二重積分的計(jì)算法

*三、二重積分的換元法第二節(jié)一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二重積分的計(jì)算法

第九章2021/5/91一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分二重積分定義為積分和式的極限．如果直接用二重積分的定義去計(jì)算它的值，是相當(dāng)困難的，甚至是不可能的.下面我們根據(jù)二重積分的幾何意義—曲頂柱體的體積來(lái)導(dǎo)出二重積分的計(jì)算方法.這個(gè)方法就是把二重積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為接連計(jì)算兩次定積分，即二次積分.2021/5/92xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面積為A(x)的立體.aV

復(fù)習(xí)：平行截面面積為已知的立體的體積b2021/5/93二重積分的計(jì)算(D是矩形區(qū)域)y0xz

yabcdDD是矩形區(qū)域[a,b;c,d]

z=f(x,y)

2021/5/94y0xz

yabcdDD是矩形區(qū)域z=f(x,y)

問(wèn)題：Q(y)是什么圖形？是曲邊梯形。.二重積分的計(jì)算(D是矩形區(qū)域).2021/5/950xz

yyabcdD.Q(y

)=同理，也可以先對(duì)y積分.z=f(x,y)D是矩形區(qū)域[a,b;c,d]

二重積分的計(jì)算(D是矩形區(qū)域)2021/5/960xz

ycdDz=f(x,y)x=

(y)x=

(y)yD:

(y)x

(y)c

y

d

二重積分的計(jì)算（D是曲線梯形區(qū)域）2021/5/970xz

ycdDz=f(x,y)x=

(y)x=

(y).y問(wèn)題：Q(y)是什么圖形？D:

(y)x

(y)c

y

d也是曲邊梯形!

.Q(y

)

I=

二重積分的計(jì)算（D是曲線梯形區(qū)域）.2021/5/980xz

yx=(y)ycdD.D:

(y)x

(y)c

y

d.Q(y

)

=二重積分的計(jì)算（D是曲線梯形區(qū)域）x=

(y)z=f(x,y)2021/5/99如果積分區(qū)域?yàn)椋浩渲泻瘮?shù)、在區(qū)間上連續(xù).直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分［X－型］2021/5/910設(shè)函數(shù)

在區(qū)域上連續(xù),且當(dāng)時(shí)，如果區(qū)域是由直線，與曲線所圍成(X

型區(qū)域),如下圖,即2021/5/911若D是X型區(qū)域，則積分先Y后X。通常寫(xiě)成2021/5/912把計(jì)算二重積分的問(wèn)題化為計(jì)算兩次定積分的問(wèn)題。x看作是常量，y是積分變量；這是先對(duì)，后對(duì)的兩次積分(適合于型區(qū)域).第二次積分時(shí)計(jì)算x是積分變量.

第一次計(jì)算定積分D：2021/5/913如果積分區(qū)域?yàn)椋海踄－型］2021/5/914類似地，如果D是Y型區(qū)域,可用垂直于軸的平面去截曲頂柱體,此時(shí)D為這是先對(duì)，后對(duì)的兩次積分.2021/5/915如果去掉以上結(jié)論中關(guān)于的限制，則上述結(jié)論仍是成立的.幾點(diǎn)說(shuō)明：則（?。┤魠^(qū)域D是一個(gè)矩形，（ⅱ）若函數(shù)可積，且且2021/5/916（ⅲ）上面所討論的積分區(qū)域D是

X型或Y型區(qū)域。則例如若不滿足這個(gè)條件,可將D分塊.再應(yīng)用積分的分域可加性來(lái)計(jì)算.D1D2D32021/5/917由于二重積分歸結(jié)于計(jì)算兩個(gè)定積分,因此計(jì)算重積分本身沒(méi)有新困難,對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō),感到困難的是如何根據(jù)區(qū)域D去確定兩次積分的上、下限.定限法則:就型區(qū)域而言后積先定限,域內(nèi)穿射線,先交為下限,后交為上限.如右圖建議：先將區(qū)域D的圖形畫(huà)出，再寫(xiě)出區(qū)域D上的點(diǎn)的坐標(biāo)所要滿足的不等式以確定積分的上、下限.2021/5/918解：積分區(qū)域如圖

如果積分區(qū)域既是X-型又是Y-型的，則重積分既可以轉(zhuǎn)化為先對(duì)x后對(duì)y的，也可以轉(zhuǎn)化為先y后x的二次積分（累次積分）2021/5/919解：積分區(qū)域如圖2021/5/920例1

計(jì)算二重積分,其中為矩形：解1

先積再積解2

先積再積2021/5/921例2

計(jì)算二重積分,其中區(qū)域?yàn)榫匦危航庖驗(yàn)?所以或先積再積2021/5/922解：橢圓區(qū)域可表示為因此

例3

計(jì)算二重積分.其中積分區(qū)域D

為四分之一橢圓。2021/5/923例4

計(jì)算二重積分,其中是由三條線所圍成的區(qū)域.解易知積分區(qū)域可表為于是2021/5/924其中例2.3計(jì)算二重積分解：先畫(huà)出區(qū)域D的圖形，因?yàn)閤yO-11D1D22021/5/925例5.

計(jì)算其中D是拋物線所圍成的閉區(qū)域.解:

為計(jì)算簡(jiǎn)便,先對(duì)x后對(duì)y積分,及直線則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/926例6.

計(jì)算其中D是直線所圍成的閉區(qū)域.解:

由被積函數(shù)可知,因此取D為X–型域:先對(duì)x

積分不行,說(shuō)明:

有些二次積分為了積分方便,還需交換積分順序.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/927例7.

交換下列積分順序解:

積分域由兩部分組成:視為Y–型區(qū)域,則機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/928例8.

計(jì)算其中D由所圍成.解:

令(如圖所示)顯然,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/929解：2021/5/930解：2021/5/931二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式（在積分中要正確選擇積分次序）二、小結(jié)［Y－型］［X－型］2021/5/93221DD:.怎么計(jì)算？需使用極坐標(biāo)系！此題用直角系算麻煩必須把D分塊兒!0y

xD4D3D1D22021/5/933所以，用若直角坐標(biāo)來(lái)計(jì)算，無(wú)法求出例如，計(jì)算二重積分需使用極坐標(biāo)系！2021/5/934積分的變量代換是計(jì)算積分的一個(gè)有效方法,對(duì)二重積分也有類似的方法.在這類方法中極坐標(biāo)變換最為常用.下面介紹怎樣利用極坐標(biāo)變換來(lái)計(jì)算二重積分.在二重積分的計(jì)算中,如果積分域是圓域或部分圓域,被積函數(shù)為形式,利用極坐標(biāo)變換來(lái)計(jì)算二重積分會(huì)十分方便.二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/935對(duì)應(yīng)有在極坐標(biāo)系下,用同心圓r=常數(shù)則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外,小區(qū)在內(nèi)取點(diǎn)及射線

=常數(shù),分劃區(qū)域D為機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束域的面積2021/5/936即機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束下面考慮如何把極坐標(biāo)系下的二重積分化為二次積分.分三種情況來(lái)討論:2021/5/937設(shè)則1)極點(diǎn)在D之外2)極點(diǎn)在D的邊界上2021/5/9383)設(shè)極點(diǎn)D之內(nèi)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束若f≡1則可求得D的面積2021/5/939思考:

下列各圖中域D

分別與x,y軸相切于原點(diǎn),試答:

問(wèn)

的變化范圍是什么?(1)(2)機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/94021D0y

xD:變換到極坐標(biāo)系.

例1計(jì)算D:1

r20

22021/5/941例2.11.計(jì)算其中解:

在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無(wú)法用直角由于故坐標(biāo)計(jì)算.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/942解:2021/5/9432021/5/9442021/5/945注:利用例2.11可得到一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程上非常有用的反常積分公式事實(shí)上,當(dāng)D為R2時(shí),利用例2.11的結(jié)果,得①故①式成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/946解機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/9470y

x2a

解：例22021/5/9480y

x12

y=xD

例4.2021/5/949解：2021/5/950解2021/5/951例10.I=不分塊兒行嗎？解：不行！2r=–2cos

y

xo–1D2021/5/952例11.

將積分化為極坐標(biāo)形式r=Ry=RxD1D2.R0y

xD...arctanR.I=I=2021/5/953解:2021/5/954定積分換元法*三、二重積分換元法

滿足一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理:變換:是一一對(duì)應(yīng)的,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/955例2.13

試用一般變量代換寫(xiě)出直角坐標(biāo)變?yōu)闃O坐標(biāo)的二重積分的公式解：因?yàn)榇鷵Q式為則雅可比行列式為除個(gè)別點(diǎn)r=0之外，其他點(diǎn)均有J≠0。所以有2021/5/956例

試計(jì)算橢球體解:

由對(duì)稱性令則D的原象為的體積V.2021/5/957內(nèi)容小結(jié)(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域?yàn)閯t

若積分區(qū)域?yàn)閯t機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/958則(2)一般換元公式且則極坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域?yàn)樵谧儞Q下機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2021/5/959(3)計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)?

畫(huà)出積分域?選擇坐標(biāo)系?確定積分序?寫(xiě)出積分限?計(jì)算要簡(jiǎn)便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量