰當(dāng)?shù)厥褂眯畔⒓夹g(shù)．2021/5/941

案例：三角函數(shù)的應(yīng)用2021/5/942例1．在圖中，點(diǎn)O為做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體的平衡位置，取向右的方向?yàn)槲矬w位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為3s，且物體向右運(yùn)到到距離平衡位置最遠(yuǎn)處時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)．（1）求物體對(duì)平衡位置的位移x(cm)和時(shí)間t(s)之間的函數(shù)關(guān)系；（2）求該物體在t＝5s時(shí)的位置．用什么模型描述物體的運(yùn)動(dòng)？如何確定模型中的參數(shù)？已知條件“物體向右運(yùn)到到距離平衡位置最遠(yuǎn)處時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)”怎樣應(yīng)用？2021/5/943例1．在圖1中，點(diǎn)O為做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體的平衡位置，取向右的方向?yàn)槲矬w位移的正方向，若已知振幅為3cm，周期為3s，且物體向右運(yùn)到到距離平衡位置最遠(yuǎn)處時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)．2021/5/944回顧說(shuō)明：注意簡(jiǎn)諧振動(dòng)中的振幅、周期、頻率、初相的意義；本題的難點(diǎn)在于初相的確定；書(shū)寫(xiě)函數(shù)解析式時(shí)，需要根據(jù)自變量的實(shí)際意義，書(shū)寫(xiě)定義域.2021/5/945圖2例2．如圖2，某地一天從6～14時(shí)的溫度變化曲線(xiàn)近似滿(mǎn)足函數(shù)y＝Asin(ωx＋

)＋b．（1）求這一天該時(shí)段的最大溫差；（2）寫(xiě)出這段曲線(xiàn)的函數(shù)解析式．2021/5/946例3．一半徑為3m的水輪如圖3所示，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)4圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)（圖中點(diǎn)P0）開(kāi)始計(jì)算時(shí)間．（1）將點(diǎn)P距離水面的高度z（m）表示為時(shí)間t(s)的函數(shù)；時(shí)刻t時(shí)，物體位于何處？時(shí)刻t時(shí)，物體距離水面的高度如何計(jì)算？如何確定

？2021/5/9472021/5/948（2）點(diǎn)P第一次到達(dá)最高點(diǎn)大約要多少時(shí)間？2021/5/949例4．海水受日月的引力，在一定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮汐，一般的早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近船塢；卸貨后落潮時(shí)返回海洋．下面給出了某港口在某季節(jié)每天幾個(gè)時(shí)刻的水深．（1）選用一個(gè)三角函數(shù)來(lái)近似描述這個(gè)港口的水深和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，并給出在整點(diǎn)時(shí)的水深的近似數(shù)值(精確到0.001)；2021/5/950為什么是“12”？為什么是

=0？2021/5/951（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4m，安全條例規(guī)定至少要有1.5m的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時(shí)能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？2021/5/952（2）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為4m，安全條例規(guī)定至少要有1.5m的安全間隙（船底與海底的距離），該船何時(shí)能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？2021/5/953（3）若船的吃水深度為4m，安全間隙為1.5m，該船在2：00開(kāi)始卸貨，吃水深度以每小時(shí)0.3m的速度減少，那么該船在什么時(shí)間必須停止卸貨，將船駛向較深的水域？如何求交點(diǎn)坐標(biāo)？2021/5/954

三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，可以用來(lái)研究很多問(wèn)題，在刻畫(huà)周期變化規(guī)律、預(yù)測(cè)未來(lái)等方面發(fā)揮著十分重要的作用．具體的，我們可以利用搜集到的數(shù)據(jù)，作出相應(yīng)的“散點(diǎn)圖”，通過(guò)觀察散點(diǎn)圖并進(jìn)行函數(shù)擬合而獲得具體函數(shù)模型，最后利用這個(gè)函數(shù)模型來(lái)解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題．實(shí)際問(wèn)題通常涉及復(fù)雜的數(shù)據(jù)．因此往往需要使用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器．2021/5/955第二章平面向量

（約12課時(shí)）2021/5/956一、本章結(jié)構(gòu)

平面向量幾何表示向量的運(yùn)算加法數(shù)乘數(shù)量積向量的應(yīng)用背景符號(hào)表示坐標(biāo)表示減法2021/5/957二、內(nèi)容和要求（1）平面向量的實(shí)際背景及基本概念

通過(guò)力和力的分析等實(shí)例，了解向量的實(shí)際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示．2021/5/958二、內(nèi)容和要求（2）向量的線(xiàn)性運(yùn)算①通過(guò)實(shí)例，掌握向量加、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義．②通過(guò)實(shí)例，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義，以及兩個(gè)向量共線(xiàn)的含義．③了解向量的線(xiàn)性運(yùn)算性質(zhì)及其幾何意義．2021/5/959（3）平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示①了解平面向量的基本定理及其意義；②掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示；③會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減與數(shù)乘運(yùn)算；④理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線(xiàn)的條件．了解向量的非正交分解．2021/5/960（4）平面向量的數(shù)量積①通過(guò)物理中“功”等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義；②體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；③掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；④能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系．了解向量投影的概念（教材中的鏈接）線(xiàn)段的定比分比及應(yīng)用不作要求2021/5/961（5）向量的應(yīng)用

經(jīng)歷用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)向量是一種處理幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題等的工具，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力．2021/5/962三、本章內(nèi)容的定位

對(duì)一種具有豐富的幾何背景與物理背景的近代數(shù)學(xué)模型的研究．（1）向量是具有深刻的幾何背景和物理背景的數(shù)學(xué)模型.2021/5/963三、本章內(nèi)容的定位（2）向量是近代數(shù)學(xué)中重要的、基本的概念，也是一種基本的重要的數(shù)學(xué)工具

①向量既是代數(shù)的對(duì)象，又是幾何的對(duì)象．作為代數(shù)對(duì)象，向量可以運(yùn)算；作為幾何對(duì)象，向量有方向，可以刻畫(huà)直線(xiàn)、平面等幾何對(duì)象；

2021/5/964

向量有長(zhǎng)度，可以刻畫(huà)長(zhǎng)度、面積、體積等幾何度量問(wèn)題；向量由大小和方向兩個(gè)因素確定：大小反映了向量數(shù)的特征，方向反映了向量形的特征．

向量是集數(shù)形于一身的數(shù)學(xué)概念，是數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合思想的典型體現(xiàn)．2021/5/965三、本章內(nèi)容的定位②向量是抽象代數(shù)、線(xiàn)性代數(shù)、泛函分析中的基本數(shù)學(xué)模型，是理解這些數(shù)學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ)．2021/5/966三、本章內(nèi)容的定位③向量也是重要的物理模型．平面力場(chǎng)、平面位移場(chǎng)以及二者混合產(chǎn)生的做功問(wèn)題，都可以用向量空間來(lái)刻畫(huà)和描述．向量不僅溝通了代數(shù)與幾何的聯(lián)系，而且，體現(xiàn)了近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想，它在高中數(shù)學(xué)中的重要地位是不言而喻的．2021/5/967教材特點(diǎn)1．按照數(shù)學(xué)模型研究的一般程序展開(kāi)教材：（1）和《函數(shù)》、《三角函數(shù)》類(lèi)似，本章也是對(duì)一種數(shù)學(xué)模型的研究．教材也是按照對(duì)數(shù)學(xué)模型研究的一般程序即“建構(gòu)模型——研究模型——應(yīng)用模型”的順序展開(kāi)的．這樣的編寫(xiě)順序不僅符合向量知識(shí)的發(fā)展過(guò)程，而且可以喚起學(xué)生在《函數(shù)》、《三角函數(shù)》學(xué)習(xí)中獲得的經(jīng)驗(yàn)，在助于發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主動(dòng)權(quán)．2021/5/968（2）本章首先現(xiàn)實(shí)根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)豐富的情境，從大量的實(shí)際背景中抽象出向量的概念（數(shù)學(xué)模型），然后用數(shù)學(xué)的方法研究向量及其運(yùn)算的性質(zhì)，最后再運(yùn)用數(shù)學(xué)模型去解決實(shí)際問(wèn)題．2021/5/969

意圖：這樣處理體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生和發(fā)展的過(guò)程，突出了數(shù)學(xué)的來(lái)龍去脈，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，形成對(duì)數(shù)學(xué)完整的認(rèn)識(shí)，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和理性思維的目的，同時(shí)也有助于數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的發(fā)展．2021/5/970案例向量的概念及表示2021/5/971

小狗向西北方向逃竄，如果金錢(qián)豹向正東方向追．請(qǐng)問(wèn):金錢(qián)豹能追上小狗嗎？2021/5/972

在四臺(tái)發(fā)動(dòng)機(jī)的推動(dòng)下，返回艙的速度由8米／秒迅速下降到1米／秒，如同一片羽毛，輕輕地落在草地上．著陸場(chǎng)總指揮隋起勝?gòu)亩鷻C(jī)中聽(tīng)到了費(fèi)俊龍的聲音：“我是神舟六號(hào)，我已著陸．”費(fèi)俊龍、聶海勝隔著舷窗，在向人們招手——返回艙內(nèi)柔和的燈光，映著他們的微笑．這一刻，距他們離開(kāi)大地4天又19個(gè)多小時(shí)，他們的總行程為325萬(wàn)余公里．（注：費(fèi)俊龍身高1.68米）神舟六號(hào)載人飛船現(xiàn)實(shí)生活中，還有哪些量只有大小沒(méi)有方向？哪些量既有大小又有方向？2021/5/973

距離、身高、時(shí)間、質(zhì)量等位移、力、速度、加速度、電場(chǎng)強(qiáng)度等既有大小又有方向的量叫向量.

數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大??；向量的定義：區(qū)別：數(shù)量向量向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.

2021/5/974（3）以問(wèn)題為中心，用問(wèn)題鏈為線(xiàn)索揭示知識(shí)的發(fā)生過(guò)程．2021/5/9752．突出向量的物理背景和幾何背景（1）教科書(shū)特別注意從豐富的物理背景和幾何背景中引人向量概念．接著教材又以位移為原型，建立了向量的概念，接著用有向線(xiàn)段給出了向量的兒何背景，并定義向量的模、單位向量等概念．

意圖：可以使學(xué)生認(rèn)識(shí)到向量在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題、物理問(wèn)題以及數(shù)學(xué)問(wèn)題中的作用，使學(xué)生建立起理解和運(yùn)用向量概念的背景支撐．2021/5/976（2）在有關(guān)向量的運(yùn)算中，教材也注意突出向量運(yùn)算的原型．

以位移的“積累”為原型定義向量的加法和數(shù)乘；以功為原型定義向量的數(shù)量積．在研究向量的線(xiàn)性運(yùn)算時(shí)，充分發(fā)揮有向線(xiàn)段幾何背景的作用．如用有向線(xiàn)段來(lái)解釋數(shù)乘的幾何意義．在向量基本定理中，提供力的分解和速度分解的背景．（3）在向量的應(yīng)用中，揭示它豐富的背景．2021/5/9773．突出運(yùn)算的核心地位（1）運(yùn)算是向量的核心內(nèi)容，對(duì)中學(xué)生來(lái)說(shuō)，根據(jù)現(xiàn)實(shí)的原型，自覺(jué)地“構(gòu)造”運(yùn)算，還是第一次．雖然學(xué)生對(duì)運(yùn)算并不陌生，但是，他們眼中的運(yùn)算只有數(shù)的運(yùn)算、字母（式）的運(yùn)算．現(xiàn)在要學(xué)習(xí)向量的運(yùn)算，這對(duì)于運(yùn)算的理解時(shí)一個(gè)突破．2021/5/978

（2）教材在處理向量運(yùn)算的內(nèi)容時(shí)，注意和數(shù)的運(yùn)算進(jìn)行類(lèi)比，這樣既可以有效地利用學(xué)生有關(guān)數(shù)的運(yùn)算的經(jīng)驗(yàn)，而且可以幫助學(xué)生發(fā)展對(duì)運(yùn)算的認(rèn)識(shí)．

例如：和數(shù)進(jìn)行類(lèi)比，在建立了向量的運(yùn)算以后，研究向量的運(yùn)算（加、減、數(shù)乘等等）和它們滿(mǎn)足的運(yùn)算律，在定義了運(yùn)算以后，探討運(yùn)算的應(yīng)用，就都是很自然的了．

類(lèi)比推理．2021/5/979（3）和數(shù)學(xué)中的概念一樣，數(shù)學(xué)對(duì)象的運(yùn)算也是一種數(shù)學(xué)模型，它也有一個(gè)建構(gòu)的過(guò)程，它同樣是從原型中抽象出來(lái)的．教材特別注意展示這個(gè)建構(gòu)過(guò)程．

如：向量的加法就是從位移的積累，從分力和合力的關(guān)系中抽象出來(lái)的．特別地，向量的數(shù)量積是以功為原型抽象出來(lái)的．2021/5/980（4）向量既是代數(shù)對(duì)象，又是幾何對(duì)象，因而向量具有多種表示方法．作為代數(shù)對(duì)象，向量可以用一個(gè)“符號(hào)”表示；作為幾何對(duì)象，向量可以用有向線(xiàn)段表示．在學(xué)習(xí)了向量基本定理以后，還可以用坐標(biāo)來(lái)表示．實(shí)際上，向量的每一種表示方法，都建立了一種語(yǔ)言．對(duì)向量的運(yùn)算也可以用不同的語(yǔ)言來(lái)表示．在教材中，先用幾何語(yǔ)言即有向線(xiàn)段來(lái)表示向量的線(xiàn)性運(yùn)算．然后再用代數(shù)語(yǔ)言來(lái)坐標(biāo)語(yǔ)言來(lái)表示．這樣就使向量成為聯(lián)系代數(shù)和幾何的橋梁，成為解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題和數(shù)學(xué)問(wèn)題的工具．（5）向量是通過(guò)運(yùn)算來(lái)解決問(wèn)題2021/5/9814．突出向量與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系，突出向量的工具作用（1）教材特別注意聯(lián)系實(shí)際，注意向量與相關(guān)學(xué)科（如：力學(xué)、物理學(xué)、幾何、代數(shù)、三角）的聯(lián)系．注意用向量方法解決各類(lèi)問(wèn)題．（2）在例題和習(xí)題中都安排了向量在相鄰領(lǐng)域內(nèi)的應(yīng)用題．例：P84例1物理中的力的合成問(wèn)題

P84例2幾何問(wèn)題

P85習(xí)題2.52速度問(wèn)題2021/5/982四、教學(xué)建議1．明確教學(xué)要求2021/5/9832．讓學(xué)生參與建構(gòu)活動(dòng)（1）要讓學(xué)生參與建構(gòu)向量及其運(yùn)算的活動(dòng)，經(jīng)歷建構(gòu)過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到向量是一種描述現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型．（2）要讓學(xué)生了解向量的物理背景、幾何背景，知道它的原型．（3）通過(guò)建構(gòu)活動(dòng)，讓學(xué)生熟悉向量及其運(yùn)算的幾何意義，物理意義，這是靈活運(yùn)用向量解決問(wèn)題的基礎(chǔ)．2021/5/9843．讓學(xué)生明確研究向量問(wèn)題的基本思路（1）向量是代數(shù)的對(duì)象．作為代數(shù)對(duì)象，向量可以運(yùn)算，而且正是因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的威力才得到充分的發(fā)揮；（2）向量又是幾何對(duì)象，所以向量可以刻畫(huà)兒何元素(點(diǎn)、線(xiàn)、面，利用向量的方向可以與三角函數(shù)發(fā)生聯(lián)系．2021/5/985（3）因?yàn)橄蛄俊耙簧矶巍?，所以幾何圖形的許多性質(zhì)會(huì)表現(xiàn)為向量的運(yùn)算性質(zhì)，這樣我們就可以通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)描述和研究幾何元素之間的關(guān)系（如直線(xiàn)的平行、垂直等），確定幾何圖形的長(zhǎng)度、面積、夾角等等．在貫穿向量教學(xué)的全過(guò)程中，都要向?qū)W生講清本章研究的總思路，讓學(xué)生明確向量研究的基本思路．特別是在學(xué)完本章后，更應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生反思，因?yàn)檫@對(duì)于向量方法的理解是至關(guān)重要的．2021/5/986（4）讓學(xué)生理解向量方法的實(shí)質(zhì)①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面兒何問(wèn)題摶化為向量問(wèn)題;②通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題;③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．2021/5/987案例平面向量的數(shù)量積2021/5/988活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，引出新課問(wèn)題1：請(qǐng)同學(xué)們回顧一下，我們已經(jīng)研究了向量的哪些運(yùn)算？這些運(yùn)算的結(jié)果是什么？

向量的加法、減法及數(shù)乘運(yùn)算．

問(wèn)題2：請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)回憶，我們是怎么引入向量的加法運(yùn)算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運(yùn)算的？

物理模型→概念→性質(zhì)→運(yùn)算律→應(yīng)用．2021/5/989活動(dòng)二：探究數(shù)量積的概念2021/5/990|F|

|s|cos

AB

OsFabW＝|F|

|s|cos

|a|

|b|cos

2021/5/991|F|

|s|cos

AB

OsFabW＝|a|

|b|cos

|F|

|s|cos

對(duì)于兩個(gè)非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB＝

(0o≤

≤180o)叫做向量a與b的夾角．OAOB2021/5/992數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角是

，我們把數(shù)量|a||b|cos

叫做向量a和b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a

b，即

a

b＝|a||b|cos

．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．2021/5/993

問(wèn)題3：向量的數(shù)量積運(yùn)算與線(xiàn)性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？線(xiàn)性運(yùn)算的結(jié)果是向量，而數(shù)量積的結(jié)果則是數(shù)，這個(gè)數(shù)值的大小不僅和向量與的模有關(guān)，還和它們的夾角有關(guān)．2021/5/994問(wèn)題：已知向量a與b的夾角為

，|a|＝4，|b|＝3，分別在下列條件下求a

b：

(1)

＝45o；

(2)

＝90o；

(3)

＝120o．2021/5/995問(wèn)題：已知|a|＝4，|b|＝3，分別在下列條件下求a

b：

(1)a⊥b

；(2)a∥b．2021/5/996(1)當(dāng)

＝0o時(shí)，a與b同向，此時(shí)，

a

b＝|a||b|；(2)當(dāng)

＝180o時(shí)，a與b反向，此時(shí)，

a

b＝－|a||b|；(3)當(dāng)

＝90o時(shí)，則稱(chēng)向量a與b垂直，記作a⊥b．此時(shí)，a

b＝0；(4)a

a＝|a|2或|a|＝

a

a．2021/5/997活動(dòng)三：探究數(shù)量積的運(yùn)算規(guī)律2021/5/998

問(wèn)題：向量a與b的夾角為45o，|a|＝4，|b|＝3，試求：a

b，b

a，(2a)

b，a

(2b)和2(a

b)．2021/5/999運(yùn)算律(1)

a

b＝b

a；(2)

(

a)

b＝a

(

b)＝

(a

b)＝

a

b；(3)(a＋b)

c＝a

c＋b

c．思考：向量的數(shù)量積是否滿(mǎn)足結(jié)合律？2021/5/9100案例向量的應(yīng)用2021/5/9101向量是既有大小又有方向的量，它既有代數(shù)特征，又有幾何特征．通過(guò)向量可以實(shí)現(xiàn)代數(shù)問(wèn)題與幾何問(wèn)題的互相轉(zhuǎn)化，所以向量是數(shù)形結(jié)合的橋梁．同時(shí)，向量也是解決許多物理問(wèn)題的有力工具．2021/5/9102一、向量在物理中的應(yīng)用2021/5/9103例１如圖所示，無(wú)彈性的細(xì)繩OA，OB的一端分別固定在A，B

處，同質(zhì)量的細(xì)繩OC

下端系著一個(gè)稱(chēng)盤(pán)，且使得OB⊥OC，試分析OA，OB，OC

三根繩子受力的大小，判斷哪根繩受力最大．

受力分析2021/5/9104解設(shè)OA，OB，OC

三根繩子所受的力分別為a，b，c，則a＋b＋c＝０．a(chǎn)，b的合力為c′＝a＋b，｜c(diǎn)｜＝|c′|．如圖，在OB′C′A′中，因?yàn)镺B′⊥

OC′，所以|OA′|

＞｜OB′｜，|OA′|

＞｜OC′｜．即｜a｜＞｜b｜，｜a｜＞｜c(diǎn)｜，所以細(xì)繩OA

受力最大．2021/5/9105二、向量在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用2021/5/9106例2用向量法證明：直徑所對(duì)的圓周角是直角．已知：如圖，線(xiàn)段AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為圓周上異于A、B的任意一點(diǎn)．求證：∠ACB是直角．ABCO2021/5/9107即OC·

AB=0，所以O(shè)C⊥

AB．即OA·(OC－OB)

=0

，

OB·

(OC－OA)=0．例3已知：OA⊥BC，OB⊥

AC．求證：OC⊥

AB

．證：因?yàn)镺A⊥BC，OB⊥

AC．所有OA·BC=0

，OB·

AC=0．①②②－①得

OC·

(OB－OA)=0，2021/5/9108例3已知：OA⊥BC，OB⊥

AC．求證：OC⊥

AB

．你能否畫(huà)出一個(gè)幾何圖形來(lái)解釋例3？你知道向量等式OA·BC=OA·AC給出的是什么幾何關(guān)系嗎？2021/5/9109第三章三角恒等變換

（約8課時(shí)）

2021/5/9110C

C

+

S

S

+

C2

T2

T

T

+

S2

一、本章結(jié)構(gòu)

2021/5/9111二、內(nèi)容和要求（1）經(jīng)歷用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)向量方法的作用．2021/5/9112二、內(nèi)容和要求（2）能從兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系．2021/5/9113二、內(nèi)容和要求（3）能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換（包括引導(dǎo)導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶）．（簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及恒等式證明指三角函數(shù)變形的次數(shù)一般不超過(guò)三次，整個(gè)解題中三角函數(shù)公式的使用一般不超過(guò)5個(gè)）2021/5/9114

本章的主要教學(xué)內(nèi)容是三角函數(shù)式的恒等變換．只涉及一個(gè)角的恒等變換在《三角函數(shù)》中已經(jīng)做了研究．（1）是（在第1章的基礎(chǔ)上）對(duì)三角函數(shù)這一數(shù)學(xué)模型（運(yùn)算）性質(zhì)的進(jìn)一步研究；（2）是用演繹方法（借助于運(yùn)算），建立數(shù)學(xué)知識(shí)體系的一個(gè)范例．三、本章內(nèi)容的定位2021/5/9115說(shuō)明：（1）三角恒等變換公式實(shí)質(zhì)上是三角函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，而運(yùn)算性質(zhì)是函數(shù)的重要性質(zhì)；是對(duì)函數(shù)研究的一個(gè)方面（可以和對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)類(lèi)比）；（2）如果不研究三角變形就不能發(fā)揮三角的工具價(jià)值；（3）三角變換公式繁多，但相互之間存在著緊密的邏輯聯(lián)系，從一個(gè)公式出發(fā)，就可以推出其它的公式．這種類(lèi)似于公理化的結(jié)構(gòu)，在中學(xué)數(shù)學(xué)中是不可多得的．另一方面，三角恒等變換也是一種演繹推理的方式，應(yīng)該充分發(fā)揮它在培養(yǎng)學(xué)生推理能力方面的作用．2021/5/9116教材特點(diǎn)：（1）把演繹的知識(shí)結(jié)構(gòu)放在“對(duì)周期性現(xiàn)象作數(shù)學(xué)研究”的大背景下展開(kāi)．（2）本章的教學(xué)內(nèi)容是按照三角變換公式之間的邏輯聯(lián)系展開(kāi)的．2021/5/9117C

C

+

S

S

+

C2

T2

T

T

+

S2

本章中的三角變換公式都是由余弦的差角公式推導(dǎo)出來(lái)的，化歸思想是推導(dǎo)這些公式的主導(dǎo)思想．在教學(xué)中，不論是在推導(dǎo)公式時(shí)，還是在應(yīng)用公式時(shí)，都應(yīng)該自始至終地貫徹這一思想．2021/5/9118這是一個(gè)邏輯的演繹的體系，為了突出三角函數(shù)的主干內(nèi)容，特別是突出三角函數(shù)作為描述周期變化的數(shù)學(xué)模型這一本質(zhì)，在教科書(shū)中，這個(gè)演繹的體系是放在對(duì)周期現(xiàn)象進(jìn)行研究的大背景下建立的．

在引言中就從周期運(yùn)動(dòng)合成的角度提出三角變換的課題，在討論了和差角公式以后，教科書(shū)又通過(guò)《鏈接》（P111），給出了正弦函數(shù)、余弦函數(shù)疊加的問(wèn)題的結(jié)論．本章就構(gòu)成了一個(gè)相對(duì)完整的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用的過(guò)程．意圖：有助于學(xué)生從總體上理解三角變換．2021/5/9119（3）運(yùn)用問(wèn)題鏈，展現(xiàn)公式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過(guò)程在傳統(tǒng)的教學(xué)中，往往把三角變換單純地視為基本的技能訓(xùn)練，強(qiáng)調(diào)反復(fù)的練習(xí)和操作，強(qiáng)調(diào)三角變換的具體方法和技巧，造成了公式頭緒多，練習(xí)習(xí)題難，技巧方法刁的現(xiàn)象．和過(guò)去相比，教科書(shū)更重視公式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過(guò)程，重視學(xué)生在三角變換中的思維過(guò)程，重視這些過(guò)程中的思維活動(dòng)，和指導(dǎo)這些活動(dòng)的思想方法．這和傳統(tǒng)的教學(xué)是有明顯的區(qū)別的．2021/5/9120根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，教科書(shū)降低了對(duì)三角變換的要求．特別是不再要求用積化和差、和差化積、半角公式等作復(fù)雜的恒等變形，而把推導(dǎo)積化和差、和差化積、半角公式作為三角恒等變換的基本訓(xùn)練，避免任意加大三角變換的難度，防止在三角變換中深挖洞的現(xiàn)象．2021/5/9121（4）注意從運(yùn)算的角度看待三角變換

注意從運(yùn)算的角度看待三角變換．把三角變換看成是三角函數(shù)的運(yùn)算．這樣就使的三角變換和運(yùn)算（包括向量的運(yùn)算）發(fā)生了聯(lián)系．在教科書(shū)中，三角變換的公式都是通過(guò)運(yùn)算的方法推導(dǎo)和證明的．在本章最后更從運(yùn)算的角度提出和差化積、積化和差的研究課題．2021/5/9122（5）注意突出向量和三角函數(shù)的聯(lián)系

教科書(shū)利用向